Programma di Istituzioni di Matematiche a

Programma di matematica (S.N.,S.G.) 2008/09
Prerequisiti ( programma precorso)
I numeri reali (R) : gli assiomi, i sottoinsiemi notevoli dei numeri reali, irrazionalità di
2.
Elementi di geometria analitica (retta, circonferenza, ellisse, iperbole, parabola)
Equazioni e disequazioni di primo, di secondo grado e grado superiore, sistemi, disequazioni razionali fratte.
La funzione valore assoluto e disequazioni con il valore assoluto.
Elementi di trigonometria.
I grafici e le proprietà delle funzioni fondamentali (potenze, esponenziale, logaritmo, funzioni trigonometriche fondamentali).
Equazioni e disequazioni con esponenziali, logaritmi e funzioni trigonometriche.
Programma del corso
Sottoinsiemi di R limitati e non limitati. Massimo, minimo, estremo superiore ed inferiore.
Intorni, punti interni, di accumulazione, di frontiera e isolati di un sottoinsieme R .
Successioni numeriche: successioni convergenti, divergenti , teorema dell’ unicità del limite,
teorema della permanenza del segno, teorema del confronto, algebra dei limiti, limite di rn,
forme indeterminate.
Confronto tra infiniti, gli infiniti fondamentali e loro confronto, l’infinito campione e ordine di
un infinito
Successioni monotone e teorema del limite di successioni monotone.
Il numero “e” di Nepero.
Funzioni reali di una variabile reale: tutte le definizioni di limite. Limite da destra e da sinistra.
Grafico della funzione senx / x.
Definizione di funzione continua in un punto del suo dominio e i diversi tipi di discontinuità.
Funzioni continue in un intervallo e loro proprietà: teorema di Weierstrass, teorema dei valori
intermedi e teorema degli zeri.
Le principali funzioni continue , funzioni composte e funzioni inverse.
I limiti notevoli .
Definizione di derivata e suo significato geometrico. Derivate delle funzioni fondamentali.
Formule di derivazione e calcolo di derivate.
Relazione tra continuità e derivabilità.
Punti di massimo e di minimo relativo. Punti stazionari. Teorema di Fermat.
I teoremi di Rolle e di Cavalieri e conseguenze sulle funzioni costanti e monotone in intervalli.
Teorema di de l’Hospital .
Derivata seconda. Funzioni convesse, concave e punti di flesso.
Asintoti orizzontali, verticali, obliqui. Studio del grafico di funzioni.
Il concetto di differenziale e suo significato geometrico.
Primitive e loro proprietà. Integrale indefinito di funzione continua. Integrali indefiniti
fondamentali. Integrazione per scomposizione, integrazione per parti, integrazione per
sostituzione. Integrazione di funzioni razionali fratte del tipo (ax+b) / (x^2 +px+q).
Integrale definito secondo Riemann e sue proprietà.
Teorema della media. La funzione integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale.
Formula fondamentale del calcolo integrale. Calcolo di aree.
Esempi di equazioni differenziali del primo ordine: lineari , a variabili separabili e di problema
di Cauchy.
Esempi di calcolo delle soluzioni di sistemi lineari con tre equazioni e tre incognite con
il metodo di Cramer