Le simmetrie centrali
La definizione di simmetria centrale
Traccia un punto A e un punto O; utilizzando il comando Simmetria centrale, costruisci il
punto A’ simmetrico di A rispetto a O. Traccia il segmento AA’. Esso passa anche per____
Disegna la circonferenza con centro in O e passante per A. Essa passa anche per_______
Questo ti permette di dire che AO=__________________
Possiamo così scrivere la definizione di simmetria centrale:
Una simmetria centrale di centro O è una trasformazione del piano che associa ad
ogni punto A un punto A’ in modo tale che O sia _________________________________
Le proprietà della simmetria centrale
Cancella la circonferenza e tratteggia il segmento AA’. Costruisci un altro punto B e il
suo simmetrico B’ rispetto a O. Muovi B. Che cosa accade se B coincide con A?
_________________________________________________________________________________
Che cosa accade se B coincide con A’?
__________________________________________________________________________________
In quale caso B’ coincide con B?
__________________________________________________________________________________
Ci sono altri punti del piano che coincidono con il loro trasformato?
__________________________________________________________________________________
Riportati alla condizione originaria, con A e B generici.
Traccia il segmento AB e costruisci il suo simmetrico rispetto a O.
Che cosa osservi?_________________________________________________________________
Traccia il segmento BB’ e tratteggialo. Come sono i triangoli ABO e A’B’O’?
_________________________________________________________________________________
Per quale motivo?_________________________________________________________________
Come sono i segmenti AB e A’B’?__________________________________________________
Per quale motivo?.________________________________________________________________
Costruisci la retta AB e la sua simmetrica rispetto a O. Si tratta della retta____ __________
Come sono tali rette?._____________________________Perché?__________________________
Muovi A. Quando accade che la retta e la sua trasformata coincidono?
__________________________________________________________________________________
Lascia fisso A, in modo che la condizione precedente sia vera, e muovi B.
Quante rette del piano si trasformano in loro stesse?__________________________________
Che caratteristica hanno queste rette?_______________________________________________
Ritorna alla configurazione originaria. Cancella la retta AB e la retta A’B’.
Traccia un ulteriore punto C nel piano e il suo simmetrico C’. Costruisci il simmetrico
A’B’C’ del triangolo ABC rispetto a O e verifica che ha per vertici i simmetrici di A, B e
C. Come sono i due triangoli?______________________________________________________
Per quale motivo(per quale criterio)?________________________________________________
Osserva l’orientamento di A,B,C e di A’,B’, C’. Che cosa noti?
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Muovi O in modo tale che coincida con il punto medio del lato AC; in questo caso A’
coincide con C e C’ coincide con A.
Che tipo di quadrilatero è ABCB’?____________________________________________________
Cosa si può dedurre?________________________________________________________________
Concludendo, puoi riassumere quanto hai scoperto:
Una simmetria centrale è una trasformazione:
isometrica/non isometrica_______________________________________________
involutoria/non involutoria_______________________________________________
diretta /invertente_______________________________________________________
I punti uniti in una simmetria centrale sono________________________________
Le rette unite sono_______________________________________________________
La simmetria centrale come composizione di simmetrie assiali
Non cancellare nulla della figura precedente, ma riportati in una configurazione
generale. Traccia una retta passante per O e costruisci il simmetrico di ABC rispetto a r.
Colora di rosso il triangolo trovato e traccia un’ulteriore retta s passante per O.
Costruisci il simmetrico del triangolo rosso rispetto alla retta s . colora quest’ultimo
triangolo di verde. Lascia fissa la retta r e muovi la retta s.
E’ possibile che l’ultimo triangolo (quello verde) coincida con A’B’C’?________________
Come sono in tal caso la retta le rette r e s?_________________________________________
Puoi averne conferma misurando l’angolo da esse formato.
Ritorna alla situazione originaria, con tutti i quattro triangoli diversi tra loro, e cancella la
misura dell’angolo. Traccia la retta q perpendicolare a r e passante per O. Muovi la
retta s. In quale caso il triangolo verde coincide con A’B’C’?
_________________________________________________________________________________
Puoi così completare l’affermazione che segue:
Una simmetria centrale è la composizione di due _____________________________________
aventi gli assi _______________________e che si intersecano nel _________________________
Simmetria centrale
La simmetria centrale di centro O è una
trasformazione che ad ogni punto P del
piano associa un punto P' tale che C è il
punto medio del segmento PP' .
Proprietà fondamentali
• La simmetria centrale ha un solo punto
unito: il centro C.
• Tutte le rette passanti per C sono unite.
• La simmetria centrale è un’isometria
diretta.
• La simmetria centrale è involutoria.
• Rette che si corrispondono in una
simmetria centrale sono parallele.
. La composizione di due simmetrie assiali
con gli assi perpendicolari equivale ad una
simmetria centrale.
