Lavoro ed energia
Lavoro di una forza
Teorema dell’energia cinetica
Forze conservative
Conservazione dell’energia
Lavoro di una forza
Consideriamo una forza F applicata ad un punto
materiale P che si sposti di una quantità s lungo una
traiettoria rettilinea.
Si definisce lavoro compiuto dalla forza F che sposta il
suo punto di applicazione di una quantità s, il prodotto
scalare:
L = F·s=F s cos θ = Fs s
F θ P s Casi particolari
• L è massimo nel caso in
cui forza e spostamento
siano paralleli e concordi:
L = F s cos 0 = F s
• L è nullo nel caso in cui
forza e spostamento
siano perpendicolari:
L = F s cos π/2 = 0
• L è minimo nel caso in
cui forza e spostamento
siano paralleli e discordi:
L = F s cos π = - F s
È la componente della forza lungo lo spostamento l’unica a compiere lavoro! Lavoro per un percorso generico
Si scompone il lavoro in lavori infinitesimali lungo il
percorso, e il lavoro totale è dato dalla somma
di questi contributi
L = L1+L2+L3 + … = Σi Li
Unità di misura del lavoro
Nel SI il lavoro si misura in Joule:
L = F · Δs
1J=1N·m
Esempio
Il lavoro può essere
positivo (la
componente della
forza lungo lo
spostamento ha lo
stesso verso del
primo) o negativo ( la
componente della
forza lungo lo
spostamento ha verso
opposto al primo)
Concetto di energia
Non è semplice definire il concetto di energia,
ma in generale si intende la capacità di un corpo
o di un sistema di compiere lavoro.
L’energia cinetica è una forma particolare di
energia. Esprime l’energia che un corpo
possiede per il fatto che si muove.
Trattandosi di una grandezza omogenea al
lavoro, si misura in J nel SI.
Teorema dell’energia cinetica
Data una particella di massa m e velocità v, si
definisce energia cinetica la quantità scalare:
K = ½ mv2
Secondo il teorema dell’energia cinetica o delle
forze vive il lavoro compiuto dalla risultante delle
forze agenti su una particella che si muove di moto
accelerato è uguale alla variazione di energia
cinetica:
L = ΔK = Kf - Ki = ½ mvf2 - ½ mvi2
Teorema dell’energia cinetica
derivazione
Consideriamo un intervallo di tempo infinitesimo δt, in
cui il punto materiale percorre uno spazio anch’esso
infinitesimo δs.
In questo intervallo il moto sarà uniformemente
accelerato, per cui la velocità media sarà data dalla
media aritmetica delle velocità iniziale e finale.
L = FΔs = mavmΔt = m(vf-vi/Δt)(vf+vi/2)Δt =
= ½ m(vf-vi)(vf+vi) =
= ½ mvf2 - ½ mvi2 = Kf – Ki = ΔK
Diretta conseguenza della 2a legge della dinamica:
F=ma
Seconda derivazione.
Moto uniformemente accelerato
1) v=v0+a(t-t0) t-t0 = v-v0/a
2) s=s0+v0(t-t0)+½a(t-t0)2
s=s0 + v0 (v - v0) /a + ½ (v - v0)2 / a
s=s0 + (2 v0 v – 2 v0 2 + v2 – 2 v0 v + v02)/2 a
s – s0 = (v2 – v02)/2a a(s – s0)=1/2(v2 – v02)
Lavoro di una forza variabile
Teorema dell’energia cinetica derivato e valido per
accelerazione costante.
F=ma
Anche la forza è costante.
Come si calcola il lavoro fatto da una forza variabile?
Vale il teorema dell’energia cinetica?
Lavoro di una forza variabile
Una forza variabile
nel piano F-x descrive
un’area che può
essere approssimata
come somma di
“rettangoli di forza
costante”.
La sommatoria Σ di
questi triangoli,
quando la base Δx
tende a zero, si
chiama integrale e
si indica con ∫ Il teorema dell’energia cinetica è valido anche nel
caso di forze variabili
Forze conservative
Mentre su un punto materiale agisce una forza il punto
può percorrere traiettorie molto complicate. Il lavoro L
dipende in generale da A, da B e dal percorso scelto per
andare da A a B.
Per le forze conservative, L dipende dai soli punti
iniziali e finali e non dalla traiettoria seguita
(si conserva la differenza di energia, e quindi il lavoro)
Forze conservative: forza peso
Esempio/problema
Calcolare il lavoro fatto dallo scalatore
contro la forza gravitazionale per
spostare un peso di massa m=15 Kg
ad una altezza h di 10 m. La pendenza
della salita è γ= π/2 - θ = 30°
Esempio/problema
Quando si trasporta qualcosa ad
un’altezza h si deve compiere lavoro
contro la forza di gravità L = F d cos θ
d cosθ = h Non importa il percorso
compiuto ma solo il dislivello!
θ1=π/3 m=15 Kg
h=10 m
θ1=π/3 d1=20 m L1=?
θ2=π/6 d2=11.55 m L2= ?
θ2=π/6 Energia potenziale
Per le forze conservative è possibile introdurre
una grandezza scalare, che dipende dalla
posizione, l’energia potenziale U, tale che:
L = Ui - Uf = -ΔU
(teorema dell’energia potenziale)
L’energia potenziale o posizionale di un corpo
rappresenta l’energia che questo possiede in virtù
della sua posizione sotto l’azione di una forza
di tipo conservativo.
Tale energia è potenzialmente convertibile in
altre forme di energia (cinetica, calore, ecc.).
Conservazione dell’energia meccanica
Supponiamo che su un corpo agiscano esclusivamente delle
forze conservative.
Per il teorema dell’energia cinetica: L = ΔK
Dalla definizione di energia potenziale: L = -ΔU
Per cui: -ΔU = ΔK cioè ΔU+ΔK = 0
Se indichiamo con E l’energia meccanica totale del corpo, la
precedente relazione diventa ΔE = 0
Principio di conservazione dell’energia (meccanica):
L’energia si può trasformare da una forma all’altra ma
l’energia totale di un sistema si conserva
Non è dimostrabile ma al momento non ci sono
casi in cui l’energia non viene conservata
Generalizzabile a tutte le forme di energia!
Energia potenziale
gravitazionale
La forza di gravità è una forza conservativa, ad essa
è associata una energia potenziale pari a U = m g h
E’ l’energia che il corpo possiede per il fatto che si
trova ad una certa quota h.
Energia meccanica del sistema:
½ mv2 + m g h = costante
Energia potenziale gravitazionale
h=70 m
m= 1 kg
a=g=9.8 m/s2
v0= 0 m/s
vfinale=? L=?
Esercizio
h=70 m
m= 1 kg
a=g=9.8 m/s2
v0= 0 m/s
vfinale=? L=?
Esercizio
s(t)=1/2 a t2
s(tfinale)=1/2 g t2finale= h=70 m
t finale=
2h
140
s=
s = 3.78 s
g
9.8
v = a t = 9.8*3.78 m/s=37.04 m/s
K=1/2 m v2=0.5 * 1 Kg * 37.042 m2/s2= 686 J
Il lavoro fatto si è trasformato in energia cinetica
del corpo? U=mgh=1Kg*9.8 m/s2*70 m=686 J
Esercizio
h=6 m (record mondiale)
m=70 Kg
Determinare la velocità di arrivo a
terra
Cosa succede per
un atleta di 50 kg?
Velocità più grande
o piccola?
Esercizio
h=6 m (record mondiale)
m=70 Kg
Determinare la velocità di arrivo a
terra
U=mgh=70Kg*9.8m/s2*6m=4116J
Applicando il principio di
conservazione
K = U = 4116 J = ½ m v2
4116 × 2
=> v =
m / s = 10.8m / s = 39 km / h
70
Cosa succede per
un atleta di 50 kg?
Velocità più grande
o piccola?
La stessa!
v=
mgh × 2
= 2 gh
m
Energia potenziale elastica
Per una forza di natura elastica
esiste una proporzionalità
diretta fra deformazione e
forza deformante:
F = -k x (legge di Hooke).
La forza elastica è una forza
conservativa a cui è associata
l’energia potenziale
U = ½ k x2.
Potenza
La potenza esprime la rapidità con cui un lavoro viene
compiuto. E’ definita come il rapporto fra il lavoro
compiuto e l’intervallo di tempo impiegato:
P = ΔL/Δt
Potenza istantanea P = dL/dt = dK/dt = mv dv/dt =
= ma v = Fv
Nel SI si misura in Watt (simbolo W):
1 W = 1 J /s.
Il chilowattora (kWh) è un’unità di misura di energia: 1
kWh = 103 W 3.6 103 s = 3.6 106 J
Esercizio
Un atleta di 60 Kg sale una rampa di scale alta 4.5 m in 4.0 s Quanto lavoro compie? Quanta potenza ha impiegato? Esercizio
Un atleta di 60 Kg sale una rampa di scale alta 4.5 m in 4.0 s Quanto lavoro compie? Quanta potenza ha impiegato? L=mgh=60 Kg*9.8 m/s2*4.5 m=2646 J W=L/Δt=2646 J / 4 s = 661.5 W Cavallo vapore= potenza per sollevare 75 Kg per 1 metro in 1 secondo 1 cavallo-­‐vapore=mgh/s=75*9.8 Js=735 W In Inghilterra 746 W!
