Prova scritta di CALCOLO NUMERICO per Ingegneria Industriale

Prova scritta di CALCOLO NUMERICO per Ingegneria Industriale - Canali 2 e 4
PROF. L. BERGAMASCHI
10 LUGLIO 2014
TEMA N. 1
1. Sia data l’equazione non lineare
e2x − 4ex + 4 = 0,
ξ = ln 2
(a) Si dica quanto valgono ordine e fattore di convergenza del metodo di Newton-Raphson applicato
all’equazione data. Giustificare la risposta.
(b) Si eseguano 3 iterazioni con lo stesso metodo a partire da x0 = 0.5. Si stimi sperimentalmente il
fattore di convergenza, è in accordo con la teoria?
(c) Si vuole ora risolvere l’equazione di partenza con un metodo più veloce del precedente. Si calcolino 2
iterazioni con tale metodo per risolvere l’equazione data a partire da x0 = 0.5. Utilizzando la soluzione
esatta calcolare l’errore all’ultima iterazione.
(d) Senza eseguire iterazioni, si verifichi la convergenza del seguente metodo di punto fisso
xk+1 = ln e2xk + 4 − ln 4.
N.B.: per le iterazioni si eseguano i calcoli con almeno 7 cifre significative.
2. Si vuole risolvere il sistema lineare Ax = b,

4
A =  −1
0
dove:
−1
2
1
0
1
3




1
b= 7 
9
(a) Calcolare analiticamente (senza iterazioni) la costante asintotica del metodo di Gauss-Seidel e verificarne la convergenza.
(b) Effettuare 3 iterazioni con tale metodo a partire dal vettore iniziale x(0) = [1 1 1]T ; sapendo che la
soluzione vera è xv = [1 3 2]T , mediante la norma infinito degli errori stimare sperimentalmente la
costante asintotica.
(c) Spiegare perché è possibile calcolare l’ωopt del metodo SOR e quindi calcolarlo.
(d) Stimare quante iterazioni sono necessarie ai metodi di Gauss-Seidel e di SOR con ω = ωopt perché la
norma dell’errore iniziale si riduca di 11 ordini di grandezza.
3. La funzione f (x) = 2 sin(x/2) + cos(x/2) è nota nei seguenti nodi x0 = 1, x1 = 2, x2 = 4, x3 = 5.
(a) Calcolare il valore di f nei nodi sperimentali con 4 cifre dopo la virgola.
(b) A partire dai dati sperimentali si costruisca la tabella alle differenza divise.
(c) Si calcoli il polinomio interpolante di Newton P3 (x).
(d) Si calcoli P3 (3), l’errore |E(3)| = |f (3) − P3 (3)| e una maggiorazione di |E(3)| mediante la formula del
resto di Lagrange.
(e) Trovare la retta y = a0 + a1 x che approssima i dati nel senso dei minimi quadrati.
4. Metodo di punto fisso.
(a) Dare l’interpretazione geometrica del metodo nei casi di (i) convergenza (ii) divergenza.
(b) Il metodo converge per ogni scelta di x0 ∈ I se · · · Completare l’enunciato e dimostrare il teorema.
(c) Ricavare ordine e fattore di convergenza nel caso in cui g 0 (ξ) = 0.
(d) A partire dall’equazione x2 − x − 2 = 0 si può ricavare (dopo qualche passaggio) il seguente metodo
x2 + 2
. Determinarne ordine e fattore di convergenza utilizzando ξ = 2.
di punto fisso xk+1 = k
2xk − 1
————————————Tempo a disposizione: 2 ore, 30 minuti. (Voti: 8, 8, 8, 8)
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PROF. L. BERGAMASCHI
10 LUGLIO 2014
TEMA N. 2
1. Sia data l’equazione non lineare
e2x − 6ex + 9 = 0,
ξ = ln 3
(a) Si dica quanto valgono ordine e fattore di convergenza del metodo di Newton-Raphson applicato
all’equazione data. Giustificare la risposta.
(b) Si eseguano 3 iterazioni con lo stesso metodo a partire da x0 = 1. Si stimi sperimentalmente il fattore
di convergenza, è in accordo con la teoria?
(c) Si vuole ora risolvere l’equazione di partenza con un metodo più veloce del precedente. Si calcolino 2
iterazioni con tale metodo per risolvere l’equazione data a partire da x0 = 1. Utilizzando la soluzione
esatta calcolare l’errore all’ultima iterazione.
(d) Senza eseguire iterazioni, si verifichi la convergenza del seguente metodo di punto fisso
xk+1 = ln e2xk + 9 − ln 6.
N.B.: per le iterazioni si eseguano i calcoli con almeno 7 cifre significative.
2. Si vuole risolvere il sistema lineare Ax = b, dove:

3 −1 0
A =  −1 2 1
0
1 4




5
b= 4 
17
(a) Calcolare analiticamente (senza iterazioni) la costante asintotica del metodo di Gauss-Seidel e verificarne la convergenza.
(b) Effettuare 3 iterazioni con tale metodo a partire dal vettore iniziale x(0) = [1 1 1]T ; sapendo che la
soluzione vera è xv = [2 1 4]T , mediante la norma infinito degli errori stimare sperimentalmente la
costante asintotica.
(c) Spiegare perché è possibile calcolare l’ωopt del metodo SOR e quindi calcolarlo.
(d) Stimare quante iterazioni sono necessarie ai metodi di Gauss-Seidel e di SOR con ω = ωopt perché la
norma dell’errore iniziale si riduca di 10 ordini di grandezza.
3. La funzione f (x) = sin(x/2) + 2 cos(x/2) è nota nei seguenti nodi x0 = 0, x1 = 1, x2 = 3, x3 = 4.
(a) Calcolare il valore di f nei nodi sperimentali con 4 cifre dopo la virgola.
(b) A partire dai dati sperimentali si costruisca la tabella alle differenza divise.
(c) Si calcoli il polinomio interpolante di Newton P3 (x).
(d) Si calcoli P3 (2), l’errore |E(2)| = |f (2) − P3 (2)| e una maggiorazione di |E(2)| mediante la formula del
resto di Lagrange.
(e) Trovare la retta y = a0 + a1 x che approssima i dati nel senso dei minimi quadrati.
4. Metodo di punto fisso.
(a) Dare l’interpretazione geometrica del metodo nei casi di (i) convergenza (ii) divergenza.
(b) Il metodo converge per ogni scelta di x0 ∈ I se · · · Completare l’enunciato e dimostrare il teorema.
(c) Ricavare ordine e fattore di convergenza nel caso in cui g 0 (ξ) = 0.
(d) A partire dall’equazione x2 − x − 2 = 0 si può ricavare (dopo qualche passaggio) il seguente metodo
x2 + 2
. Determinarne ordine e fattore di convergenza utilizzando ξ = 2.
di punto fisso xk+1 = k
2xk − 1
————————————Tempo a disposizione: 2 ore, 30 minuti. (Voti: 8, 8, 8, 8)
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PROF. L. BERGAMASCHI
10 LUGLIO 2014
TEMA N. 3
1. Sia data l’equazione non lineare
e2x − ex +
1
= 0,
4
ξ = − ln 2
(a) Si dica quanto valgono ordine e fattore di convergenza del metodo di Newton-Raphson applicato
all’equazione data. Giustificare la risposta.
(b) Si eseguano 3 iterazioni con lo stesso metodo a partire da x0 = −0.5. Si stimi sperimentalmente il
fattore di convergenza, è in accordo con la teoria?
(c) Si vuole ora risolvere l’equazione di partenza con un metodo più veloce del precedente. Si calcolino 2
iterazioni con tale metodo per risolvere l’equazione data a partire da x0 = 0.5. Utilizzando la soluzione
esatta calcolare l’errore all’ultima iterazione.
(d) Senza eseguire iterazioni, si verifichi la convergenza del seguente metodo di punto fisso
1
.
xk+1 = ln e2xk +
4
N.B.: per le iterazioni si eseguano i calcoli con almeno 7 cifre significative.
2. Si vuole risolvere il sistema lineare Ax = b, dove:

3 1
0
A =  1 4 −1
0 −1 2




7
b= 4 
3
(a) Calcolare analiticamente (senza iterazioni) la costante asintotica del metodo di Gauss-Seidel e verificarne la convergenza.
(b) Effettuare 3 iterazioni con tale metodo a partire dal vettore iniziale x(0) = [1 1 1]T ; sapendo che la
soluzione vera è xv = [2 1 2]T , mediante la norma infinito degli errori stimare sperimentalmente la
costante asintotica.
(c) Spiegare perché è possibile calcolare l’ωopt del metodo SOR e quindi calcolarlo.
(d) Stimare quante iterazioni sono necessarie ai metodi di Gauss-Seidel e di SOR con ω = ωopt perché la
norma dell’errore iniziale si riduca di 13 ordini di grandezza.
3. La funzione f (x) = sin(x/2) + 4 cos(x/2) è nota nei seguenti nodi x0 = 0, x1 = 1, x2 = 3, x3 = 4.
(a)
(b)
(c)
(d)
Calcolare il valore di f nei nodi sperimentali con 4 cifre dopo la virgola.
A partire dai dati sperimentali si costruisca la tabella alle differenza divise.
Si calcoli il polinomio interpolante di Newton P3 (x).
Si calcoli P3 (2), l’errore |E(2)| = |f (2) − P3 (2)| e una maggiorazione di |E(2)| mediante la formula del
resto di Lagrange.
(e) Trovare la retta y = a0 + a1 x che approssima i dati nel senso dei minimi quadrati.
4. Metodo di punto fisso.
(a)
(b)
(c)
(d)
Dare l’interpretazione geometrica del metodo nei casi di (i) convergenza (ii) divergenza.
Il metodo converge per ogni scelta di x0 ∈ I se · · · Completare l’enunciato e dimostrare il teorema.
Ricavare ordine e fattore di convergenza nel caso in cui g 0 (ξ) = 0.
A partire dall’equazione x2 − x − 2 = 0 si può ricavare (dopo qualche passaggio) il seguente metodo
x2 + 2
. Determinarne ordine e fattore di convergenza utilizzando ξ = 2.
di punto fisso xk+1 = k
2xk − 1
————————————Tempo a disposizione: 2 ore, 30 minuti. (Voti: 8, 8, 8, 8)
Prova scritta di CALCOLO NUMERICO per Ingegneria Industriale - Canali 2 e 4
PROF. L. BERGAMASCHI
10 LUGLIO 2014
TEMA N. 4
1. Sia data l’equazione non lineare
9e2x − 6ex + 1 = 0,
ξ = − ln 3
(a) Si dica quanto valgono ordine e fattore di convergenza del metodo di Newton-Raphson applicato
all’equazione data. Giustificare la risposta.
(b) Si eseguano 3 iterazioni con lo stesso metodo a partire da x0 = −1. Si stimi sperimentalmente il
fattore di convergenza, è in accordo con la teoria?
(c) Si vuole ora risolvere l’equazione di partenza con un metodo più veloce del precedente. Si calcolino 2
iterazioni con tale metodo per risolvere l’equazione data a partire da x0 = −1. Utilizzando la soluzione
esatta calcolare l’errore all’ultima iterazione.
(d) Senza eseguire iterazioni, si verifichi la convergenza del seguente metodo di punto fisso
xk+1 = ln 9e2xk + 1 − ln 6.
N.B.: per le iterazioni si eseguano i calcoli con almeno 7 cifre significative.
2. Si vuole risolvere il sistema lineare Ax = b,

2
A =  −1
0
dove:
−1
4
1
0
1
3




5
b= 2 
4
(a) Calcolare analiticamente (senza iterazioni) la costante asintotica del metodo di Gauss-Seidel e verificarne la convergenza.
(b) Effettuare 3 iterazioni con tale metodo a partire dal vettore iniziale x(0) = [1 1 1]T ; sapendo che la
soluzione vera è xv = [3 1 1]T , mediante la norma infinito degli errori stimare sperimentalmente la
costante asintotica.
(c) Spiegare perché è possibile calcolare l’ωopt del metodo SOR e quindi calcolarlo.
(d) Stimare quante iterazioni sono necessarie ai metodi di Gauss-Seidel e di SOR con ω = ωopt perché la
norma dell’errore iniziale si riduca di 11 ordini di grandezza.
3. La funzione f (x) = 4 sin(x/2) + cos(x/2) è nota nei seguenti nodi x0 = 1, x1 = 2, x2 = 4, x3 = 5.
(a) Calcolare il valore di f nei nodi sperimentali con 4 cifre dopo la virgola.
(b) A partire dai dati sperimentali si costruisca la tabella alle differenza divise.
(c) Si calcoli il polinomio interpolante di Newton P3 (x).
(d) Si calcoli P3 (3), l’errore |E(3)| = |f (3) − P3 (3)| e una maggiorazione di |E(3)| mediante la formula del
resto di Lagrange.
(e) Trovare la retta y = a0 + a1 x che approssima i dati nel senso dei minimi quadrati.
4. Metodo di punto fisso.
(a) Dare l’interpretazione geometrica del metodo nei casi di (i) convergenza (ii) divergenza.
(b) Il metodo converge per ogni scelta di x0 ∈ I se · · · Completare l’enunciato e dimostrare il teorema.
(c) Ricavare ordine e fattore di convergenza nel caso in cui g 0 (ξ) = 0.
(d) A partire dall’equazione x2 − x − 2 = 0 si può ricavare (dopo qualche passaggio) il seguente metodo
x2 + 2
. Determinarne ordine e fattore di convergenza utilizzando ξ = 2.
di punto fisso xk+1 = k
2xk − 1
————————————Tempo a disposizione: 2 ore, 30 minuti. (Voti: 8, 8, 8, 8)