Le simmetrie assiali
La definizione di simmetria assiale
Traccia un punto A e una retta r (non contenente A). Utilizzando il comando Simmetria
assiale costruisci il punto A’ simmetrico di A rispetto a r.
Traccia il segmento AA’: osservi qualche relazione tra AA’ e r ?
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Individua in punto su AA’ e chiamalo P, traccia l’Asse di AP (dopo aver selezionato il
comando è sufficiente cliccare su A e poi su P).
Muovi P fino a farlo coincidere con A’. Che cosa osservi?
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Completa ora la seguente definizione:
Una simmetria assiale di asse r è una trasformazione del piano che associa a un punto A
un punto A’ in modo tale che r sia ___________________________ di AA’.
Le proprietà della simmetria assiale
Lasciando i punti A e A’ , cancella il segmento AA’ ( si cancelleranno, di conseguenza, tutti
gli elementi che dipendono dall’esistenza del segmento ).
Costruisci un altro punto B e il suo simmetrico B’ rispetto a r. Muovi B.
Che cosa accade se B coincide con A?_________________________________________
Che cosa accade se B coincide con A’?________________________________________
In quali casi B’ coincide con B?_______________________________________________
Traccia il segmento AB. Costruisci il simmetrico di AB rispetto a r. Che cosa osservi?
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Traccia la retta passante per A e per B e genera la sua simmetrica rispetto a r.
Si tratta della retta che passa per ______ e per ______.
Determina il punto R di intersezione tra la retta AB e la retta A’B’.
Dove si trova R? __________________________________________________________
Sai spiegare per quale motivo?_______________________________________________
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Muovi B. Che cosa accade se AB è parallelo a r ? ________________________________
Fai in modo che le due rette AB e A’B’ coincidano. Che cosa osservi? ________________
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Muovi A e B. Fai in modo che A coincida con A’ e B coincida con B’; che cosa osservi?
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Ritorna alla configurazione originaria. Traccia i segmenti AA’ e BB’.
Come sono i segmenti AA’ e BB’?____________________________________________
Che tipo di quadrilatero è AA’B’B?____________________________________________
Come sono i segmenti AB e A’B’? ____________________________________________
Per quale motivo?_________________________________________________________
Cancella le rette AB e A’B’. Traccia un ulteriore punto C nel piano e il triangolo ABC.
Costruisci il simmetrico A’B’C’ di tale triangolo.
Come sono i due triangoli? _________________________________________________
Per quale motivo? ________________________________________________________
Osserva l’orientamento di A, B, C e di A’, B’, C’ . Che cosa noti?
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E’ possibile fare in modo che i due triangoli si sovrappongano? _____________________
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Diamo le seguenti definizioni:
L’isometria è una trasformazione geometrica che conserva le misure sia lineari che
angolari, in particolare:
1) una retta viene trasformata in una retta, un segmento in un segmento congruente, un
cerchio in un cerchio congruente.
2) rette parallele vengono trasformate in rette parallele, quindi gli angoli si conservano.
Le isometrie del piano si possono classificare in:
traslazioni, simmetrie centrali, simmetrie assiali, rotazioni.
Una trasformazione è involutoria se composta con se stessa, cioè applicata due volte, dà
l'identità. Ad esempio eseguendo due simmetrie aventi lo stesso asse una dopo l’altra,
ogni punto viene riportato nella posizione iniziale
Una trasformazione è diretta se conserva l’orientamento degli oggetti geometrici, per
esempio il senso di percorrenza dei lati di una figura; in caso contrario è invertente.
Un punto o una retta si dicono uniti nella trasformazione se coincidono con la propria
immagine.
Concludendo:
Una simmetria assiale è una trasformazione:
isometrica/ non isometrica__________________________________________________
involutoria / non involutoria __________________________________________________
diretta/invertente _________________________________________________________
i punti uniti in una simmetria assiale sono_______________________________________
le rette di punti uniti sono____________________________________________________
le rette unite sono _________________________________________________________
Le simmetrie assiali nella circonferenza
Dal menù File scegli Nuovo. Traccia una circonferenza c e chiama O il suo centro. Traccia
una retta r . Costruisci la circonferenza simmetrica di c rispetto a r e colorala di rosso.
Muovi r ; come è posizionata r quando le due circonferenze coincidono?
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Quanti e quali assi di simmetria ha la circonferenza?
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Determina gli assi di simmetria di un quadrato con la stessa tecnica:
disegna il quadrato ABC, il suo centro O (è sufficiente determinare il punto medio di AC)
e il suo simmetrico rispetto a una retta r per due punti P e Q;colora di rosso il simmetrico
di ABCD. Sposta il punto P fino a farlo coincidere con O. Muovi la retta e verifica quando i
due quadrati coincidono.
Quanti e quali assi di simmetria ha un quadrato?_________________________________
Simmetria assiale
La simmetria assiale di asse r è una trasformazione
che ad ogni punto P del piano associa un punto P'
tale che il segmento PP' è perpendicolare all'asse e il
punto medio M di PP' appartiene all'asse.
Proprietà fondamentali
• Tutti i punti dell'asse di simmetria sono uniti:
l'asse è quindi una retta unita luogo di punti uniti.
• Tutte le rette perpendicolari all'asse sono unite,
ma non costituite da punti uniti.
• La simmetria assiale è involutoria
• La simmetria assiale è un’isometria invertente.
• La simmetria assiale, come tutte le isometrie,
conserva le relazioni di perpendicolarità e parallelismo.
. Una figura è simmetrica rispetto a una retta r se
essa è unita rispetto a una simmetria assiale con
asse la retta r; r si dice asse di simmetria della
figura.
