Frequenza relativa e probabilità

Frequenza relativa e probabilità
La
Laprobabilità
probabilitàe'e'un
unnumero
numerocon
concui
cuisisidescrivono
descrivonoi ifenomeni
fenomeniche
chepossono
possonoessere
essere
“pensati”
come
risultato
di
un
“esperimento”
che
cambia
al
ripetersi
“pensati” come risultato di un “esperimento” che cambia al ripetersi
dell’esperimento
dell’esperimentostesso
stesso(pur
(purmantenendo
mantenendolelemedesime
medesimecondizioni
condizionioperative).
operative).
Esempio:
Esempio:
•• Esperimento:
Esperimento: Lancio
Lancio“casuale”
“casuale”didiun
undado
dado
•• Risultato:
Numero
Risultato:
Numerosulla
sullafaccia
facciasuperiore
superioredel
deldado
dado
•• Insieme
Insiemedei
deipossibili
possibilirisultati
risultati(elementari):
(elementari):S={1,2,3,4,5,6}
S={1,2,3,4,5,6}
•• Evento:
Evento:qualsiasi
qualsiasisottoinsieme
sottoinsiemedell’insieme
dell’insiemedei
deirisultati
risultatiA={1,2};
A={1,2};B={2,4,6};
B={2,4,6};ecc.
ecc.
Se
Sesisiesegue
esegueun
unnumero
numeroNNdidiprove
provesufficientemente
sufficientementeelevato,
elevato,sia
sial’esperienza
l’esperienza
sia
sialalateoria
teoriadella
dellaprobabilità
probabilitàmostrano
mostranoche
chelalafrequenza
frequenzarelativa
relativadei
deisingoli
singoli
risultati
risultati(k=1,2,3,4,5,6
(k=1,2,3,4,5,6))(o
(odidiun
unqualsiasi
qualsiasievento)
evento)èèprossima
prossimaalla
allaloro
loro
probabilità:
probabilità:
NA
fA =
≈ P( A)
N
Frequenza relativa e probabilità
NA
fA =
≈ P( A)
N
0 ≤ fA ≤1
0 ≤ P( A) ≤ 1
fS = 1
P(S ) = 1
f AUB = f A + f B − f AIB
P( A U B) = P( A) + P(B) − P( A I B)
f A+ B = f A + f B − f AB
P( A + B) = P( A) + P(B) − P( AB)
Variabile casuale
x
numero reale associato ad un evento
Funzione di distribuzione
Densità di probabilità
Fx (a) = P( x ≤ a)
P(a ≤ x ≤ a + da) d
px (a) =
= Fx (a)
da
da
Variabile casuale continua
••Le
continue
Levariabili
variabilicasuali
casualisono
sono
continuequando
quandopossono
possonoassumere
assumereun
uninsieme
insieme
x
continuo
continuodidivalori
valori(e
(equindi
quindii ipossibili
possibilirisultati
risultatisono
sonoininnumero
numeroinfinito).
infinito).
••Esempio:
Esempio:v.c.
v.c.Uniforme
Uniforme0-1.
0-1.Assume
Assumecon
conlalastessa
stessaprobabilità
probabilitàun
unqualsi
qualsivalore
valorereale
reale
valore
compreso
tra
0
e
1
valore compreso tra 0 e 1
Funzione di distribuzione
Fx (a) = P( x ≤ a) = a
Densità di probabilità
d
px (a) = Fx (a) = 1
da
Variabile casuale discreta
••Le
discrete
Levariabili
variabilicasuali
casualisono
sono
discretequando
quandopossono
possonoassumere
assumereun
uninsieme
insieme
x
discreto
discretodidivalori
valori(e
(equindi
quindii ipossibili
possibilirisultati
risultatisono
sonoininnumero
numerofinito).
finito).
••Esempio:
Esempio:v.c.
v.c.Legata
Legataalalnumero
numerosulla
sullafaccia
facciasuperiore
superioredel
deldado.
dado.
Funzione di distribuzione
1
1
1
Fx (a) = P( x ≤ a) = u(a −1) + u(a − 2) + ... + u(a − 6)
6
6
6
Densità di probabilità
d
1
1
1
px (a) = Fx (a) = δ (a −1) + δ (a − 6) + ... + δ (a − 6)
da
6
6
6
Uso della densità di probabilità
Dalla
Dalladensità
densitàdidiprobabilità
probabilitàp(a)
p(a)èèfacile
facilecalcolare
calcolarelalaprobabilità
probabilitàche
chelalavariabile
variabile
casuale
casualexxassuma
assumaun
unvalore
valorecompreso
compresoininun
unintervallo
intervalloaa11, ,aa22. .Basta
Bastasommare!
sommare!sisi
ottiene
ottienel’area
l’areasottesa
sottesadalla
dalladdp
ddpnell’intervallo
nell’intervallod’interesse.
d’interesse.
a2
P(a1 < x ≤ a2 ) = ∫ px (a)da
0.5
0.4
a1
Si noti che
0.3
∞
P(− ∞ < x < ∞) = ∫ px (a)da = 1
0.2
−∞
0.1
Dunque
Dunquel’area
l’areasottesa
sottesadalla
dalladdp
ddpdidiuna
una
qualunque
qualunquevariabile
variabilecasuale
casualeèèunitaria.
unitaria.
0
-5
-4
-3
-2
-1
a1
0
1
2
a2
3
4
5
Variabili casuali continue
•Il
•Ilconcetto
concettodidifrequenza
frequenzarelativa
relativaviene
viene
recuperato
recuperatoapprossimando
approssimandol’insieme
l’insieme
continuo
continuodidivalori
valoricon
conun
unnumero
numerofinito
finitodidi
intervallini
intervallinididimisura
misura(discretizzazione).
(discretizzazione).
2
1.5
•Ad
•Adesempio,
esempio,se
selalav.c.
v.c.può
puòvariare
variarecon
con
continuità
continuitàtra
tra00ee11gradi,
gradi,non
non
commettiamo
commettiamoun
ungrosso
grossoerrore
errore
approssimando
approssimandol’intervallo
l’intervallocontinuo
continuocon
con20
20
intervallini
intervallinicontigui
contiguilarghi
larghi0.05.
0.05.
1
0.5
0
-0.5
-1
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
•La
•Lavariabile
variabilecasuale
casualeèèdiventata
diventatadiscreta
discreta
(ci
(cisono
sono20
20possibili
possibilirisultati
risultati
dell’esperimento)
dell’esperimento)eepossiamo
possiamo
approssimare
approssimarelalaprobabilità
probabilitàcome
comelimite
limite
della
dellafrequenza
frequenzarelativa
relativaper
perNNelevato.
elevato.
Istogramma dei risultati di una V.C. uniforme
x=rand(1,1000);
hist(x,20)
70
60
50
40
30
20
10
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
All'aumentare del numero di prove, l'istogramma
tende alla frequenza relativa moltiplicata per il
numero di prove.
x=rand(1,1000000);
hist(x,20)
4
6
x 10
5
4
3
2
1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
All'aumentare del numero di prove e del numero di
intervalli, l'istogramma diviso per il numero di prove
e per la dimensione degli intervalli tende alla
densita' di probabilita'
x=rand(1,1000000);
[X,N]=hist(x,20);
bar(N,X/1000000*20)
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
All'aumentare del numero di prove, l'istogramma
tende alla frequenza relativa moltiplicata per il
numero di prove.
x=randn(1,1000000);
hist(x,101)
4
4
V.C. gaussiana
x 10
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
All'aumentare del numero di prove e del numero di
intervalli, l'istogramma diviso per il numero di prove
e per la dimensione degli intervalli tende alla
densita' di probabilita'
x=randn(1,1000000);
[X,N]=hist(x,101);
dx=(N(2)-N(1));
bar(N,X/1000000/dx)
V.C. gaussiana
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Valor medio di una variabile casuale
IlIlvalor
valormedio
mediom
mxx, ,detto
dettoanche
anchevalore
valoreatteso
attesoEE[x]
[x]oomomento
momento(statistico)
(statistico)didiordine
ordine
uno,
uno,didiuna
unavariabile
variabilecasuale
casualexx èèdefinito
definitocome
comesegue.
segue.
∞
m x = E [x ] =
∫ a ⋅ p (a) ⋅ da
x
−∞
Il valor medio di una variabile casuale è l’ascissa del “baricentro” dell’area
sottesa dalla densità di probabilità.
p(a)
p(a)
mX
a
mX
a
Il valor medio della somma di 2 variabili casuali è la somma dei valori medi
Valore quadratico medio e varianza
IlIlvalor
EE[x[x22],],detto
statistica o momento
∞anche
valorquadratico
quadraticomedio
medio
detto
anchepotenza
2
2potenza statistica o momento
2
σ X 2,
=2,E
− mvariabile
− mx ) ⋅ fxx
aè):⋅: da =
didi( X
una
(statistico)
X ) = ∫ (acasuale
X (è
(statistico)didiordine
ordine
una
variabile
casuale
[
[ ]
]
−∞
2
[ ]
E[x2 ] = ∫ a2 ⋅ px(a)⋅ da
−∞
[ ]
= E X 2 − 2 ⋅ mX ⋅ E[ X ] + m2X = E X ∞− 2 ⋅ mX ⋅ mX + m2X = E X 2 − m2X
2
La
Lavarianza
varianzaσσxx2 (detta
(dettaanche
anchemomento
momentocentrale
centraledidiordine
ordine2)
2)didiuna
unavariabile
variabile
casuale
casualexxèèililvalore
valorequadratico
quadraticomedio
mediodella
delladifferenza
differenzatra
traxxeeililsuo
suovalor
valormedio
mediommx
x
σ x2 = E[( x − mx )2 ] = E[x2 ] − mx 2
La
Laradice
radicequadrata
quadratadella
dellavarianza
varianzaèèdetta
dettadeviazione
deviazionestandard
standard(o
(oscarto
scartoquadratico
quadratico
medio)
medio)della
dellavariabile
variabilecasuale
casualexx
σ x = σ x2
x=rand(1,1000000);
z=rand(1,1000000);
b=1/2*x+1/2*z;
[B,N]=hist(a,21);
bar(N,B/1000000*21)
La d.d.p. della somma di 2 v.c. indipendenti è data
dalla convoluzione delle 2 d.d.p.
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Introduzione ai processi casuali
Il rumore termico
Un classico e importante esempio utile a introdurre il concetto di processo
casuale e’ rappresentato dalla debole tensione elettrica v1(t) esistente ai
capi di un resistore. Questa tensione, variabile nel tempo, e’ causata dal
movimento caotico degli elettroni dovuto ad una temperatura del materiale
superiore allo zero assoluto.
Se si misura la tensione v1(t) si ottiene, secondo quanto detto in
precedenza, un segnale deterministico.
v1(t)
t
Introduzione ai processi casuali (2)
Se si prende un secondo resistore identico al primo e posto alla stessa
temperatura e si esegue la misura della tensione elettrica ai suoi capi, si otterra’ di
nuovo un segnale deterministico v2(t), con caratteristiche simili ma diverso dal
precedente dato che gli elettroni si muovono in modo diverso.
v2(t)
t
v1(t)
t
Introduzione ai processi casuali (3)
Se il nostro scopo e’ determinare l’effetto del rumore termico del resistore su
un’apparecchiatura elettronica, non e’ di nessuna utilità conoscere
deterministicamente il comportamento della tensione v1(t) ai capi del primo
resistore se poi il resistore effettivamente montato nell’apparecchiatura e’ il
secondo.
E’ utile invece riuscire a descrivere quelle che sono le caratteristiche della
tensione di rumore comuni a tutti i resistori dello stesso tipo e a quella
temperatura.
In questo modo, qualsiasi sia il resistore (di quel valore e a quella
temperatura) montata nell’apparecchiatura, potremo dire, per esempio, con
quale probabilità si presenteranno certi valori di tensione o quale sarà il
valore atteso della potenza di rumore.
Si abbandona dunque il concetto di certezza (proprio dei segnali
deterministici) per passare a quello dell’incertezza, descritto dalla teoria della
probabilità, proprio dei processi casuali.
Introduzione ai processi casuali (4)
Un processo casuale e’:
l’insieme di tutti i segnali deterministici (detti le realizzazioni del processo)
generati da altrettante sorgenti uguali, ma indipendenti tra loro.
ESEMPIO
Dimendsione Temporale
Dimensione d'INSIEME
Introduzione ai processi casuali (5)
Per ogni tempo t si ottiene una variabile casuale che viene descritta
attraverso la sua ddp
Dimendsione Temporale
Dimensione d'INSIEME
t
Introduzione ai processi casuali (6)
Per ogni coppia di tempi t1 e t2 si ottiengono 2 variabili casuali che
viengono descritte attraverso la loro ddp congiunta
Dimendsione Temporale
Dimensione d'INSIEME
t1
t2
ESEMPIO
x(t ) = cos(2π 0.1t + ϑ )
ϑ
V.C. Unif.
0 - 2π
Dimensione Temporale
1
0
-1
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Dimensione d'INSIEME
1
0
-1
1
0
-1
1
0
-1
1
0
-1
1
0
-1
1
0
-1
1
0
-1
1
0
-1
1
0
-1
ESEMPIO
x(t ) = cos(2π 0.1t + ϑ )
ϑ
V.C. Unif.
0 - 2π
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
ESEMPIO
x(t ) = cos(2π 0.1t + ϑ )
ϑ
V.C. Unif.
0 - 2π
4
7
x 10
6
N=1000000;
fi=rand(1,N)*2*pi;
x=cos(fi);
hist(x,100)
5
4
3
2
1
0
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
ESEMPIO
x(t ) = cos(2π 0.1t + ϑ )
N=1000000;
fi=rand(1,N)*2*pi;
x=cos(fi);
[X,M]=hist(x,100);
bar(M,X/N*50)
p x (a ) =
ϑ
V.C. Unif.
0 - 2π
1
π 1− a2
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x=randn(1,200);
5
0
-5
0
5
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
0
-5
0
5
0
-5
0
Lo "scatterplot" di 2 v.c. è una visualizzazione
indicativa della densita' di probabilità congiunta
x=randn(1,10000);
y=randn(1,10000);
plot(x,y,'.')
axis('square')
4
3
V.C. gaussiane
indipendenti
2
1
y
0
-1
-2
-3
-4
-4
-3
-2
-1
x
0
1
2
3
4
L'istogramma dei risultati di 2 V.C. Gaussiane indipendenti con valor medio nullo e
e varianza unitaria
x=randn(1,10000);
y=randn(1,10000);
Fxy=hist3([x' y'],{-5:0.1:5 -5:0.1:5});
imagesc((-5:0.1:5),(-5:0.1:5),Fxy)
colorbar
-5
-4
20
-3
-2
15
-1
0
10
1
2
5
3
4
5
-5
0
5
0
All'aumentare del numero di prove, l'istogramma tende alla frequenza relativa
moltiplicata per il numero di prove.
x=randn(1,1e7);
y=randn(1,1e7);
Fxy=hist3([x' y'],{-5:0.1:5 -5:0.1:5});
imagesc((-5:0.1:5),(-5:0.1:5),Fxy)
colorbar
16000
-5
-4
14000
-3
12000
-2
10000
-1
0
8000
1
6000
2
4000
3
2000
4
5
-5
0
5
0
All'aumentare del numero di prove e del numero di intervalli, l'istogramma diviso per
il numero di prove e per la dimensione degli intervalli tende alla densita' di
probabilita' congiunta.
x=randn(1,1e7);
y=randn(1,1e7);
Fxy=hist3([x' y'],{-5:0.1:5 -5:0.1:5});
Pxy=Fxy/1e7/(0.1*0.1);
imagesc((-5:0.1:5),(-5:0.1:5),Pxy)
colorbar
-5
0.15
-4
-3
-2
0.1
-1
0
1
0.05
2
3
4
5
-5
0
5
0
La densità condizionata si ottiene leggendo la congiunta in un particolare valore di x
(es: x=0.5) e dividendo il risultato per la somma dei valori letti moltiplicata per la
dimensione dell'intervallo (0.1 nel nostro esempio):
x=0.5;
n=(x+5)/0.1;
Py=Pxy(:,n)/sum(Pxy(:,n)*0.1);
plot((-5:0.1:5),Py)
-5
0.15
-4
-3
-2
0.4
0.1
-1
0.35
0
1
0.3
0.05
2
3
0.25
4
5
-5
0.2
0.15
0.1
0.05
0
-5
0
5
0
5
0
X(n+1)=0.955*x(n)+0.3*randn(1,1);
5
0
-5
0
5
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
0
-5
0
5
0
-5
0
x=randn(1,10000);
y=randn(1,10000);
a=x;
b=0.955*x+0.3*y;
plot(a,b,'.')
axis('square')
3
2
V.C. gaussiane
correlate
1
b
0
-1
-2
-3
-3
-2
-1
0
a
1
2
3
L'istogramma dei risultati di 2 V.C. Gaussiane correlate
x=randn(1,10000);
y=randn(1,10000);
a=x;
b=0.955*x+0.3*y;
Fab=hist3([a' b'],{-5:0.1:5 -5:0.1:5});
imagesc((-5:0.1:5),(-5:0.1:5),Fab) -5
colorbar
60
-4
50
-3
-2
40
-1
0
30
1
20
2
3
10
4
5
-5
0
5
0
All'aumentare del numero di prove, l'istogramma tende alla frequenza relativa
moltiplicata per il numero di prove.
x=randn(1,1e7);
y=randn(1,1e7);
a=x;
b=0.955*x+0.3*y;
Fab=hist3([a' b'],{-5:0.1:5 -5:0.1:5});
imagesc((-5:0.1:5),(-5:0.1:5),Fab)
colorbar
x 10
-5
5
-4
4.5
-3
4
-2
3.5
-1
3
0
2.5
1
2
2
1.5
3
1
4
0.5
5
-5
0
5
0
4
All'aumentare del numero di prove e del numero di intervalli, l'istogramma diviso per
il numero di prove e per la dimensione degli intervalli tende alla densita' di
probabilita' congiunta.
x=randn(1,1e7);
y=randn(1,1e7);
a=x;
b=0.955*x+0.3*y;
Fab=hist3([a' b'],{-5:0.1:5 -5:0.1:5});
Pab=Fab/1e7/(0.1*0.1);
imagesc((-5:0.1:5),(-5:0.1:5),Pab)
colorbar
-5
0.5
-4
0.45
-3
0.4
-2
0.35
-1
0.3
0
0.25
1
0.2
2
0.15
3
0.1
4
0.05
5
-5
0
5
0
La densità condizionata si ottiene leggendo la congiunta in un particolare valore di x
(es: x=1) e dividendo il risultato per la somma dei valori letti moltiplicata per la
dimensione dell'intervallo (0.1 nel nostro esempio):
x=1;
n=(x+5)/0.1;
Pb=Pab(:,n)/sum(Pab(:,n)*0.1);
plot((-5:0.1:5),Pb)
-5
0.5
-4
0.45
-3
0.4
1.4
-2
0.35
-1
1.2
0.3
0
0.25
1
1
0.8
0.15
3
0.1
4
0.05
5
-5
0.6
0.4
0.2
0
-5
0
5
0.2
2
0
5
0
X(n+1)= - 0.955*x(n)+0.3*randn(1,1);
5
0
-5
0
2
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
0
-2
0
5
0
-5
0
x=randn(1,10000);
y=randn(1,10000);
a=x;
b=-0.955*x+0.3*y;
plot(a,b,'.')
axis('square')
4
3
V.C. gaussiane
correlate
2
1
b
0
-1
-2
-3
-4
-5
-4
-2
0
a
2
4
Predizione MMSE (Minimum Mean Square Error)
La predizione del futuro dato il presente che minimizza l'errore quadratico
medio è data dal valor medio del futuro condizionato al presente, cioè dal
valo medio della densità di probabilità condizionata:
( )

xˆ (t 2 ) = E  x t 2
x(t1 ) = a 

La predizione MMSE coincide con la più semplice predizione lineare nel
caso di processi casuali gaussiani :
xˆ (t 2 ) = ρ x (t 2 − t1 )x(t1 )
Tuttavia la predizione MMSE coincide con la predizione lineare in molti altri
processi casuali.
ESEMPIO x(t ) = cos(2π 0.01t + ϑ )
p x (a ) =
V.C. Unif.
0 - 2π
mx = 0
1
π 1− a
ϑ
1
σ =
2
2
x
2
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
ESEMPIO x(t ) = cos(2π 0.01t + ϑ )
ϑ
V.C. Unif.
1
Rx (τ ) = cos(2π 0.01τ )
2
ρ x (τ ) =
ρ x (τ ) = 0
C x (τ )
σ
2
x
= cos(2π 0.01τ )
quando τ = 25 + k ⋅ 50
0 - 2π
x(t1 ) = cos(2π 0.01t1 + φ )
x(t ) = cos(2π 0.01t + ϑ )
φ = ±acos( x(t1 )) − 2π 0.01t1
1
x(t1 )
B
A
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
20
t1
40
60
80
100
120
140
160
180
200
x A (t ) = cos[2π 0.01(t − t1 ) + acos( x(t1 ))]
xB (t ) = cos[2π 0.01(t − t1 ) − acos( x(t1 ))]
1
x(t1 )
B
A
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
20
t1
40
60
80
100
120
140
160
180
200
x A (t 2 ) = cos[2π 0.01(t 2 − t1 ) + acos( x(t1 ))]
xB (t 2 ) = cos[2π 0.01(t 2 − t1 ) − acos(x(t1 ))]
1
x(t1 )
B
A
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
20
t1
40
t2
60
80
100
120
140
160
180
200
x A (t 2 ) = cos[2π 0.01(t 2 − t1 ) + acos( x(t1 ))]
xB (t 2 ) = cos[2π 0.01(t 2 − t1 ) − acos(x(t1 ))]
p x (t 2 )
1
2
x A (t 2 )
x (t1 )
(a )
1
2
xB (t 2 )
a
[
[
]
]
x A (t 2 ) = cos π + acos( x(t1 ))
2
xB (t 2 ) = cos π − acos( x(t1 ))
2
1
t 2 − t1 =
= 25
4 ⋅ 0.01
1
x(t1 )
B
A
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
20
t1
40
t2
60
80
100
120
140
160
180
200
[
[
]
]
x A (t 2 ) = cos π + acos( x(t1 ))
2
xB (t 2 ) = cos π − acos( x(t1 ))
2
p x (t 2 )
1
2
x A (t 2 )
x (t1 )
(a )
1
2
xB (t 2 )
a
x A (t 2 ) = cos[2π 0.01(t 2 − t1 ) + acos( x(t1 ))]
xB (t 2 ) = cos[2π 0.01(t 2 − t1 ) − acos(x(t1 ))]
x A (t 2 ) + xB (t 2 )
(
)
x
t


2
xˆ (t 2 ) = E
=
=
x(t1 )

2
p x (t 2 )
= cos[2π 0.01(t 2 − t1 )]cos[acos( x(t1 ))] =
= ρ x (t 2 − t1 ) ⋅ x(t1 )
1
2
x A (t 2 )
x (t1 )
(a )
1
2
xB (t 2 )
a