Diario del corso - Dipartimento di Matematica

Dott.ssa Sandra Lucente DIARIO DEL CORSO DI MATEMATICA 2013-2014
CHIMICA E TECNOLIGIE FARMACEUTICHE
1) Martedì 8
Ottobre
2) Mercoledì 9
Ottobre
3) Giovedì 10
Ottobre
4) Martedì 15
Ottobre
5) Mercoledì 16
Ottobre
1 ora
Totale 1 ora
Logica: connettivi e quantificatori
2 ore
Totale 3 ore
2 ore
Totale 5 ore
1 ora
Totale 6 ora
2 ore
Totale 8 ore
6) Giovedì 17
Ottobre
2 ore
Totale 10 ore
7) Martedì 22
Ottobre
8) Mercoledì 23
Ottobre
9) Giovedì 24
Ottobre
10) Martedi’ 29
Ottobre
11) Mercoledì 30
Ottobre
1 ora
Totale 11 ore
Insiemi ( 4) Insiemi numerici ( 5) Il principio di induzione, la somma di n interi ( 11) Teorema: x2=2
non ha soluzioni in Q ( 5)
Allineamenti decimali, approssimazione di razionali. Gli assiomi di campo per i numeri reali I forma
dell’assioma di completezza ( 2) unicità dello zero e altre proprietà ( 3)
Disuguaglianza di Bernoulli ( 11) Definizione di intervallo; intervalli di R. Il piano cartesiano. Numeri
complessi forma geoemtrica e forma algebrica, complesso coniugato e modulo, proprietà ( 15)
max, min unicità, maggioranti minoranti insiemi limitati sup e inf, II forma assioma di completezza (
12) Proprietà caratteristiche sup e inf, ( 12) proprietà archimedea, ( 12) densità Q in R. ( 12)
Funzioni definizione, immagine diretta e inversa, funzioni ingettive surgettive bigettive, composizione e
funzione inversa, grafico ( 6-7)
La rappresentazione cartesiana di una funzione reale. ( 6-7) Funzioni lineari. Valore assoluto,
proprietà, ( 8) caratterizzazione di insieme limitato. Operazioni sui grafici. Funzioni: proprietà
elementari: monotonia simmetrie limitatezza
Disequazioni razionali e fattorizzazione dei polinomi
2 ore
Totale 13 ore
Funzioni potenza Funzioni exp log e funzioni iperboliche (9)
2 ore
Totale 15 ore
1 ora
Totale 16 ore
Periodicità-Richiami di trigonometria e funzioni trigonometriche
( 10) Disequazioni irrazionali, con valore assoluto, esponenziali e logaritmiche.
Disequazioni con il valore assoluto, irrazionali,
2 ore
Totale 18 ore
I concetti di intorno sferico, insieme intorno di un punto, punto di accumulazione, punto isolato,
insieme derivato, Derivato di Q e di N. Idea di limite mediante metodo di esaustione ( 16) Successioni
monotone, limitate, convergenti, divergenti, non regolari Teorema di unicità del limite ( 17),
Teorema di limitatezza successioni convergenti ( 18) Funzioni esponenziale e logaritmo a base
variabile.
12) Giovedì 31
Ottobre
2 ore
Totale 20 ore
13) Martedì 5
Novembre
14) Mercoledì 6
Novembre
1 ora
Totale 21 ore
2 ore
Totale 23 ore
15) Giovedì 7
Novembre
2 ore
Totale 25 ore
16) Mercoledi’13
Novembre
2 ore
Totale 27 ore
17) Giovedì14
Novembre
2 ore
Totale 29 ore
18) Martedì 19
Novembre
19) Mercoledì 20
Novembre
1 ora
Totale 30 ore
2 ore
Totale 32 ore
20) Giovedì 22
Novembre
21) Martedì 26 Nov
2 ore
Totale 34 ore
1 ora
Totale 35 ore
Operazioni sui limiti, dimostrazione nel caso di limite della somma e del prodotto di successioni
convergenti. ( 19), Algebra di R ampliato. Forme indeterminate ( 20) Valore assoluto di successioni
infinitesime ( 22), Permanenza segno; conservazione delle disuguaglianze; Teoremi di confronto,
( 21), ( 22), ), Disequazioni esponenziali e logaritmiche
Teorema fondamentale successioni monotone, ( 24) Limiti notevoli che coinvolgono funzioni
razionali e irrazionali, ( 23) Numero di Nepero, e relativi limiti ( 25)
Limiti notevoli che coinvolgono funzioni irrazionali ( 23) Alcune importanti disuguaglianze
trigonometriche, Limiti notevoli trigonometrici. ( 23),Criterio del rapporto scala degli infiniti ( 26).
Disequazioni Trigonometriche.
Teorema delle successioni estratte Successioni che non ammettono limite. Teorema di Bolzano
Weierstrass ( 27)
Successioni di Cauchy. Relazioni tra successioni convergenti, successioni limitate e successioni di Cauchy
( 28).III versione dell’assioma di completezza.
Definizione di limite di funzioni mediante limite di successioni. Alcuni limiti notevoli trigonometrici,
esempi di nonesistenza del limite. ( 32).Esercizi su limiti di successioni
Equivalenza della definizione di limite mediante successioni con la definizione di limite mediante
intorni ( 29, 30,31).Operazioni sui limiti Limite delle funzioni composte ( 32).Teorema del limite
per funzioni monotone ( 38). Continuità e discontinuità. Continuità della funzione potenza, sen,
Continuità della funzione esponenziale. Teorema della permanenza del segno ( 35) Teorema
Weierstrass ( 37) Teorema zeri ( 35-36) . II teorema dei valori intermedi ( 35) Teorema di Bolzano
Criterio di invertibilità ( 35). Criterio di continuità delle funzioni monotone e continuità dell’inversa
( 38) Continuità delle funzioni elementari inverse. Scala degli infiniti ( 34). Limite notevole per il
logaritmo e per il cos
Limiti notevoli Funzioni lipschitziane. Uniforme continuità. Teorema di Cantor. Esempi( 65)
Rapporto incrementale, derivabilità e funzione derivata. Significato geometrico.
( 39, 40,44). Derivata destra e sinistra Continuità delle funzioni derivabili, (40) Derivata delle
funzioni esponenziale, trigonometriche. Esempi di non derivabilità|x|, radice e funzioni definite a tratti
in x=0 ( 40,41,43,44) La derivata è lineare. Derivata del prodotto e del quoziente di funzioni. ( 41)
Derivata delle funzioni composte e della funzione inversa ( 42, 45) Derivate funzioni elementari
Teoremi di Fermat Rolle Cauchy Lagrange e conseguenze ( 46, 47, 48, 53) Esercizi sui limiti. Funzioni
lipschitziane a derivata limitata.
Il teorema di de L’Hopital ( 50, 53) Esercizi sui limiti
22) Mercoledì 28
Novembre
2 ore
Totale 37 ore
23) Martedì 3
Dicembre
2 ore
Totale 38 ore
24) Mercoledì 4
Dicembre
25) Giovedì 5
Dicembre
1 ora
Totale 40 ore
2 ore
Totale 42 ore
26) Martedì 10
Dicembre
1 ora
Totale 43 ore
27) Mercoledì 11
Dicembre
28) Giovedì 12
Dicembre
2 ore
Totale 45 ore
2 ore
Totale 47 ore
29) Martedì 17
Dicembre
30) Mercoledì18
Dicembre
31) Giovedì 19
Dicembre
1 ora
Totale 48 ore
2 ore
Totale 50 ore
2 ore
Totale 52 ore
Le restanti lezioni di Gennaio saranno di esercitazioni.
La notazione o(g), proprietà degli ordini di infinitesimo. ( 78) Polinomio di Taylor, significato. Formula
di Taylor con il resto di Peano. Formula di Taylor con il resto di Lagrange ( 80) Sviluppi di McLaurin
per le funzioni elementari( 77) Esercizi sui limiti con la formula di Taylor
Funzioni convesse su intervalli. Caratterizzazione ( 49) Applicazione della formula di Taylor per la
determinazione dei massimi e minimi relativi. ( 52) Ricerca dei massimi e minimi assoluti di una
funzione in un intervallo limitato.
Asintoti e studio funzione ( 51) Studi di funzione esercizi
Cenno al metodo di esaustione ( 61) Integrazione definita: partizioni di un insieme, somme superiori,
somme inferiori, le somme superiori ed inferiori costituiscono due insiemi separati Definizione
integrale superiore, integrale inferiore, definizione di funzione integrabile. Caratterizzazione delle
funzioni integrabili ( 62) Esempi e controesempio di Dirichlet Significato dell’integrale definito. (
62-74) Proprietà dell’integrale definito: additività rispetto all’intervallo di integrazione, linearità e
positività. Valore assoluto di una funzione integrabile. ( 63) Integrabilità delle funzioni continue (
66) Teorema della media ( 64)
Integrazione indefinita, definizione di primitiva. Teorema di struttura dell’integrale indefinito. ( 68)
La funzione integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale ( 67) Teorema di Torricelli:
relazione tra integrale definito e integrale indefinito ( 68)
Integrali immediati ( 69) Integrali per parti ( 72) Integrazione di funzioni razionali con denominatore
di secondo grado ( 71) Integrazione per sostituzione ( 73) Esercizi sugli integrali
Dal teorema fondamentale del calcolo alle equazioni differenziali. Prime definizioni per le equazioni
differenziali ordinarie Alcuni modelli di equazioni differenziali nelle scienze applicate. Equazioni
differenziali lineari, teorema di struttura dell’integrale generale per l’equazione omogenea. Definizione
di funzioni linearmente indipendenti. Teorema di struttura per l’integrale generale della equazione non
omogenea.
Equazioni differenziali a variabili separabili. Esempio di non-unicità, esempio di dominio non massimale.
Esercizi
Equazioni differenziali lineari del primo ordine Teorema di struttura per l’integrale generale della
equazione non omogenea. Equazione di Bernoulli. Lemma di Gronwall
Teorema di struttura dell’integrale generale per l’equazione omogenea del secondo ordine a
coefficienti costanti Integrale particolare di una equazione lineare del II ordine non omogenea a
coefficienti costanti. Metodo di simiglianza e metodo della variazione delle costanti
Oltre ai paragrafi segnati dal testo
P. Marcellini & C. Sbordone –Elementi di Analisi Matematica 1– Liguori Editore, Napoli
consultare le seguenti dispense del docente
-
Cenni di logica
Cenni sulle espansioni decimali dei numeri reali
Funzioni: Nozioni generali
Funzioni potenza ed esponenziale
Breve riepilogo di Trigonometria
Il concetto di intorno e di punto di accumulazione
Il numero di Nepero
Formula di Taylor
Integrazione metodi
Integrazione (dimostrazione della additività dell’integrale rispetto all’intervallo di integrazione)
Integrali impropri
Equazioni differenziali
E le schede didattiche
Grafici di funzioni
Lo studio di funzione
Il teorema di Bolzano e il teorema degli zeri