[0 π/2]. - fataing.poliba.it

Si consideri l’equazione
2x-cosx = 0.
a) Mostrare che esiste una sola soluzione dell’equazione in [0 π/2].
b) Individuare un punto iniziale che garantisca la convergenza del metodo di NewtonRaphson
Soluzione
Posto f(x) = 2x – cosx, si ha f(0) = -1, mentre f(π/2) = π > 0. Quindi esiste almeno una
soluzione dell’equazione in [ 0 π/2]. La funzione è monotona crescente in quanto
f’(x) = 2 + sinx > 0,
e la soluzione è unica in R. Poi la funzione è convessa in quanto f”(x) = cosx ≥ 0, in
[ 0 π/2] annullandosi solo in π/2. Il punto iniziale è quindi x0 = π/2 per garantire la
convergenza del metodo delle tangenti verso l’unico zero α di f. Comunque essendo f
convessa in tutto R, da ogni punto iniziale si finisce in [ α , ∞).
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Si consideri la funzione
f(x) = 8x3 – 6x – 1.
a) Mostrare che f(x) cambia di segno agli estremi dell’intervallo [0 1],
ma non è monotona
b) Mostrare che esiste comunque un solo zero di f in [ 0 1]
c) Indicare il punto iniziale x0 che garantisce la convergenza del metodo
di Newton-Raphson e trovare la successiva approssimazione x1.
Soluzione
La funzione f è continua è differenziabile in [ 0 1] ( un polinomio di
terzo grado)
a) f(0) =-1, f(1)=1. Poi, f’(x) = 24x2 -6, e f’(0) = -6 e f’(1) = 18, da
cui f non è crescente.
b) Risulta f”(x) = 72x da cui f è convessa in [0 1] ed esiste un suo
solo zero in
[ 0 1]
c) Il punto iniziale x0 deve essere tale che f(x0) > 0. cioè, per
esempio, x0 = 1
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Si consideri la funzione positiva in (-∞, +∞)
f(x) = e-2x + x2
Mostrare che f possiede un solo punto di minimo assoluto
Individuare un’ approssimazione iniziale dell’unico zero della derivata prima di f(x), ( che è
l’unico punto di minimo di f) che garantisca la convergenza del metodo di Newton-Raphson
Soluzione
La funzione f è tale che lim f ( x ) = +∞ ed essendo positiva possiede minimo assoluto in R.
x → ±∞
La funzione g(x) = f’(x)/2 = x - e-2x, è strettamente crescente in R, dal momento che g’(x) =
1+2e-2x > 0, per ogni x. Inoltre g(0) = -1 e g(1) = 1-1/e2 > 0. Allora g si annulla una sola
volta in ( -∞, +∞) e in questo unico zero di g, f assume il suo minimo assoluto.
La funzione g è concava in R, dal momento che g”(x) = -4e-2x < 0, per ogni x. Quindi
scegliendo il punto iniziale x0 = 0, il metodo di metodo Newton-Raphson risulta
convergente all’unico zero di g( l’unico minimo di f). In realtà la scelta ogni x0 reale,
porta alla convergenza del metodo. Infatti dall’interpretazione geometrica del metodo di
Newton-Raphson da ogni x0, per la concavità di g, il successivo x1 = x0 - g(x0)/g’(x0) è
tale che g(x1) < 0.
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Si consideri la funzione continua ma non ovunque differenziabile
f(x) = | 10x3 – 5 | - | 5x2 + 10x -2 |
a) Mostrare che l’equazione f(x) = 0, ammette almeno una soluzione in
[ 0 1 ].
b) Determinare col metodo delle successive bisezioni un intervallo di ampiezza ¼
contenente una soluzione dell’equazione f(x) = 0.
Soluzione
La presenza dei valori assoluti rende non differenziabile la funzione nei punti in cui cambia in
segno l’argomento di un valore assoluto.
a) f(0) = 3 e f(1) = -8, da cui f si annulla almeno una volta in [ 0 1]
b) f(1/2) = -1/2, da cui il successivo intervallo contenente uno zero di f è
[0 ½]. Poi si trova f(1/4) = 129/16, e l’intervallo di ampiezza ¼ contenente una
radice dell’equazione f(x) = 0, è [1/4 ½].