Si consideri l’equazione 2x-cosx = 0. a) Mostrare che esiste una sola soluzione dell’equazione in [0 π/2]. b) Individuare un punto iniziale che garantisca la convergenza del metodo di NewtonRaphson Soluzione Posto f(x) = 2x – cosx, si ha f(0) = -1, mentre f(π/2) = π > 0. Quindi esiste almeno una soluzione dell’equazione in [ 0 π/2]. La funzione è monotona crescente in quanto f’(x) = 2 + sinx > 0, e la soluzione è unica in R. Poi la funzione è convessa in quanto f”(x) = cosx ≥ 0, in [ 0 π/2] annullandosi solo in π/2. Il punto iniziale è quindi x0 = π/2 per garantire la convergenza del metodo delle tangenti verso l’unico zero α di f. Comunque essendo f convessa in tutto R, da ogni punto iniziale si finisce in [ α , ∞). •••• Si consideri la funzione f(x) = 8x3 – 6x – 1. a) Mostrare che f(x) cambia di segno agli estremi dell’intervallo [0 1], ma non è monotona b) Mostrare che esiste comunque un solo zero di f in [ 0 1] c) Indicare il punto iniziale x0 che garantisce la convergenza del metodo di Newton-Raphson e trovare la successiva approssimazione x1. Soluzione La funzione f è continua è differenziabile in [ 0 1] ( un polinomio di terzo grado) a) f(0) =-1, f(1)=1. Poi, f’(x) = 24x2 -6, e f’(0) = -6 e f’(1) = 18, da cui f non è crescente. b) Risulta f”(x) = 72x da cui f è convessa in [0 1] ed esiste un suo solo zero in [ 0 1] c) Il punto iniziale x0 deve essere tale che f(x0) > 0. cioè, per esempio, x0 = 1 •••• Si consideri la funzione positiva in (-∞, +∞) f(x) = e-2x + x2 Mostrare che f possiede un solo punto di minimo assoluto Individuare un’ approssimazione iniziale dell’unico zero della derivata prima di f(x), ( che è l’unico punto di minimo di f) che garantisca la convergenza del metodo di Newton-Raphson Soluzione La funzione f è tale che lim f ( x ) = +∞ ed essendo positiva possiede minimo assoluto in R. x → ±∞ La funzione g(x) = f’(x)/2 = x - e-2x, è strettamente crescente in R, dal momento che g’(x) = 1+2e-2x > 0, per ogni x. Inoltre g(0) = -1 e g(1) = 1-1/e2 > 0. Allora g si annulla una sola volta in ( -∞, +∞) e in questo unico zero di g, f assume il suo minimo assoluto. La funzione g è concava in R, dal momento che g”(x) = -4e-2x < 0, per ogni x. Quindi scegliendo il punto iniziale x0 = 0, il metodo di metodo Newton-Raphson risulta convergente all’unico zero di g( l’unico minimo di f). In realtà la scelta ogni x0 reale, porta alla convergenza del metodo. Infatti dall’interpretazione geometrica del metodo di Newton-Raphson da ogni x0, per la concavità di g, il successivo x1 = x0 - g(x0)/g’(x0) è tale che g(x1) < 0. •••• Si consideri la funzione continua ma non ovunque differenziabile f(x) = | 10x3 – 5 | - | 5x2 + 10x -2 | a) Mostrare che l’equazione f(x) = 0, ammette almeno una soluzione in [ 0 1 ]. b) Determinare col metodo delle successive bisezioni un intervallo di ampiezza ¼ contenente una soluzione dell’equazione f(x) = 0. Soluzione La presenza dei valori assoluti rende non differenziabile la funzione nei punti in cui cambia in segno l’argomento di un valore assoluto. a) f(0) = 3 e f(1) = -8, da cui f si annulla almeno una volta in [ 0 1] b) f(1/2) = -1/2, da cui il successivo intervallo contenente uno zero di f è [0 ½]. Poi si trova f(1/4) = 129/16, e l’intervallo di ampiezza ¼ contenente una radice dell’equazione f(x) = 0, è [1/4 ½].