Lavoro ed energia
Lavoro di una forza
Teorema dell’energia cinetica
Forze conservative
Conservazione dell’energia
Moto uniformemente accelerato
1) v=v0+a(t-t0)
2) s=s0+v0(t-t0)+½a(t-t0)2
s=s0 + v0 (v - v0) /a + ½ (v - v0)2 / a
s=s0 + (2 v0 v – 2 v0 2 + v2 – 2 v0 v + v02)/2 a
3) s – s0 = (v2 – v02)/2a a(s – s0)=1/2(v2 – v02)
Caduta di un grave
h(t) = h0 – ½ g t2
Lavoro di una forza
Consideriamo una forza F applicata ad un punto
materiale P che si sposti di una quantità s lungo una
traiettoria rettilinea.
Si definisce lavoro compiuto dalla forza F che sposta il
suo punto di applicazione di una quantità s, il prodotto
scalare:
L = F·s=F s cos θ
F θ P s Casi particolari
• L è massimo nel caso in
cui forza e spostamento
siano paralleli e concordi:
L = F s cos 0 = F s
• L è nullo nel caso in cui
forza e spostamento
siano perpendicolari:
L = F s cos π/2 = 0
• L è minimo nel caso in
cui forza e spostamento
siano paralleli e discordi:
L = F s cos π = - F s
È la componente della forza lungo lo spostamento l’unica a compiere lavoro! Lavoro per un percorso generico
L = L1+L2+L3 + … = Σi Li
Unità di misura del lavoro
Nel SI il lavoro si misura in Joule:
1 J=1 N · m
Nel CGS si misura in erg:
1 erg = 1 dina · cm.
Ne consegue che:
1 J = 1 N · m = 105 dine·102 cm = 107 erg
Esempio
Concetto di energia
Non è semplice definire il concetto di energia.
L’energia cinetica è una forma particolare di
energia. Esprime l’energia che un corpo
possiede per il fatto che si muove.
In generale per energia si intende la capacità di
un corpo o di un sistema di compiere lavoro.
Trattandosi di una grandezza omogenea al
lavoro, si misura in J nel SI e in erg nel CGS.
Teorema dell’energia cinetica
Dato una particella di massa m e velocità v, si
definisce energia cinetica la quantità scalare:
K = ½mv2
Secondo il teorema dell’energia cinetica o delle
forze vive il lavoro compiuto dalla risultante delle
forze agenti su una particella che si muove di moto
accelerato è uguale alla variazione di energia
cinetica:
L = Kf - Ki = ½ mvf2 - ½ mvi2
Teorema dell’energia cinetica
derivazione
L = FΔs = mavmΔt =
= m(vf-vi/Δt)(vf+vi/2)Δt =
= ½ m(vf-vi)(vf+vi) =
= ½ mvf2 - ½ mvi2 = Kf – Ki
Diretta conseguenza della 2a legge della dinamica.
Lavoro di una forza variabile
Esempio/problema
Quando si trasporta qualcosa ad
un’altezza h si deve compiere lavoro
contro la forza di gravità L = F d cos θ
d cosθ = h Non importa il percorso
compiuto ma solo il dislivello!
θ1=π/3 m=15 Kg
h=10 m
θ1=π/3 d1=20 m L1=?
θ2=π/6 d2=11.55 m L2= ?
θ2=π/6 Forze conservative
Mentre su un punto materiale agisce una forza il
punto può percorrere traiettorie molto complicate.
Il lavoro L dipende in generale da A, da B e dal
percorso scelto per andare da A a B.
Per le forze conservative, L dipende dai soli punti
iniziali e finali e non dalla traiettoria seguita.
Forze conservative
Energia potenziale
Per le forze conservative è possibile introdurre una
grandezza scalare, che dipende dalla posizione,
l’energia potenziale U, tale che:
L = Ui - Uf = - ΔU
(teorema dell’energia potenziale)
L’energia potenziale o posizionale di un corpo
rappresenta l’energia che questo possiede in virtù della
sua posizione sotto l’azione di una forza di tipo
conservativo.
Tale energia è potenzialmente convertibile in altre
forme di energia (cinetica, calore, ecc.).
Conservazione dell’energia meccanica
Supponiamo che su un corpo agiscano esclusivamente delle
forze conservative.
Per il teorema dell’energia cinetica: L = ΔK
Dalla definizione di energia potenziale: L = -ΔU
Per cui: -ΔU = ΔK cioè ΔU+ΔK = 0
Se indichiamo con E l’energia meccanica totale del corpo, la
precedente relazione diventa ΔE = 0
Principio di conservazione dell’energia (meccanica):
L’energia si può trasformare da una forma all’altra ma
l’energia totale di un sistema si conserva
Non è dimostrabile ma al momento non ci sono casi in cui
l’energia non si sia conservata
Vale per tutte le forme di energia!
Energia potenziale
gravitazionale
La forza di gravità è una forza conservativa, ad essa
è associata una energia potenziale pari a U = m g h
E’ l’energia che il corpo possiede per il fatto che si
trova ad una certa quota h.
Energia meccanica del sistema:
½ mv2+ m g h = costante
h=70 m
m= 1 kg
a=g=9.8 m/s2
v0= 0 m/s
vfinale=?
Esercizio
h=70 m
m= 1 kg
a=g=9.8 m/s2
v0= 0 m/s
vfinale=?
Esercizio
s(t)=1/2 a t2
s(tfinale)=1/2 g t2finale= h=70 m
t finale=
2h
140
s=
s = 3.78 s
g
9.8
v = a t = 9.8*3.78 m/s=37.04 m/s
K=1/2 m v2=0.5 * 1 Kg * 37.042 m2/s2= 686 J
Il lavoro fatto si è trasformato in energia cinetica
del corpo? U=mgh=1Kg*9.8 m/s2*70 m=686 J
Esercizio
h=6 m (record mondiale)
m=70 Kg
Determinare la velocità di
arrivo
Cosa succede per
un atleta di 50 kg?
Velocità più grande
o piccola?
Esercizio
h=6 m (record mondiale)
m=70 Kg
Determinare la velocità di
arrivo
U=mgh=70 Kg*9.8m/
s2*6m = 4116 J
Principio di conservazione
K = U = 4116 J = ½ m v2
=> v=10.8 m/s=39 km/h
v=
4116 × 2
m /s
70
Cosa succede per
un atleta di 50 kg?
Velocità più grande
o piccola? La stessa!
mgh × 2
v=
= 2 gh
m
Energia potenziale elastica
Per una forza di natura elastica
esiste una proporzionalità
diretta fra deformazione e
forza deformante: F = k x
(legge di Hooke).
La forza elastica è una forza
conservativa a cui è associata
l’energia potenziale
U = ½ k x2.
Potenza
La potenza esprime la rapidità con cui un lavoro viene
compiuto. E’ definita come il rapporto fra il lavoro
compiuto e l’intervallo di tempo impiegato:
P = ΔL/Δt
Potenza istantanea P = dL/dt = dK/dt = mv dv/dt =
= ma v = Fv
Nel SI si misura in Watt (simbolo W):
1 W = 1 J /s. Nel CGS in erg/s. Da cui:
1 W = 1 J/s = 107 erg/s
Il chilowattora (kWh) è un’unità di misura di energia: 1
kWh = 103 W 3.6 103 s = 3.6 106 J
Esercizio
Un atleta di 60 Kg sale una rampa di scale alta 4.5 m in 4.0 s Quanto lavoro compie? Quanta potenza ha impiegato? Esercizio
Un atleta di 60 Kg sale una rampa di scale alta 4.5 m in 4.0 s Quanto lavoro compie? Quanta potenza ha impiegato? L=mgh=60 Kg*9.8 m/s2*4.5 m=2646 J W=L/Δt=2646 J / 4 s = 661.5 W Cavallo vapore= potenza per sollevare 75 Kg per 1 metro in 1 secondo 1 cavallo-­‐vapore=mgh/s=75*9.8 Js=735 W In Inghilterra 746 W!
