Trasformate di Laplace

Trasformate di Laplace
September 7, 2012
1
introduzione
Le trasformate di Laplace sono l’argomento piú recente introdotto nei Professionali. Nessun corso di Matematica riesce a tenersi al passo, tanto piú
che al professionale il Quinto anno bisogna solo rifare quello che si é fatto
al Primo. Ma la teoria dei limiti fuzzy rende facile il trattamento dei limiti
e allora si puó subito andare oltre e trattare la trasformata di Laplace. Una
trattazione astratta é priva di senso. La applicheremo subito alla Teoria dei Sistemi. Un sistema é un’organizzazione associata a un processo. Nel nostro caso
l’organizzazione ha come obiettivo il controllo del processo. Tale processo ha in
genere delle grandezze di ”ingresso” (input), con le quali é possibile influenzare
delle grandezze di ”uscita” (output). Per esempio, modificando la tensione ai
capi di un motore se ne puó modificare la velocitá. Un sistema é rappresentato
da un blocco funzionale con una variabile di ingesso x(t) -ne consideriamo una
sola per semplicitá- e una variabile di uscita y(t). Si noti che le due variabili
sono funzioni reali di una variabile reale. Un sistema é caratterizzato da una
relazione che lega ingresso e uscita. Pertanto, introduciamo un funzionale f ,
una funzione che opera su una funzione e restituisce una funzione-che chiamiamo
funzione transcaratteristica tale che
y(t) = f x(t)
.
Per esempio, sia il seguente sistema
In questo caso la legge di Ohm restituisce la funzione transcaratteristica e si ha
y(t) = R1 x(t)
L’equazione transacarteristica é descritta dal grafico transcaratteristico
che descrive il comportamento del sistema.
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Un sistema puó essere costituito da piú blocchi, ognuno composto da un diverso
dispositivo. Ciascuno di questi é un sottosistema collegato agli altri in modo
da far emergere uno schema a blocchi. Dalla conoscenza del blocco funzionale
e dal suo modello matematico si puó ricavare
1. l’andamento nel tempo della risposta del sistema a qualsiasi sollecitazione
di ingresso
2. le caratteristche del sistema in termini di stabilitá e velocitá di risposta
Esempio
In figura 3 é rappresentato un partitore di tensione. Per la legge di Ohm, la
corrente i(t) nel circuito é data da
i(t) =
V
x(t)
=
R
R1 + R2
La tensione in uscita y(t) vale R1 i(t) da cui
y(y) = R1 i(t) =
R1
x(t)
R1 + R2
Che é la funzione transcaratteristica del partitore di tensione. Se R1 = R2 allora
y(t) =
2
1
x(t)
2
E cosi’ possiamo vedere facilmente come si comporta il circuito in risposta ai
segnali pi comuni segnali
1) Conisderiamo x(t) = 5 allora
y(t) =
5
= 2, 5
2
e quindi si hanno i seguenti grafici
2) se x(t) = sen(t) allora y(t) =
ampiezza
sen(t)
2
3
e quindi il segnale ha cambiato solo
3) se il segnale é di tipo triangolare e
(
x(t) =
allora
t
2
− 21 t
+2
se 0 ≤ t ≤ 2
se 2 ≤ t ≤ 4.
(
2 2t = t
x(t) =
2(− 21 t + 2) = −t + 1
se 0 ≤ t ≤ 2
se 2 ≤ t ≤ 4.
e la risposta del sistema é descritta nella seguente figura
In questo caso il sistema ci fornisce facilmente la funzione transcaratteristica
e quindi possiamo studirne le caratteristiche qualitative e quantitative. Ma non
é sempre cosı́. Consideriamo questo circuito RC
In questo caso la legge di Ohm ci dice che
x(t) = R1 i(t) + y(t)
4
ma la corrente ai capi di un condensatore é data da
i(t) = C1
dy(t)
dt
e quindi
x(t) = R1 C1
dy(t)
+ y(t)
dt
che in termini matematici diventa
y 0 RC + y − x = 0
un’equazione differenziale lineare del primo ordine a coefficienti costanti. La
funzione transcaratteristica non é trattabile in maniera elementare. Vediamo come si risolve con il metodo dell’equazione associata. Poniano
RCλ + 1 = 0
da cui
1
RC
e quindi la soluzione generale dell’equazione omogenea é
λ=−
1
yo (t) = C1 e− RC
a questo punto ci ricaviamo una soluzione particolare dell’equazione completa
con il metodo della variazione delle costanti
y(t) = At + B
da cui
RCA + (At + B) = t
e quindi
RCA + B + At = t
che é vera solo se
RCA + B = 0
A=1
e quindi
B = −RC
A=1
e allora
y(t) = t − RC
da cui la soluzione generale é
t
y(t) = t − RC + C1 e− RC
e quindi la funzione transcaratteristica di un circuito RC é
t
f x(t) = x(t) − RC + C1 e− RC
Per esempio, la risposta del circuito a un segnale in corrente continua -in pratica
la connessione di una batteria - di 10 Volt é la funzione
t
y(t) = 10(1 − e− τ )
dove τ = RC
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Molto piú complesso é il sistema composto da un’induttanza in serie con un
consensatore e una resistenza.
In questo caso la funzione transcaratteristica esiste ma é intrattabile. Al momento non esistono strumenti matematici efficaci che la descrivono in maniera
esplicita. Iol meglio che si puó fare é approssimarle numericamente.
1.1
Il metodo di Eulero
L’idea del metodo di Eulero é di approssimare la derivata con una rapporto tra
differenze finite. Sia l’equazione differenziale
y 0 = f (x, y)
che riscriviamo con
y0 =
6
∆y
∆x
poniamo ∆x = h e discretizziamo l’intervallo ∆y = yn+1 − yn , da cui
y0 =
yn+1 − yn
h
da cui, sostituendo
f (x, y) =
yn+1 − yn
h
e quindi
hf (x, y) = yn+1 − yn
da cui si ricava l’equazione ricorsiva
yn+1 = yn + hf (xn , yn )
Fissato x0 e y0 avremo la seguente successione
y1 = y0 + hf (x0 , y0 ) = y0 + hy00
y2 = y1 + hf (x1 , y1 )
y3 = y2 + hf (x2 , y2 )
..............................
e quindi, in generale
yn+1 = yn + hf (xn−1 , yn−1 )
Vediamo di implementare il metodo di Eulero in Matlab. Ecco il diagramma
di flusso Applichiamo il metodo di Eulero alla soluzione numerica del seguente
problema di Cauchy
0
y =x+y
y(0) = 0
Come intervallo scegliamo [0,1] e come passo di risoluzione scegliamo 0,2 . Allora
la formula ricorsiva del metodo di eulero diventa
Yn+1 = yn + 0.2(xn + yn )
La funzione y(t) = −1−t+et che é la soluzione del problema di Cauchy, assume
valore e quindi, fissato n = 5 otteniamo la seguente tabella
1
2
3
4
5
6
x1
x2
x3
x4
x5
x6
=0
= 0, 2
= 0, 4
= 0, 6
= 0, 8
= 1, 0
ȳ1
ȳ2
ȳ3
ȳ4
ȳ5
ȳ6
=0
=0
= 0, 040
= 0, 128
= 0, 2736
= 0, 48832
y1
y2
y3
y4
y5
y6
=0
= 0, 021403
= 0, 091825
= 0, 22212
= 0, 42554
= 0, 71828
Notiamo che al crescere di n la soluzione e la sua approssimazione numerica
si allontanano sempre di piú.
7
Il metodo di Eulero é semplice ma difficilmente utilizzabile, quindi
1.2
Metodo di Eulero invertito
Il metodo di Eulero invertito é una variante del metodo di Eulero in cui lo
schema ricorsivo é nascosto in una equazione. Vediamo alcuni esempi. Sia il
problema di Cauchy
0
y =x+y
y(0) = 0
Come intervallo scegliamo [0,1] e come passo di risoluzione scegliamo 0,2 . In
questo caso la formula ricorsiva del metodo di eulero diventa
yn+1 = yn + 0.2(xn+1 + yn+1 )
che si riscrive
yn − hxn+1
yn + hxn+1
=
1 − 0.2
0.8
Per n = 5 otteniamo la seguente tabella
yn+1 =
1
2
3
4
x1
x2
x3
x4
=0
= 0, 2
= 0, 4
= 0, 6
ȳ1
ȳ2
ȳ3
ȳ4
=0
= 0.05
= 0, 1625
= 0, 35313
y1
y2
y3
y4
= 0, 0214030
= 0, 021403
= 0, 091825
= 0, 22212
8
5
6
x5 = 0, 8
x6 = 1, 0
ȳ5 = 0, 64141 y5 = 0, 42554
ȳ6 = 1, 0518 y6 = 0, 71828
2
I numeri complessi
I numeri complessi sono estensioni del numeri reali e sono stati inventati per
risolvere le equazioni di terzo grado.
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