Corso di Laurea in Matematica, Università di Roma ”La Sapienza”
Corso di Analisi Numerica
Docente M. Falcone
Foglio di esercizi n. 2: Richardson ed equazioni differenziali
1. Sia f (x) ∈ C 1 (IR), stimare l’errore corrispondente alla approssimazione
f ′ (x) ≈
f (x + h) − f (x)
h
Fissato h = 0.1 utilizzare l’estrapolazione di Richardson per ottenere una stima di
f ′ (x) con un errore minore di 10−4 .
2. Si consideri il metodo di Eulero modificato
h
y n+1 = y n + hf (tn+ 1 , y n + f (tn , y n )),
2
2
n ∈ IN
dove tn+ 1 = tn + h2 . Dire se il metodo è consistente e determinare l’ordine del metodo
2
attraverso l’errore locale di troncamento.
3. Si consideri il metodo di Eulero implicito. Dire se il metodo è consistente e determinare l’ordine del metodo attraverso l’errore locale di troncamento.
4. Si consideri il problema di Cauchy
p
ẏ(t) = |y(t)|,
y(0) = x0
t≥0
Calcolare la soluzione attraverso il metodo di Eulero per x0 = 0. Verificare che
2
y(t) = t4 è una soluzione del problema di Cauchy e confrontarla con la soluzione
calcolata attraverso il metodo di Eulero. Perchè non coincidono? Calcolare la
soluzione con Eulero modificato partendo da x0 = 0.01.
5. Applicare il metodo di Eulero implicito al problema di Cauchy dell’esercizio precedente. Confrontare il risultato con quello ottenuto nell’esercizio precedente. Ripetere
lo stesso calcolo con il metodo di Heun ed Eulero modificato.
6. Dimostrare che il metodo di Eulero modificato fornisce la soluzione esatta dell’equazione
differenziale ẏ = −2at.
7. Studiare la stabilità del metodo di Crank-Nicholson.
8. Studiare la stabilità del metodo di Eulero implicito.
9. Confrontare la soluzione calcolata con il metodo di Eulero con la soluzione esatta
del sistema
ẏ(t) = Ay(t)
dove
A=
1
−2
0
0 −1
