GEOGEBRA PER IL TFA
26 FEBBRAIO 2013
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L’uso dello slider , ovvero dei parametri.
L’uso dell’icona luogo geometrico di punti .
La costruzione di nuovi strumenti .
Il foglio di calcolo.
(1) L’uso dello slider , ovvero dei parametri.
Esercizio 1. Il fascio di circonferenze. Costruire quattro slider di nomi c1 , r1 , c2 e r2 e
scrivere nella barra di inserimento le equazioni delle due circonferenze Ci di centro (ci ; 0)
e raggio ri . Costruire un nuovo slider k e scrivere nella barra di inserimento l’equazione
del fascio C1 + kC2 = 0. Eventualmente evidenziare la retta dei centri e l’asse radicale (di
equazione C1 − C2 = 0).
Al variare dello slider k si ottengono le varie circonferenze del fascio.
Per la circonferenza del fascio si può attivare o disattivare l’opzione traccia attiva e per
lo slider l’opzione animazione attiva.
Esercizio 2. Utilizzando uno slider m e uno slider q, studiare il significato dei coefficienti
m e q della generica retta di equazione y = mx + q.
Esercizio 3. Fissati λ e k parametri reali positivi, si studi, al variare di λ e k la funzione
y = λ e−kx
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Si costruisca un rettangolo con un lato sull’asse delle ascisse e gli altri due vertici sulla
curva studiata e si trovi il rettangolo di area massima.
Esercizio 4. Tracciare il grafico di una funzione data in forma parametrica. Da fare dopo
l’uso dell’icona luogo geometrico di punti.
(2) L’uso dell’icona luogo geometrico di punti .
Partiamo da un esempio elementare. Sappiamo che l’asse di un segmento è il luogo
geometrico dei punti equidistanti dagli estremi del segmento e sappiamo che si tratta di
una retta. Fingiamo momentaneamente di non sapere che si tratta di una retta e cerchiamo
un punto che abbia questa caratteristica.
Tracciamo un segmento AB qualsiasi. Per trovarare un punto P equidistante da A e
da B basta cercare il punto di intersezione tra due circonferenze di centro A e B e raggio
qualsiasi (maggiore di 21 AB). Per generalizzare la situazione possiamo però costruire uno
slider r, tracciare le due circonferenze di centro A e B e raggio r ed evidenziare i due punti
di intersezione P e Q tra le circonferenze. Nascondiamo le due circonferenze e facciamo
variare r: i punti P e Q si muovono lungo il luogo cercato, che è ovviamente una retta.
Se per P e Q scegliamo l’opzione traccia attiva restano visualizzati tutti i punti P e Q al
variare di r.
In questo modo però non otteniamo il grafico di una curva, ma solo un insieme di punti.
Vorremmo quindi usare l’icona luogo geometrico, ma questa richiede l’uso di un punto che
Date: February 24, 2013.
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varia su una curva e non di uno slider. Abbiamo qundi bisogno di far variare il raggio r
non in funzione di uno slider, ma in funzione di un punto che si muove su una curva.
A tale scopo possiamo tracciare una retta qualsiasi, per esempio orizzontale, prendere un
punto C sulla retta e definire r = x(C) invece che tramite lo slider. Procedendo come nel
caso precedente possiamo fare muovere C sulla retta e vedere i punti P e Q che descrivono
il luogo cercato. In questo caso però possiamo anche usare l’opzione luogo geometrico
ottenendo la curva descritta dai punti.
Esercizio 5. Su una semicirconferenza di diametro AB e raggio r si prenda un punto C e
sia M il punto medio del segmento AC. Si espliciti il luogo descritto da M al variare di C.
Scelto un opportuno sistema di riferimento, si trovi l’equazione del luogo descritto da M .
Esercizio 6. Fissati a e b parametri reali positivi, al variare di a e b si rappresenti e studi
il luogo di punti di equazione
(
x = a cos(t)
t∈R
y = b sin(t)
(a e b si possono fissare come slider, t deve essere variabile).
(3) La costruzione di nuovi strumenti .
Vediamo un esercizio in cui può essere utile crearsi uno strumento da riutulizzare.
Esercizio 7. Dividere un segmento i n parti congruenti.
Ripercorriamo la classica costruzione per dividere un segmento per esempio in cinque
parti congruenti con riga e compasso. Costruiamo però due strumenti che ci permettano di
ripetere le operazioni iterate nella costruzione.
• Strumento1: voglio uno strumento che, dati due punti A e B su una retta, costruisca
un terzo punto C sulla medesima retta tale che B sia punto medio di AC, cioè tale
¯ = BC.
¯
che AB
Dopo avere fatto la costruzione per ottenere C partendo dai punti A e B, da strumenti
scelgo l’opzione crea nuovo strumento. Lo strumento lo posso poi utilizzare scegliendolo
dall’ultima icona.
Utilizzando questo strumento, posso costruire una serie di segmenti equivalenti sulla
retta passante per un estremo del mio segmento.
• Strumento2: voglio un segmento che tracci la parallela ad una retta assegnata passante
per un punto e che individui l’intersezione tra tale parallela e un segmento assegnato.
Dopo avere tracciato la retta passante per l’altro estremo del segmento e l’ultimo dei
punti precedentemente tracciati, posso dividere il segmento assegnato in parti uguali.
Se vogliamo che lo strumento sia riutilizzabile da un altro file: da strumenti,
organizza strumenti, salva. A questo punto si crea un file .ggt che può essere
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aperto da un qualsiasi altro file. Una volta aperto, resta tra gli strumenti del
file da cui è stato aperto.
Esercizio 8. Dato un rettangolo ABCD di area A congiungi i punti medi dei lati ottenendo
quattro rettangoli e sia AB ′ C ′ D′ uno di essi.
Costruire uno strumento che partendo da un rettangolo ne costruisca un altro nel modo
precedentemente assegnato.
Si ripeta poi l’operazione sul nuovo rettangolo AB ′ C ′ D′ ottenendo un rettangolo AB ′′ C ′′ D′′ .
Rappresentare la figura e determinare l’area del rettangolo AB ′′ C ′′ D′′ in funzione di A. Se
l’operazione viene ripetuta n volte, qual è l’area del rettangolo AB n C n Dn ottenuto?
Esercizio 9. È nota la costruzione geometrica che, dato un segmento AB, permette di
costruirne la sua sezione aurea, cioè il segmento AC medio proporzionale tra AB e CB.
Si tratta di costruire sul segmento AB il triangolo rettangolo in B con cateto BD metà
AB
di AB. Sull’ipotenusa AD individuare il punto E tale che DE = BD =
. Riportare il
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segmento AE su AB individuando un segmento AC. Tale segmento è il medio proporzionale
cercato.
Creare uno strumento che realizzi la costruzione, può essere utile in altre occasioni.
Posssiamo facilmente ora costruire un rettangolo aureo. Costruiamo poi uno strumento
che realizzi la costruzione di un rettangolo aureo partendo dal lato maggiore.
Con questo strumento è facile realizzare la costruzione della spirale aurea.
(4) La finestra algebra.
La finestra algebra è come un finestra excel o open office (con molte meno funzionalità).
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Esercizio 10. Tracciare il grafico di y = x + 2 per punti. Si può lavorare sulla finestra
algebra creando nella prima colonna una lista di ascisse e nella seconda colonna le relative
ordinate. Selezionando le colonne e scegliendo con il tasto destro crea una lista di punti si
crea una lista di tutti i punti nella finestra algebra.
Si possono anche creare i punti direttamente dalla finestra algebra.
Esercizio 11. Considera la successione an =
per n che tende a infinito.
2n + 1
. Rappresentala e calcolane il limite
n+3
Sappiamo che possono calcolare delle approssimazioni dell’area di una figura con una
successione di punti casuali. Geogebra ci permette di visualizzare questa cosa.
Esercizio 12. Ad esempio per approssimare l’area di un cerchio si può iscrivere il cerchio
in un quadrato di lato e quindi area unitaria. Contando i punti all’interno del cerrchio,
rispetto al totale, si ottiene un’approssimazione dell’area.
Esercizio 13. Lo stesso lavoro dell’esercizio precedente può essere fatto per approssimare
l’erea tra il grafico della parabola e l’asse delle ascisse, per esempio per introdurre il concetto
di integrale.
