I numeri Reali ‐ Topologia su R Questa dispensa rappresenta una breve introduzione ai numeri reali e alla loro Topologia, minimo
necessario per affrontare serenamente lo studio dell’ANALISI MATEMATICA. Inoltre non si ha la
pretesa che solo queste poche pagine scritte siano sufficienti ad una preparazione adeguata, ma
che siano soprattutto un vademecum da approfondire con quanto sarà detto a lezione e quant’altro
sortirà dal dibattito didattico sull’argomento.
I NUMERI
Numeri Naturali
0,1,2,3 … .
Numeri Relativi Z = 0, 1, 2, 3 … . .
/
Numeri Razionali
,
0
1,2,3 … . 1, 2, 3 … .
0
Un’introduzione al concetto di NUMERO IRRAZIONALE
Si dice "radice quadrata" di un numero positivo a, quel numero positivo b che elevato al quadrato dà come
risultato a.
√
Esempi: √25
,
5; 0
; √0,04
0,2
Ma si prenda in esame il numero √2 , per renderci meglio conto della sua natura prendiamo in esame la
tabella seguente:
14
10
141
100
14142
10000
15
10
142
100
14143
10000
1,96
1,9881
1,9996164
2,25
2,0164
2,00024449
A questo punto la domanda sorge spontanea, quale è la frazione che al quadrato, o meglio quale è il numero
razionale
che al quadrato dà 2 ?
Teorema
, il quale elevato al quadrato dia come risultato 2.
Non esiste alcun numero razionale
Dim.: si proceda per assurdo, cioè negando la tesi e procedendo logicamente si ottiene una contraddizione.
2.
Si supponga l’esistenza di
, con a e b numeri primi tra loro, tale che
Sviluppando il quadrato si ottiene che
2 2
2
è è è 2
4
4
2
.
Pagina 1 di 8 Appunti per la classe 5 Sez. B A.S. 2008/2009 – I.S.I.S.S. “A. Scarpa” I numeri Reali ‐ Topologia su R Ma attenzione si è dimostrato che a e b sono numeri pari, quindi divisibili per due. ASSURDO! Si era
supposto che a e b fossero primi tra loro. Come volevasi dimostrare (C.v.d.)
APPROFONDIMENTO: Fai una ricerca di storico‐epistemologica con argomento “L’incommensurabilità della diagonale del quadrato” e il “Il problema della duplicazione del cubo”. Siamo dunque costretti ad ammettere che il numero √2 non è esprimibile sotto forma di frazione, o meglio
non è numero razionale.
Analogamente, si può dimostrare che non sono esprimibili sotto forma di frazione i seguenti numeri:
√3; √5; √7; √8; √10; … …
e, in generale, tutte le radici quadrate di numeri interi che non sono “quadrati perfetti” (si dice “quadrato
perfetto” un intero che sia il quadrato di un altro intero);
Inoltre √2; √3; √5; √7
e, in generale, tutte le radici cubiche di numeri interi che non sono "cubi perfetti";
• le radici n-esime degli interi che non sono n-esime potenze perfette;
• il numero
3,1415927 (che interviene nello studio della circonferenza e del cerchio)
• il numero, Numero di Nepero,
2,7182818 (un altro numero “principe” della matematica, che si
incontra nelle più svariate questioni)
• ecc. ecc. ecc.
Gli insiemi numerici
Per quanto visto, nasce l’esigenza di definire e costruire un nuovo insiemi numerico che comprenda i numeri
IRRAZIONALI, indicati con l’insieme I. Risponde a tale esigenza l’insieme dei numeri reali che in
maniera insiemistica si definisce come:
R I
Q Z N
Pagina 2 di 8 Appunti per la classe 5 Sez. B A.S. 2008/2009 – I.S.I.S.S. “A. Scarpa” I numeri Reali ‐ Topologia su R I numeri reali
Una tra le definizioni più brillanti dei numeri reali è stata dovuta al grande matematico Dedekind, che pensò
bene di non poter definire un numero reale allo stesso modo degli altri numeri, ma per la natura degli
irrazionali avesse la necessità di introdurre un concetto che si studierà meglio in seguito, il concetto di
approssimazione tramite degli insiemi numerici. Ne accenneremo alcuni aspetti.
Le sezioni di Dedekind
Dato un numero razionale
razionali maggiori q
, si indichino A la classe dei razionali minori di q e con B la classe dei
/ ,
/ Le classi A e B godono delle seguenti proprietà:
1. A e B non sono vuote e non sono disgiunte;
,
,
2.
, ogni razionale a’ < a appartiene ad A; inoltre preso un a appartenente ad A esiste un a’’
appartenente ad A tale che a’’ sia maggiore di a, in simboli
/
.
3.
, ogni razionale b’ > b appartiene ad B; inoltre preso un b appartenente a B esiste un b’’
appartenente a B tale che b’’ sia minore di b, in simboli
/
.
4.
, cioè l’unione di A e B contiene tutti i razionali ad eccezione di q, che risulta
maggiore di tutti i numeri della classe A e minore di tutti i numeri della classe B.
Dato un numero
razionali maggiori r
si indichino si indichino A la classe dei razionali minori di q e con B la classe dei
/ ,
/ Le classi A e B godono proprietà 1, 2 e 3 sopraelencate e della seguente :
4a.
, cioè l’unione di A e B contiene tutti i razionali, che risulta maggiore di tutti i numeri
della classe A e minore di tutti i numeri della classe B.
Def. Sezione di Q - Ogni coppia di classi di numeri razionali che soddisfa le condizioni 1, 2, 3, 4 oppure 1,
2, 3, 4° viene definita come una SEZIONE dell’insieme Q dei razionali e la si indicherà con i simboli
,
Def. Numero reale - Un numero reale r è una sezione dell’insiemi dei numeri razionali. r =
Proprietà – Totale ordinamento – Sia presi due numeri reali
dei seguenti fatti:
•
•
•
r = r’
r < r’
r > r’
,
ed r’ =
,
,
si verifica sempre uno
se A=C e B=D
se A è incluso in C ed esiste un (almeno) elemento di C che appartiene a B.
se C è incluso in A ed esiste un elemento di A che appartiene a D
Per brevità e semplicità si elencheranno le proprietà dei numeri reali senza ulteriori dimostrazioni,
limitandosi ad un approccio intuitivo.
Pagina 3 di 8 Appunti per la classe 5 Sez. B A.S. 2008/2009 – I.S.I.S.S. “A. Scarpa” I numeri Reali ‐ Topologia su R Proprietà della completezza – Presi due numeri reali distinti r e r’, con r < r’ esisterà sempre (almeno) un
numero reale r’’ tale che r < r’’ < r’
Classi Contigue
Nella precedente definizione di sezione, quindi di numero reale, si è fatto ricorso al concetto di classi
definendole in maniera tale da coprire tutto l’insieme Q con al più escluso un elemento. Si può dare una
definizione di numero reale ricorrendo ad un concetto più semplice e con condizioni meno restrittive, tale
definizione coinvolge sì insiemi infinti, ma non necessariamente che ricoprano Q.
Partiamo da un esempio concreto. Abbiamo visto in precedenza che il numero √5 è un numero irrazionale,
quindi non razionale, ma reale.
√5
2,236067978 ….
Siano S e T due sottoinsiemi infiniti di Q definiti così:
S
T
2
3
2,1
2,8
2,2
2,6
2,22
2,43
2,234
2,241
2,2359
2,2364
2,23605
2,23611
….
….
Gli elementi di S e T si avvicinano rispettivamente per difetto e per eccesso al valore di √5, ma essendo tale
numero reale nessun elemento di S e T, composti da razionali, potrà mai uguagliarlo.
Si può facilmente vedere che:
1) Ogni elemento di S è minore di ogni elemento di T
2) Comunque si fissi un numero
0, “piccolo a piacere”, è possibile trovare un elemento di T ed un
elemento di S la cui differenza sia minore di ; in simboli
0 ,
/ Per verificare ciò:
se
0,3 se
0,1 se
0,01 2,43 2,22 2,241 2,234 2,43
2,22
2,241
2,2364 2,2359 0,19
2,234
2,2364
0,07
2,2359
0,005
e così via. LE CLASSI SONO INDEFINITAMENTE VICINE.
Def. Classi Contigue – Due insiemi A e B costituiscono una coppia di classi contigue se godono di due
proprietà :
1. Sono separate, cioè ogni elemento di della prima classe è minore di ogni elemento della seconda;
2. Preso comunque un numero > 0 , “piccolo a piacere”, è possibile determinare un elemento della
seconda classe e uno della prima la cui differenza è minore . (proprietà dell’avvicinamento indefinito).
0 ,
/ Teorema
Siano A e B due classi contigue allora esiste, ed è unico, il numero r, detto elemento separatore delle classi,
tale che
,
Pagina 4 di 8 Appunti per la classe 5 Sez. B A.S. 2008/2009 – I.S.I.S.S. “A. Scarpa” I numeri Reali ‐ Topologia su R Def. Numero reale - Si chiama numero reale r l’elemento separatore di due classi contigue.
Insiemi limitati – Intervalli – Intorni
Def. Insieme limitato superiormente – Sia E un sottoinsieme (proprio) dei numeri reali,
, E si dice
limitato superiormente se:
esiste un numero (almeno uno) M tale che per ogni x appartenente ad E risulti x minore o uguale a M
/ Dalla definizione precedente è chiaro che di numeri M se un insieme è limitato ne posso trovare infiniti,
infatti basti pensare che tra due numeri reali, il “più grande elemento di E” ed M, esiste sempre un elemento
separatore e se M fosse un elemento di E (comunque finito) si può sempre trovare un numero M’ maggiore
di M, dato che i reali sono infiniti.
Esempio: Sia E =
/ ,
1; ; ; ; … ;
;…;
;…
L’insieme E in questo caso è limitato superiormente in quanto per M = 2 soddisfa la definizione,
ma la soddisfa per molti altri M, ad esempio M’=1,5, M’’=100, M’’’=1. Si può notare come gli M
proposti soddisfino in modo più o meno fine la definizione, ed in particolare M’’’=1 è anche
. Esistono delle differenze tra i vari valori di M? Condizionano in
elemento di E
qualche modo la nomenclatura degli insiemi limitati?
, se esiste M R tale che , si dice
, se esiste un M E tale che , si dice
Def. Maggiorante di un insieme – Sia
maggiorante di E.
Def. Massimo di un insieme – Sia
massimo di E.
Def. Insieme limitato inferiormente – Sia
, E si dice limitato superiormente se:
/ Esempio: Sia E =
/ ,
1; ; ; ; … ;
;…;
;…
L’insieme E in questo caso è limitato inferiormente in quanto m = -2 soddisfa la definizione, ma
la soddisfa per molti altri m, ad esempio m’= -1,5, m’’=0. Si può notare come gli m proposti
soddisfino in modo più o meno fine la definizione, ed in particolare m’’=0 che comunque non è
elemento di E.
Def. Minorante di un insieme – Sia
, se esiste m R tale che , si dice minorante
di E.
Pagina 5 di 8 Appunti per la classe 5 Sez. B A.S. 2008/2009 – I.S.I.S.S. “A. Scarpa” I numeri Reali ‐ Topologia su R Def. Minimo di un insieme – Sia
, se esiste un M E tale che , si dice minimo
di E.
Esempio: Sia E =
/ ,
1; ; ; ; … ;
;…;
;…
L’insieme E ammette Massimo per M = 1, ma non ammette minimo, in quanto 0
Esempio:
Sia A = 2,3,5, 7,11, … .
ammette minimo m = 2
/ è E
A è limitato inferiormente ed
Esempio: Sia B = 1,2,3,5,6,10,15,30
/ è 30 ; B è limitato inferiormente e
superiormente ed ammette minimo m=1 e massimo M=30. Questo insieme si dirà limitato, come espresso
dalla seguente definizione.
Def. Insieme limitato – Sia
, E si dice limitato se è limitato sia superiormente che inferiormente:
,
/ Def. Insieme non limitato – Un insieme non limitato si dice illimitato.
INTERVALLI
Def. Intervallo – Si definisce intervallo aperto di estremi a e b e si indica con
(infinito) di tutti i numeri reali x tale che
;
/ ,
l’insieme
; Def. Intervallo Chiuso – Si definisce intervallo aperto di estremi a e b e si indica con
, l’insieme (infinito) di tutti i numeri reali x tale che
;
/ ; Def. Ampiezza di un intervallo – Sia ; definisce ampiezza dell’intervallo la quantità b-a
;
un intervallo aperto o chiuso si
Tabella intervalli limitati e insiemi illimitati
Intervallo
aperto
;
Intervallo
chiuso
;
Intervallo
chiuso a sx
;
Intervallo
chiuso a dx
;
Insieme
illimitato inf.
Insieme
illimitato sup.
∞;
; ∞
Insieme chiuso a dx
e illimitato inf.
Insieme chiuso a sx
e illimitato sup.
Rispettando questa sintassi l’insieme dei numeri reali
∞;
; ∞
∞, ∞
Pagina 6 di 8 Appunti per la classe 5 Sez. B A.S. 2008/2009 – I.S.I.S.S. “A. Scarpa” I numeri Reali ‐ Topologia su R INTORNO
,
Def. Intorno – Dato
contenente x0.
0, si definisce intorno di x0 ogni intervallo APERTO
;
In simboli
3
Esempi:
2; 7 ;
3
;2
3
;
5; 3,1
, si definisce intorno sinistro di x0 ogni intervallo APERTO
Def. Intorno Sinistro – Dato
contenente che abbia come estremo destro x0.
In simboli
;
Esempi:
1
3; 1 ;
2,7;
;
2
0;
2
Def. Intorno Destro – Dato
0, si definisce intorno sinistro di x0 ogni intervallo
APERTO contenente che abbia come estremo sinistro x0.
In simboli
;
Esempi:
1
1; 1 ;
;3 ;
2
2; 1
Adesso si definirà un “nuovo” tipo di intorno prevalentemente utilizzato in analisi in quanto più
immediato nella comprensione e più pratico per le esemplificazioni.
Def. Intorno Circolare– Dato
intervallo APERTO così fatto:
In simboli
|
E sia
,|
0, si definisce intorno di centro x0 e raggio , ogni
,
;
(Entrambe le notazioni sono utili)
Per le definizioni di intorno sinistro e intorno destro non cambia nulla in quanto lo scostamento da
avviene solo a destra o a sinistra, e tale scostamento è assimilabile come raggio
dell’intorno (naturalmente solo sinistro o destro).
Def. Punto di Accumulazione – Dato un insieme
e sia
,
è punto di accumulazione
di A se in ogni intorno di x0 cade almeno un elemento di A distinto da x0.
In simboli:
è p.to di acc. per
,
Esempi: a) I numeri reali appartenenti ad un intervallo
;
sono punti di accumulazione per A
b) 2 è punto di accumulazione per 2,4 , infatti anche se due non appartiene ad A, ma preso un
;2
,
2
2,2
che sono infiniti
intorno qualunque di 2, cioè 2
2
sia piccolo, e ciò si ha per il teorema sull’esistenza dell’elemento separatore.
punti, quantunque
Pagina 7 di 8 Appunti per la classe 5 Sez. B A.S. 2008/2009 – I.S.I.S.S. “A. Scarpa” I numeri Reali ‐ Topologia su R c) Sia A =
/ ,
1; ; ; ; … ;
;…;
; … , tale insieme (attenzione non è
un intervallo!) ammette un unico punto di accumulazione.
1 non è punto di accumulazione in quanto
1
1
;1
;
non ha alcun punto, oltre
1, in comune con A. La stessa considerazione si faccia per qualsiasi altro elemento di A prendendo
un intorno “adeguatamente” piccolo. Mentre 0, pur non appartenendo ad A, preso 0
;0
e considerato “piccolo a piacere”
esisterà sempre un 1/n più piccolo, quindi si
0
ha non uno ma infiniti elemento in comune, cioè tutti quelli minori di della forma 1/ n .
Teorema
Se
è punto di accumulazione dell’insieme A, in ogni intorno di
, cadono infiniti punti di E
Def. Derivato di un Insieme – Dato un insieme
, si chiama derivato di A e lo si indica con il
simbolo
l’insieme di tutti i punti di accumulazione.
Pagina 8 di 8 Appunti per la classe 5 Sez. B A.S. 2008/2009 – I.S.I.S.S. “A. Scarpa”
