Gli eventi - IFTS AGRIMARKET

Gli eventi
Torniamo ora a occuparci degli eventi. Qualunque sia la concezione utilizzata per determinare la probabilità di un evento, si lavora all'interno di un insieme determinato di casi possibili.
\
L'insieme 5 di tutti i possibili risultati relativi a un determinato esperimento si chiama spazio probabilistico o universo.
Ogni sottoinsieme A dello spazio probabilistico S si chiama evento: A C S.
Possiamo quindi dire che:
un evento A e un insieme di possibili risultati.
Poiché gli eventi sono insiemi, ogni considerazione relativa a eventi può essere espressa con
il linguaggio degli insiemi, pertanto si ha che:
• un evento A si dice certo se coincide con S;
• un evento A si dice impossibile se è l'insieme vuoto 0;
• un evento A si dice elementare se è un insieme con un solo elemento.
Analizziamo ora i seguenti esempi.
1. Nel lancio di una moneta determiniamo lo spazio probabilistico S.
Lanciando una moneta si può ottenere testa o croce, cioè:
T= testa
e
C = croce
L'insieme S= [T, C] ha, quindi, 2 elementi.
2. Nel lancio contemporaneo di due monete, vogliamo calcolare la probabilità che
esca la stessa faccia.
L'insieme 5 di tutti i casi possibili è dato da tutte le possibili coppie che si possonc
formare tra i risultati T e C, cioè:
S={(T, T); (T, C); (C, T), (C, C)}
L'evento di cui vogliamo calcolare la probabilità è E— esce la stessa faccia, cioè:
£={(r,
Pertanto, tutti i casi possibili sono 4 mentre i casi favorevoli sono 2; dunque la
probabilità dell'evento E è:
p(E} =
2
1
3. Nel lancio contemporaneo di due dadi, vogliamo calcolare la probabilità che la
somma delle due facce sia 6.
E = la somma delle due facce dei dadi è 6
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L'insieme di tutti i casi possibili è dato da tutte le possibili coppie che si possono
formare con i numeri naturali compresi tra 1 e 6; per determinarlo possiamo utilizzare un diagramma ad albero:
l°dado 2° dado I°e2° l° + 2°
dado
l°dado 2° dado T e 2° l° + 2°
dado
(ini
U;3)
0;4)
i ° dado 2° dado I°e2° l° + 2°
dado
l°dado 2° dado I°e2° l° + 2°
dado
mentre quello dei casi favorevoli è 5;
Usando le operazioni tra i sottoinsiemi di 5 si ottengono nuovi elementi di S.
Dati due eventi f, e E2, appartenenti allo stesso spazio probabilistico, si chiama evento unione
E = E, u E2 l'evento E che consiste nel verificarsi dell'evento f, o dell'evento £2, dove la congiunzione o
è da intendersi in senso inclusivo, ossia si possono verificare l'uno o l'altro oppure entrambi gli eventi.
Dati due eventi f, e E2l appartenenti allo stesso spazio probabilistico, si chiama evento intersezione
E = f, n E2 l'evento f che consiste nel verificarsi dell'evento f, e dell'evento E2l cioè di entrambi gli eventi.
80
>
\/
Consideriamo il seguente esempio.
Estraendo due carte da un mazzo di 52 carte, vogliamo che esca:
b) una regina e un 5.
a) una regina o un 5;
Nel caso a} l'evento da considerare è:
T-
•
C
h = esce una regina o un 5;
questo evento è la composizione di due eventi:
£", = esce una regina;
E2 = esce il 5.
Nel caso b) l'evento da considerare è:
E = esce una regina e un 5;
questo evento è la composizione di due eventi:
esce una regina;
e
£r2 = esce il- l5.
Si può notare che gli eventi El e E2 nei due casi sono gli stessi, ma varia la congiunzione che li lega.
La diversa congiunzione definisce i due diversi eventi proposti nell'esempio:
• l'evento unione relativo all'esempio à}\ l'evento intersezione relativo all'esempio b}.
Ci poniamo ora il problema di vedere se è possibile calcolare la probabilità dell'evento unione e dell'evento intersezione partendo dalla probabilità degli eventi che li compongono.
La probabilità dell'evento unione
Dati due eventi A e B consideriamo l'evento unione C'-A U B = C.
B
A\JB=C
Viene spontaneo chiedersi se la probabilità dell'evento unione di due eventi sia uguale alla
somma delle probabilità degli eventi stessi: scopriamolo analizzando i seguenti esempi.
1. Lanciando un dado vogliamo, ad esempio, calcolare la probabilità che esca un numero maggiore di 2 oppure un numero dispari.
E= esce un numero maggiore dì 2 o un numero dispari
L'evento E è composto da due eventi E} e E2, più precisamente è un evento unione; quindi E = E{ U E2, dove:
EI = esce un numero maggiore di 2;
.
E2 = esce un numero dispari.
81
Calcoliamo la probabilità di questi due eventi:
4
fì (F \
/fwiJ
CP =4
u/ i
/- —
o
2
2
3
1
Supponendo che p (E) ~ p (£,) + p (£2) si ha che:
2
3
1
2
7
6
i
II risultato ottenuto è impossibile perché deve essere O
Vediamo che cosa non ha funzionato nel nostro ragionamento analizzando la rappresentazione grafica degli eventi in questione:
{3, 4, 5, 6};
Quindi:
£2 = {1, 3, 5};
£= £, (JE2 = [I, 3, 4, 5, 6}
p (E) ~
Gli eventi El e E2 hanno due elementi in comune, ossia £, O E2 = {3, 5}, quindi
quando eseguiamo la somma delle due probabilità questi due elementi vengono
contati due volte nei casi favorevoli. Per questo motivo abbiamo ottenuto un risultato impossibile.
r
Se invece sottraiamo dalla somma la probabilità dell'evento intersezione, cioè:
2
p(E] =p(E} U £2) =
1 .
otteniamo:
+p(E2] -p(E,
che è proprio il valore della probabilità cercata.
2. Calcoliamo ora la probabilità che lanciando un dado esca il numero 3 o un numero pari.
. . .
.,
Anche in questo caso I evento:
E = esce il numero 3 o un numero pari
è l'evento unione degli eventi £, e £2:
El — esce il numero 3;
E2 — esce un numero pari
Si ha che:
£, - {3};
£, - {2, 4, 6};
E= £, U £2 = {2, 3, 4, 6};
m
Calcoliamo i casi fpossibili e i casi favorevoli dell'evento £:
4
82
£, D E2 = 0.
Calcoliamo ora i casi possibili e Ì casi favorevoli degli eventi E\ E2:
Se facciamo la somma delle probabilità otteniamo la probabilità cercata?
1
i
4
2
La risposta alla domanda che ci siamo posti è affermativa. Cosa è cambiato rispetto all'esempio precedente? In questo caso l'intersezione degli insiemi che rappresentano i due eventi è l'insieme vuoto, cioè i due eventi El e E2 non hanno elementi in comune.
Prima di generalizzare i risultati ottenuti nei due esempi precedenti, dobbiamo distinguere
gli eventi tra compatibili e incompatibili.
X.
Due eventi si dicono compatibili se si possono verificare contemporaneamente. L'intersezione degli
insiemi che rappresentano due eventi compatibili è un insieme non vuoto.
Due eventi si dicono incompatibili se il verificarsi dell'uno esclude il verificarsi dell'altro. Gli insiemi
che rappresentano due eventi incompatibili sono disgiunti.
Compatibili
Eventi El e E2: (.
Incompatibili
Pi E2 = 0
Enunciamo ora i teoremi relativi alla probabilità dell'evento unione.
Teorema della probabilità totale, relativo a eventi compatibili
Dati due eventi E, e E2 compatibili, la probabilità dell'evento unione E = E, u E2 è uguale alla somma delle probabilità dei due eventi E, e E2, diminuita della probabilità dell'evento
intersezione, E, n E2:
Teorema della probabilità totale, relativo a eventi incompatibili
Dati due eventi E, e E2 incompatibili, la probabilità dell'evento unione E = E, u E2 è
uguale alla somma delle probabilità dei due eventi E, e E2:
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ESEMPI
1. Calcoliamo la probabilità che estraendo a caso una carta da un mazzo di 40 carte
questa sia un re o una figura di denari.
E — esce un re o una figura di denari
L'evento E è l'evento unione dei due eventi seguenti:
C*
E| = esce un re;
E2 — esce una figura di denari;
E = EI U E2.
,
Bisogna innanzitutto stabilire se i due eventi sono compatibili o incompatibili.
Questi due eventi sono compatibili perché tra le figure di denari c'è anche il re,
quindi possiamo applicare il teorema della somma di eventi compatibili:
p(E} =
H E2 = {re di denari}.
Calcoliamo le probabilità da inserire nella formula:
C/>,=40
CF, =4
/>(£,) =
p(E^E2} =
Pertanto si ha che:
p(E) = /»(£, U£) =p(E,} + j>(E2] La probabilità che si verifìchi l'evento E = E} U E2 è —r.
20
2. Calcoliamo la probabilità che estraendo a caso una carta da un mazzo di 40 carte
questa sia un fante o un 7.
E — esce un fante o un 7
E= E} U E2 in cui:
E] — esce un fante;
E2 = esce un 7.
Poiché i due eventi sono incompatibili, E1C\E2 = 0, possiamo applicare il teorema della somma di eventi incompatibili:
p(E)=p(E,\JEJ
=/»(£,) +p(E2]
Calcoliamo le probabilità degli eventi E{ e E2:
CP, = 4
CPy - 40
Per cui si ha:
p(E} =
La probabilità che esca un fante o un 7 è