Compito di recupero di Matema ca

Liceo Scien
co Paritario “R. Bruni”
a.s. 2011/2012
classe I
Padova, 29/08/2012
Compito di recupero di Matemaca
Cognome e Nome ____________________________
1) Sempli
ca le seguen espressioni.
a)
(
b)
(
2
)
2
a+1 3 a−5 3 a +7
a +4 a+3
+
−
⋅
a−2 a+3 a 2+a−6 a2 −4 a−12
)( )
2
x+5
2
2
1
+
−
:
2
x+3
x
+2
x+2
x +5 x+6
3
2) Risolvi le seguen equazioni.
a) ( x−2)3+( x+2)(x+1)(x −2)+13 x 2=2 x( x+2)2 −12
b)
7 x+2 5 x+4 34 x 2+43 x−2
10−x
+
=
+ 2
2
2 x−3
x
4 x −9
2 x −3 x
3) Risolvi il seguente problema, impostando chiaramente i da, la scelta dell'incognita e
l'equazione risolvente.
3
In un trapezio isoscele ABCD di perimetro 124 cm, il lato obliquo è
della base
5
maggiore e la somma tra la base minore e metà della maggiore è 39 cm. Calcola l'area del
trapezio, sapendo che l'altezza è 24 cm.
4) Geometria. Disegna un triangolo ABC, traccia l'altezza CH e indica con M, N, P i pun medi
rispe2vamente dei la AB, BC, CA. Dimostra che HMNP è un trapezio isoscele.
Liceo Scien
co Paritario “R. Bruni”
a.s. 2011/2012
classe II
Padova, 29/08/2012
Compito di recupero di Matemaca
Cognome e nome ___________________________
1) Risolvi le seguen equazioni di secondo grado.
a)
x ( x+1)+2( x 2−1)=x ( x−1)−3( x 2−1)+2 x
b)
2 x 1−x
1
2−2 x−3 x 2
−
−
=
2
2
x−1
x
x−x
x −x
2) Risolvi le seguen disequazioni.
a)
4
3
x 2+2 x −4
+2≤
−
2
x−1
x+1
x −1
b)
√ (1− x)( x+4)> x+2
3) Risolvi il seguente sistema.
{
∣ x 2−4∣>5
x −1
≤2
x+4
4) Risolvi il seguente problema.
Data la semicirconferenza di diametro AB e raggio 27 cm, sul prolungamento di AB dalla
parte di B considera il punto C tale che BC = 18 cm e traccia la tangente TC nel punto T alla
circonferenza. Su TC considera un punto P e la sua proiezione H su BC. Determina PH in
modo che il triangolo PHC abbia area 24 cm2.
(Sugg: si può dimostrare che i triangoli TOC e PHC sono ...)
Liceo Scien
co Paritario “R. Bruni”
a.s. 2012/2013
classe II
Padova, 24/09/2012
COMPITO DI MATEMATICA
Cognome e Nome ___________________________
1) Risolvi le seguen equazioni.
a)
x+3 x−3
5x
−
= 2
x−3 x+3 x −9
b) 1+
x +1 2(x 2 +2)
= 2
x−2
x −4
2) Risolvi i seguen problemi.
a) La somma di due numeri è 46. Dividendo il primo per il secondo, si o/engono come
quoziente 3 e come resto 6. Calcola i due numeri.
b) Il perimetro di un triangolo è 580 cm. Determina la lunghezza dei tre la, sapendo che:
7
la lunghezza del lato minore è uguale ai
di quella del lato maggiore; la lunghezza
13
del terzo lato supera di 60 cm la di5erenza tra il lato maggiore e il lato minore.
3) Discu e risolvi il seguente sistema le/erale.
{
ax
− y=a
a+1
ay
x−
=0
a+1
Liceo Scien
co Paritario “R. Bruni”
a.s. 2012/2013
classe II
Padova, 8/10/2012
TEST DI MATEMATICA
Cognome e nome ___________________________
1) Vero o Falso.
L'intervallo delle soluzioni di una disequazione conene un
numero in
nito di valori.
V
F
•
Due disequazioni equivalen hanno lo stesso verso.
V
F
•
Se si molplica o divide entrambi i membri di una disequazione
per uno stesso numero diverso da 0, si o/ene una disequazione
equivalente a quella data.
V
F
Se una disequazione è equivalente a 2 > 0, allora x deve essere
uguale a 0.
V
F
V
F
V
F
V
F
•
•
•
Se una disequazione è equivalente a 0 > -2, allora è
sempre veri
cata.
•
La disequazione
•
Studiando le disequazioni
x≥x è sempre veri
cata.
P( x)>0 e Q(x)>0 , è possibile
risolvere la disequazione fra5a
•
Conoscendo le soluzioni di
P(x )
>0 .
Q (x)
P(x)<0 e Q(x)<0 , non è
possibile risolvere la disequazione
P(x )
>0 .
Q (x)
2) Qual è l'insieme delle soluzioni della disequazione
(a)
x<0
(b)
x<−1
(c) x>1
−1
≥0 ?
x
(d) ∅
3) Due polinomi di secondo grado,
P( x) e Q(x) , sono tali che:
P( x)≤0⇔ 1≤x≤2 e Q(x)≥0 ⇔1≤x≤3 .
Determina per quali valori di
a)
P( x )
≤0 ;
Q (x)
b) Q(x)⋅P (x)≥0 ;
x∈ℚ :
Liceo Scien
co Paritario “R. Bruni”
2012/2013
classe II
Padova, 22/10/2012
TEST DI GEOMETRIA
Cognome e nome _____________________________
1) Rispondi alle seguen domande.
•
Di quale proprietà godono i pun dell'asse di un triangolo?
…......................................................................................................................
…......................................................................................................................
•
Di quale proprietà godono i pun della bise,rice di un angolo?
…......................................................................................................................
…......................................................................................................................
•
Che cos'è un luogo geometrico?
…......................................................................................................................
…......................................................................................................................
2) Dato un segmento AB, disegna la re,a r che passa per A e B.
•
•
Qual è il luogo dei pun di r equidistan A e B?
Qual è il luogo dei pun di r che hanno distanza da A maggiore della distanza da B?
3) “Tu2 i pun P dell'asse di un segmento AB sono equidistan dagli estremi del segmento.”
Quale delle implicazioni che seguono traduce simbolicamente la proposizione enunciata?
(a) P apparene all'asse di AB → PA = PB
(b) PA = PB → P apparene all'asse di AB
4) “Solo i pun P dell'asse di un segmento AB sono equidistan dagli estremi del segmento.”
Scrivi l'implicazione che traduce simbolicamente la proposizione enunciata e spiega se
esprime una condizione necessaria o sufciente afnché un punto appartenga all'asse di un
segmento.
…...........................................................................................................................
…...........................................................................................................................
5) “Solo i pun P delle bise,rici di un angolo sono equidistan dai la dell'angolo”.
Scrivi l'implicazione che traduce simbolicamente la proposizione enunciata e spiega se
esprime una condizione necessaria o sufciente afnché un punto sia equidistante dai la
di un angolo.
…...........................................................................................................................
…...........................................................................................................................
6) Enuncia e dimostra il teorema sul punto di intersezione delle bise,rici di un triangolo.
Liceo Scien
co Paritario “R. Bruni”
a.s. 2012/2013
classe II
Padova, 29/10/2012
COMPITO DI MATEMATICA
Cognome e nome ________________________________
1) Risolvi le seguen disequazioni.
(
) (
)(
2
x 10
2
2 x x− x −
x+4 > 1− x
9
3 3
3
2
x +1
≤0
x−1
a)
b)
)
2
c)
x 3−4 x 2−9 x+36
≥0
3
x −9 x
d)
1
5
2 x −3 x+1
, sapendo che
−
+
2
x+2
x −x+1
x 3+1
2
2
x − x+1>0 ∀ x∈ℚ
2
2) Risolvi i seguen sistemi.
a)
{
3 x−2 x−4 3 2 x−1
−
> −
5
2
4
10
3
x
−
≤3
2 1−x
b)
{
2
x +9
≥0
5
x2
≤0
( x+1)2
3) Risolvi i seguen problemi.
a) La terza parte della somma di due numeri consecuvi naturali è minore di 7. Qual è il
maggior valore possibile dei due numeri?
b) Determina per quali valori di a l'equazione (5−a)(x−1)=2 x+4 ha soluzione in
modulo minore di 1.
c) In un triangolo la base è lunga (2 + 4x) cm e l'altezza 20 cm. Determinare x in modo che
l'area del triangolo sia minore dell'area del quadrato che il lato che è metà dell'altezza
del triangolo. (Le dimensioni del triangolo devono essere ovviamente quanttà
positve...)
Liceo Scien
co Paritario "R. Bruni"
a.s. 2012/2013
classe II
Padova, 29/11/2012
COMPITO DI GEOMETRIA
Cognome e nome _________________________
1) Enunciare e dimostrare il teorema che determina la relazione tra un angolo alla
circonferenza e il suo corrispondente angolo al centro.
2) Enunciare e dimostrare il teorema che determina la condizione afnchè un quadrilatero sia
circoscri-bile ad una cinrconferenza.
3) Sono date due circonferenze concentriche di centro O. Da un punto A esterno alle due
circonferenze, si conducano le tangen AB e AC alla cinrconferenza maggiore e le tangen
AD e AE alla circonferenza minore (i pun B e D sono dalla stessa parte di AO).
1) Dimostrare che BAD = EAC;
2) dimostrare che il quadrilatero BDEC è un trapezio isoscele.
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co Paritario “R. Bruni”
a.s. 2012/2013
classe II
Padova, 3/12/2012
COMPITO DI MATEMATICA
Cognome e nome __________________________
•
Risolvi le disequazioni e il sistema, indicando chiaramente le soluzioni.
4
•
3
1)
( x −16)( 27− x )
<0
2
x −2 x+1
2)
2
x
6
+
− 2
>0
x−1 x+2 x + x−2
3)
∣3 x+3∣ −∣ x+4∣≥0
4)
{
∣ 2 x+3∣−1
>0
∣ x∣+1
x 2−6x+9≤0
Risolvi i seguen problemi, indicando in modo chiaro la scelta dell'incognita, la
disequazione risolvente e la soluzione del problema.
a) In una fabbrica di giocatoli si producono pupazzi che vengono rivendu a € 7,00
ciascuno. Sapendo che i cos ssi mensili ammontano a € 2100,00 e che il costo del
materiale per ogni pupazzo è di € 3,50, determina quan pupazzi devono essere
prodo2 perchè il bilancio non vada in perdita.
1
di quella del lato diminuita di
3
2 cm. Quale valore deve assumere il lato del triangolo afnchè il perimetro sia minore
di 19 cm?
b) In un triangolo isoscele, la lunghezza della base è
Liceo Scien
co Paritario “R. Bruni”
a.s. 2012/2013
classe II
Padova, 24/01/2013
COMPITO DI RECUPERO MATEMATICA
Cognome e Nome _____________________________
1) Risolvi:
4
3
a)
( x −16)( 27− x )
<0
2
x −2 x+1
c)
b)
x 3−4 x 2−9 x+36
≥0
x3 −9 x
d)
{
3 x−2 x−4 3 2 x−1
−
> −
5
2
4
10
3
x
−
≤3
2 1−x
∣2−x∣=5+∣2 x+1∣
2) Risolvi i seguen problemi.
a) In una fabbrica di giocatoli si producono pupazzi che vengono rivendu a € 7,00
ciascuno. Sapendo che i cos ssi mensili ammontano a € 2100,00 e che il costo del
materiale per ogni pupazzo è di € 3,50, determina quan pupazzi devono essere
prodo3 perché il bilancio non vada in perdita.
b) In un triangolo la base è lunga (2 + 4x) cm e l'altezza 20 cm. Determinare x in modo che
l'area del triangolo sia minore dell'area del quadrato il cui lato lato è metà dell'altezza
del triangolo.
3) Sia AB un diametro di una circonferenza di centro O e sia C un punto di una delle
semicirconferenze. Si conduca la bisetrice di ACB che interseca in E la circonferenza e si
indichi con H la proiezione di C su AB. Dimostrare che:
a) CH // OE;
b) CE è la bisetrice di HCO.
Liceo Scien
co Paritario “R. Bruni”
a.s. 2012/2013
classe II
Padova, 28/01/2013
COMPITO DI MATEMATICA
1) Determinare il C.E dei seguen radicali.
a)
√
2
2
8 a (a −1)
3
( a−2)
5
b)
√
6
a 2−1
3
(a−2)
c)
√
x +3
2
x
d)
√ a 2 (a−3)
2) Sempli
care i seguen radicali.
a)
√ (−3)2 a 4 b 2
d)
√
√8 (a 2 −2 a+1)3
b)
c)
a 3 9
+ +
8 4 8a
√ 4 a 2−4 ab+b 2
√ (√ a+√ b)(√ a−√ b)
3) Razionalizzare il denominatore delle seguen frazioni, supponendo veri
cate le condizioni
di esistenza.
a)
10
√ 18
x+2 y
9
√ x+18 y
b)
8
√ 16
c)
3
d)
√ x +1−√ x−1
√ x +1+√ x−1
4) Sempli
care le seguen espressioni, considerando veri
cate le condizioni di esistenza.
2
a) ( √ 2 √ 5) +(2+√ 5) +(3−√ 5) +(7−7 √ 2)(7+7 √ 2)
b)
c)
1
2
+
1
2
−
√
3 20
√ 5+ √ 3 √ 5−√ 3 2 9
(√
4
8
√
√
4
)
x
4
16 x
1
+ 2
+4 2
⋅√ a−1
a −2 a+1
a +2 a+1
a −2 a+1
2
d) (2 x +1)
√
1
:
4 x 2−1
(√
6
√
4 x 2−1⋅3
2 x+1
4 x 2 −4 x+1
)
5) Risolvi le seguen equazioni e disequazioni a coe2cien irrazionali.
a)
√ 3(x− √ 6+1)=√ 3(1−x )+√ 18
b)
x+√ 3 x−√ 3
12
−
=
x−√ 3 x+√ 3 3−x 2
c) (2 x +1)(1−√ 2)<0
d)
{
2 x− √ 5
1
+
≥0
2
x−√ 5
x −5
2
x −x √ 5≤0
Liceo Scien
co Paritario “R. Bruni”
a.s. 2012/2013
classe II
Padova, 14/02/2013
TEST DI MATEMATICA
Cognome e nome ________________________
1) Vero o Falso.
•
Nell'equazione 2 x 2 +9=0 il termine noto è uguale a 0.
V
F
•
Se un'equazione di II grado è incompleta, è nullo uno dei
tre coe.cien.
V
F
•
Le soluzioni di un' equazione di II grado sono al massimo due.
V
F
•
La formula risoluva di un'equazione di II grado è valida
per risolvere l'equazione 5 x 2−9=0 .
V
F
•
Il discriminante di un'equazione spuria è posivo.
V
F
•
L'equazione a x 2+b x+c=0 amme0e due soluzioni
se il primo membro è un quadrato di binomio.
V
F
Se le soluzioni di un'equazione sono entrambe negave, allora
il Δ è posivo.
V
F
Si applica la formula rido0a quando il coe.ciente b dell'equazione
2
a x +b x+c=0 è posivo.
V
F
•
•
2) Rispondi alle seguen domande, movando le risposte.
a) L'equazione nell'incognita x, 4 x 2−(2 k +3) x+5=0 , è completa per ogni valore di k?
b) Quanto vale il Δ delle equazioni 2 x 2−7=0 e
discriminante di un'equazione pura può essere nullo?
x 2+9=0 ? In generale, il
c) Quale valore deve assumere il parametro k, a.nché l'equazione
3 x 2+(k −1) x−4=0 diven un'equazione pura? L'equazione può diventare spuria?
3) Risolvi le seguen equazioni, applicando la formula risoluva solo se necessario.
2
a)
6 x −6 x =2(1−2 x)−2−x (2−x)
b)
2
x 2+ x ( x+2)( x+1)
x+
=
15
6
10
Liceo Scien
co Paritario “R. Bruni”
a.s. 2012/2013
classe II
Padova, 28/02/2013
COMPITO DI MATEMATICA
Cognome e nome ___________________________
Problema 1
8
della sua distanza dal
3
centro; si sa inoltre che, de+a OH tale distanza, è veri
cata la relazione:
In una circonferenza di centro O è data una corda AB congruente agli
5
4
AH + OH =14 dm
6
9
Trovare il raggio della circonferenza.
Problema 2
Il perimetro di un triangolo isoscele è 64 cm e la base supera di 4 cm il lato obliquo.
Determinare il raggio della circonferenza circoscri+a e il raggio della circonferenza inscri+a.
Liceo Scien
co Paritario “R. Bruni”
a.s. 2012/2013
classe II
Padova, 11/03/2013
COMPITO DI MATEMATICA
1) Risolvi le seguen equazioni di II grado e veri
ca gra
camente le soluzioni.
a) −x 2−x+6=0
b) x 2−4 x+4=0
2) Risolvi e dove è necessario discu le seguen equazioni di II grado.
a)
2
( )
x −8
1 x−2
3
− 1− ⋅
=1−
2
x x+2
x
x +2 x
b) 2 a 2 x 2−(7 a 2−a) x+3 a 2+2 a−1=0
c)
2
(1− x)(1+ x) (x+b)( b− x)
x
=1−
−
2
b
2
2b
3) Data l'equazione m2 x 2+(1−4 m) x+4=0 con m≠0 trovare il valore di m a)nchè:
a) una soluzione sia uguale a –1;
b) il prodo/o delle soluzioni sia minore di 0;
c) le soluzioni siano opposte;
d) la somma dei reciproci delle soluzioni sia uguale a −
3
.
2
4) Data l'equazione 4 k x 2 −2( k +1) x+1=0 , con k ≠0 trovare il valore di k a)nchè:
a) la di1erenza delle soluzioni sia 1;
b)
3 3
1
+ =− ;
x1 x2
3
c)
2
2
x 1−2 x 1+x 2−2 x 2=0 .
5) Risolvi i seguen problemi di II grado, evidenziando chiaramente la scelta dell'incognita e
l'equazione risolvente.
a) Per l'acquisto di un regalo del costo di € 87,50, due persone, tra quelle che inizialmente
avevano aderito, si rirano; la spesa per ciascuno dei restan aumenta pertanto di
€ 5,00. Determina quante persone avevano aderito inizialmente.
b) Nel trapezio re/angolo ABCD la proiezione HB del lato obliquo CB sulla base maggiore
AB misura 1 cm ed è congruente all'altezza. Determinare la misura della base minore
sapendo che è veri
cata la relazione:
2
2
CA + AB 37
.
=
2
8
CD
Padova, 29/04/2013
Liceo Scientifico “R. Bruni”
a.s. 2012/2013
classe II.
1. Risolvere:
x2 )(4x x2 4)
>0
x3 9x
p
p
8 2
3)x 2 3  0
< x + (2
(x
:
x2
(x3 + 1)(x2
5) > 0
10x2
x
+
+x 6 2 x
8 2
x
>
< x
1
x+2
>
: 3
x
3x + 2
5
1
x+3
0
2. Il rapporto tra i lati di due triangoli simili è k. Calcolare quanto vale il
rapporto tra le loro aree.
3. Dall’estremo B del diametro AB di una circonferenza condurre una semiretta
che interseca la circonferenza in C. Condurre poi la retta tangente alla circonferenza che passa per A, e indicare con D il punto di intersezione tra
la semiretta e la tangente per A. Detto E il piede dell’altezza relativa ad
AB del triangolo ABC, dimostrare che AC è medio proporzionale tra AD
e CE.
4. Calcolare la misura del lato del quadrato la cui area è medio proporzionale
tra le aree di due triangoli simili, sapendo che il rapporto tra i perimetri dei
triangoli è 23 e che la somma delle loro aree è 2600 m2 . (Non esprimere la
misura del lato del quadrato in maniera approssimata: usare le proprietà
delle radici.)
5. Sia ABCD un trapezio di base maggiore AB e base minore CD e sia O il
punto d’incontro delle diagonali AC e BD. Detto M il punto medio della
base maggiore AB, si conduca da M la semiretta passante per O, e si
indichi con N il suo punto d’incontro con la base monore.
(a) Dimostrare che i triangoli MBO e OND sono simili e scrivere per
esteso il rapporto di proporzionalità tra i lati omologhi dei due triangoli.
(b) (*) Dimostrare che N è il punto medio di CD.
(c) (*) Dimostrare che O divide MN in parti proporzionali alle basi.
Padova, 27/05/2013
Liceo Scientifico “R. Bruni”
a.s. 2012/2013
classe II.
x2 + 6x + 9
>0
x2
p
2. 2x2 + 5x + 13 < 1
1.
x
3. |x3
x| + |x + 1|  0
p
4. 2x = 7
x 2
p
5. 4 + 3x x2 > x 2
6. |x2 5x + 9| > 15
p
7.
x2 2x
3
8. |x
1| > 2x
3
|x2 + 3x
4|
Padova, 27/05/2013
Liceo Scientifico “R. Bruni”
a.s. 2012/2013
classe II.
x2 + 6x + 9
>0
x2
p
2. 2x2 + 5x + 13 < 1
1.
x
3. |x3
x| + |x + 1|  0
p
4. 2x = 7
x 2
p
5. 4 + 3x x2 > x 2
6. |x2 5x + 9| > 15
p
7.
x2 2x
3
8. |x
1| > 2x
3
|x2 + 3x
4|