Guida - Dipartimento di Matematica

Metodi di soluzione di alcuni tipi di esercizi
Corso di Matematica per Farmacia
Università di Milano, a.a. 2015/16
December 4, 2015
Questo documento vuole essere un aiuto a focalizzare le tecniche di soluzione
di alcuni tipi di esercizi che abbiamo incontrato durante il corso. Naturalmente,
questo breve documento non sostituisce un libro, né tantomeno la pratica di
soluzione degli esercizi.
Non tutti i tipi di esercizi che abbiamo incontrato sono considerati; questo
non vuol dire in alcun modo che gli altri non entreranno nei testi di esame,
ma solo che altri o sono considerati assolutamente standard e non meritano
discussione (ad esempio il dominio di definizione delle funzioni, o alcuni aspetti
dello studio di funzione), o semplicemente che i loro metodi di soluzione non
possono essere riassunti in breve, e quindi si rimanda per essi al libro di testo.
Nel preparare queste pagine ho cercato di fare attenzione, ma naturalmente
la cura con cui sono preparate non è paragonabile a quella con cui si prepara
un libro: spero che non siano rimasti errori, ma in ogni caso in cui si avesse
contrasto con quanto affermato nel libro, si può tranquillamente assumere che
l’errore sia in queste pagine.
1
Limiti
1. La funzione y = f (x) ammette y = y0 come limite per x → x0 se per ogni
ε > 0 piccolo a piacere esiste un δ > 0 tale che per tutti gli x 6= x0 con
|x − x0 | < δ si ha |f (x) − y0 | < ε. In questo caso si scrive
lim f (x) = y0 .
x→x0
2. Attenzione alla condizione x 6= x0 nella definzione precedente!
3. Se esiste un δ > 0 tale che per tutti gli x < x0 con x0 − x < δ si ha
|f (x) − a| < ε, si dice che y = f (x) ammette a come limite per x che tende
ad x0 da sinistra. In questo caso si scrive
lim f (x) = a .
x→x−
0
1
Allo stesso modo, se esiste un δ > 0 tale che per tutti gli x > x0 con
x − x0 < δ si ha |f (x) − b| < ε, si dice che y = f (x) ammette b come limite
per x che tende ad x0 da destra. In questo caso si scrive
lim f (x) = b .
x→x+
0
La funzione y = f (x) ammette un limite per x → x0 se e solo se i suoi
limiti da destra e da sinistra esistono e coincidono.
4. La funzione y = f (x) è continua in x = x0 se e solo se
lim f (x) = f (x0 ) .
x→x0
Si noti che questa scrittura richiede l’esistenza del limite, e che questo
coincida con il valore assunto dalla funzione nel punto x0 .
5. Il limite di y = f (x) si può anche considerare per x → ±∞. In questo
caso la funzione y = f (x) ammette y = y0 come limite per x → ∞ se per
ogni ε > 0 piccolo a piacere esiste un A > 0 tale che per tutti gli x con
x > A si ha |f (x) − y0 | < ε. In questo caso si scrive
lim f (x) = y0 .
x→∞
Allo stesso modo, la funzione y = f (x) ammette y = y0 come limite per
x → −∞ se per ogni ε > 0 piccolo a piacere esiste un B > 0 tale che per
tutti gli x con x < −B si ha |f (x) − y0 | < ε. In questo caso si scrive
lim f (x) = y0 .
x→−∞
6. Il limite di una somma di funzioni è uguale (se questi esistono) alla somma
dei limiti.
7. Il limite di un prodotto di funzioni è uguale (se questi esistono) al prodotto
dei limiti.
8. Il limite di un quoziente tra funzioni è uguale (se questi esistono) al
quoziente dei limiti, purché il limite del denominatore sia diverso da zero.
9. Si ha, con k una costante,
sin(kx)
1 − cos(kx)
k2
= k ; lim
.
=
x→0
x→0
x
x2
2
lim
10. Il numero e è definito come
n
1
1 +
= e.
n→∞
n
lim
2
11. Più in generale,
lim
x→∞
k
1 +
x
x
= ek .
12. Dovendo calcolare il limite del prodotto (o quoziente) di due espressioni
per x → 0, è conveniente isolare in ognuno dei fattori il termine che cresce
più velocemente, o si annulla più lentamente, per x → 0 (per i polinomi,
quello di grado minimo).
13. Dovendo calcolare il limite del prodotto (o quoziente) di due espressioni
per x → ±∞, è conveniente isolare in ognuno dei fattori il termine che
cresce più velocemente, o si annulla più lentamente, per x → ±∞ (per i
polinomi, quello di grado massimo).
2
Derivate
2.1
Aspetti generali
1. E’ sufficiente ricordare la definizione di derivata di una funzione,
f (x + ε) − f (x)
df
= lim
.
ε→0
dx
ε
2. Inoltre, è bene ricordare le regole di derivazione per somma (o differenza),
prodotto o quoziente di funzioni:
(f ± g)0
=
f 0 ± g0 ;
(f g)0
=
f 0 g + f g0 ;
0
=
(f 0 g − f g 0 )/g 2 .
(f /g)
3. Per una funzione composta F (x) = f [g(x)] vale la
F 0 (x) = f 0 [g(x)] · g 0 (x) .
4. Inoltre, se f −1 è la funzione inversa di f (dunque f −1 [f (x)] = x), la
derivata di f −1 nel punto f (x) soddisfa
df −1 [f (x)]
1
= 0
.
dx
f (x)
5. Una tabella delle derivate delle funzioni elementari è fornita nella pagina
web del corso.
3
2.2
Uso delle derivate per calcolare i limiti
1. Se si deve calcolare il limite
lim
x→x0
f (x)
g(x)
e risulta
lim f (x) = 0 ,
lim g(x) = 0 ,
x→x0
x→x0
si può usare il teorema de L’Hopital: se esiste il limite
lim
x→x0
f 0 (x)
,
g 0 (x)
allora esiste anche
lim
x→x0
ed inoltre si ha
lim
x→x0
f (x)
g(x)
f (x)
f 0 (x)
= lim 0
.
x→x0 g (x)
g(x)
2. Allo stesso modo, se si deve calcolare il limite
lim
x→x0
f (x)
g(x)
e risulta
lim f (x) = ±∞ ,
lim g(x) = ±∞ ,
x→x0
x→x0
si ha che se esiste il limite
lim
x→x0
f 0 (x)
,
g 0 (x)
allora esiste anche
lim
x→x0
ed inoltre si ha
lim
x→x0
f (x)
g(x)
f (x)
f 0 (x)
= lim 0
.
x→x0 g (x)
g(x)
3. I problemi del tipo in cui si deve calcolare il limite
lim f (x) g(x)
x→x0
e risulta
lim f (x) = 0 ,
x→x0
lim g(x) = ∞ ,
x→x0
si riportano a quelli di uno dei due tipi precedenti.
4
2.3
Polinomio o serie di Taylor
1. Data una funzione f (x) che sia derivabile n volte in un intervallo I che
contiene il punto x = x0 , il suo polinomio di Taylor di ordine n in questo
punto è definito come
Pn (x; x0 ) =
n
X
(x − x0 )k
k!
k=0
f (k) (x0 ) .
2. Quando si ha n = ∞, si parla di serie di Taylor.
3. Per x ∈ I si ha
f (x) = Pn (x; x0 ) + Rn (x; x0 )
dove Rn è il resto di ordine n. Esiste un punto y compreso tra x ed x0
per cui vale la formula di Lagrange per il resto,
Rn (x; x0 ) =
(x − x0 )n+1 (n+1)
f
(y) .
(n + 1)!
4. Per la funzione f (x) = ex si ha la serie di Taylor
e
x
=
∞
X
xk
k=0
k!
.
Vale quindi la formula approssimata
ex ≈ 1 + x + x2 /2 + x3 /6 + ...
5. Per la funzione f (x) = sin(x) si ha la serie di Taylor
sin(x) =
∞
X
(−1)k x2k+1
k=0
.
(2k + 1)!
Vale quindi la formula approssimata
sin(x) ≈ x − x3 /6 + ...
6. Per la funzione f (x) = cos(x) si ha la serie di Taylor
∞
X
(−1)k x2k
cos(x) =
k=0
(2k)!
Vale quindi la formula approssimata
cos(x) ≈ 1 − x2 /2 + ...
5
.
7. Per la funzione f (x) = log(1 + x) si ha la serie di Taylor
log(1 + x) =
∞
X
(−1)k xk+1
k=0
k+1
.
Vale quindi la formula approssimata
log(1 + x) ≈ x − x2 /2 + ...
8. Per le funzioni (1 + x)a vale la formula approssimata
(1 + x)a ≈ 1 + ax + ... ;
in particolare,
√
1+x ≈
1
≈
1+x
3
1 + x/2 + ...
1 − x + ...
Integrali
1. E’ necessario ricordare le regole fondamentali di integrazione; in particolare, che l’integrale di una funzione f (x) è una sua primitiva, cioè una
funzione F (x) (sempre definita a meno di una costante additiva C) tale
che dF (x)/dx = f (x). Ne segue che
Z
df
dx = f (x) ;
dx
ed inoltre che
Z
Z
Z
[f (x) + g(x)] dx =
f (x) dx +
g(x) dx ;
Z
Z
k f (x) dx = k
f (x) dx .
2. E’ comodo ricordare gli integrali elementari, come riportati ad esempio
nella tabella del capitolo X.2 del testo. Naturalmente, tutti questi possono
essere ricavati in modo semplice nel caso non li si ricordi.
3. E’ anche comodo ricordare che se F (x) è una primitiva di f (x), allora
Z
1
F (ax) + C ,
f (ax) dx =
a
Z
f (x + b) dx = F (x + b) + C ,
Z
1
F (ax + b) + C .
f (ax + b) dx =
a
6
4. Il metodo di integrazione per parti si basa sulla formula di derivazione di
un prodotto di funzioni:
d
[f (x) g(x)] = f 0 (x) g(x) + f (x) g 0 (x) ;
dx
questa significa anche che
f 0 (x) g(x) =
d
[f (x) g(x)] − f (x) g 0 (x) .
dx
Integrando ambo i membri abbiamo
Z
Z
0
f (x) g(x) dx = [f (x) g(x)] −
f (x) g 0 (x) dx .
Se nell’integrale da calcolare si ravvisa la possibilità di decomporre la
funzione integranda come prodotto di due funzioni, e di identificare una
di queste come una derivata, si applica la formula precedente.
5. Il metodo di integrazione per sostituzione (o cambio di variabili) si basa
sulla possibilità di esprimere la variabile indipendente come funzione di
un’altra variabile, sempolificando con ciò l’espressione della funzione integranda – o più precisamente del differenziale f (x)dx = dF da integrare.
Nel far ciò, è necessario ricordare che se x = φ(t), allora il differenziale dx
si esprime come
dx = (dφ/dt) dt .
A volte è più conveniente esprimere la sostituzione come t = ψ(x); in
questo caso abbiamo
dt = (dψ/dx) dx .
6. Per integrare funzioni del tipo [ax2 + bx + c]−1 , cioè per calcolare
Z
1
dx ,
ax2 + bx + c
si scrive il denominatore come somma o differenza di quadrati:
ax2 + bx + c = a[x2 + 2(b/2a)x + (c/a)] = a[(x + (b/2a))2 + ((c/a) − (b/2a)2 )]
= a[(x + (b/2a))2 ± k 2 ]
con il segno dettato dal segno di (c/a − b2 /4a2 ).
Con la sostituzione
x +
b
= t;
2a
dx = dt ,
l’integrale diviene
1
a
Z
1
dt
t2 ± k 2
7
e ci siamo quindi ricondotti
Z
dt
=
2
t + k2
Z
dt
=
t2 − k 2
ad un integrale elementare. Infatti,
1
arctan(x/k) + C ;
k
1
−
log |(t + k)/(t − k)| + C .
2k
√
7. Per integrare funzioni del tipo [ ax2 + bx + c]−1 , cioè per calcolare
Z
1
√
dx ,
ax2 + bx + c
si procede come sopra, cioé innanzi tutto si scrive l’argomento della radice
in termini di somma o differenza di quadrati:
ax2 + bx + c = a[x2 + 2(b/2a)x + (c/a)] = a[(x + (b/2a))2 + ((c/a) − (b/2a)2 )]
= a[(x + (b/2a))2 ± k 2 ]
con il segno dettato dal segno di (c/a − b2 /4a2 ).
Con la sostituzione
b
= t;
2a
x +
dx = dt ,
l’integrale diviene
r
1
a
Z
√
t2
1
dt
± k2
e ci siamo quindi nuovamente ricondotti ad un integrale elementare. Infatti
(si vedano le tabelle degli integrali elementari),
Z
p
1
√
dt = log |t + t2 ± a2 | + C .
t2 ± a 2
8. Gli integrali del tipo
Z
αx + β
dx
ax2 + bx + c
o del tipo
Z
√
αx + β
dx
ax2 + bx + c
si trattano come quelli visti in precedenza, ricordando che
Z
Z
Z
αx + β
x
1
dx = α
dx + β
dx
ax2 + bx + c
ax2 + bx + c
ax2 + bx + c
8
(ed analogamente per il tipo con radice) e trasformando il termine del
denominatore. Inoltre, dopo la trasformazione si useranno le formule elementari
Z
t
1
dt =
log(t2 ± a2 ) ,
t2 ± a2
2
Z
1
t
dt = − log(a2 ∓ t2 ) ;
2
2
−t ± a
2
Z
p
t
√
dt =
t2 ± a2 ,
t2 ± a2
Z
p
t
√
dt = − ±a2 − t2 .
2
2
−t ± a
9. Per le funzioni razionali (quoziente di polinomi), cioè della forma1
f (x) =
Pn (x)
Qm (x)
con Pn un polinomio di grado n e Qm un polinomio di grado m, si procede
in modo diverso a seconda della relazione esistente tra m ed n.
Se m < n diciamo che si tratta di una frazione razionale regolare; se questo
non è il caso, possiamo sempre scrivere
Rs (x)
Pn (x)
= Mn−m (x) +
,
Qm (x)
Qm (x)
dove M è un polinomio di grado n − m e Rs un polinomio di grado s < m,
col che ci siamo ridotti a considerare una fazione razionale regolare.
10. Per integrare una frazione razionale regolare R(x)/Q(x), si decompone il
denominatore in elementi di primo o di secondo grado, cioè si scrive
Q(x) = Q(1) (x) Q(2) (x) ... Q(r) (t)
(alcuni di questi fattori potranno ripetersi) e si riscrive la frazione come
R(1)
R(r)
R(x)
=
+ ... +
Q(x)
Q(1) (x)
Q(r) (x)
dove R(k) è una costante se Q(k) è di grado uno, o un polinomio di grado
uno se Q(k) è di grado due. A questo punto ci si è riportati ad integrali
elementari.
1 Le
funzioni di questo tipo, e di quelli ai punti successivo, non sono state considerate a
lezione; vengono incluse solo per completezza, cosicché lo studente abbia un punto di riferimento se e quando le incontrerà in corsi successivi.
9
11. Per integrare delle funzioni razionali trigonometriche, cioè funzioni del tipo
R(sin(x), cos(x))
con R funzione razionale (polinomio o quoziente di polinomi) si procede
alla sostituzione
tan(x/2) = t ;
questa implica che
x = 2 arctan(t) ,
dx = 2
dt
.
1 + t2
Usando le formule trigonometriche si ottiene inoltre
sin(x) =
1 − t2
t
,
cos(x)
=
.
1 + t2
1 + t2
Quindi in questo modo la funzione razionale R(sin(x), cos(x)) si trasforma
in una nuova funzione razionale di t, e possiamo procedere come discusso
sopra.
4
Probabilità
4.1
Permutazioni e simili
1. Se abbiamo n oggetti, i modi in cui possono essere ordinati (detto anche
il numero delle loro permutazioni è n!.
2. Se abbiamo n oggetti e da questi dobbiamo sceglierne k il numero di modi
in cui possiamo effettuare questa scelta (se non teniamo conto dell’ordine
in cui sono stati scelti) è
n!
n
:=
.
k
k! (n − k)!
3. Se abbiamo n oggetti e da questi dobbiamo sceglierne k, il numero di modi
in cui possiamo effettuare questa scelta – tenendo conto dell’ordine in cui
sono stati scelti – è
n!
n
:=
.
k
(n − k)!
4. Per n grandi, il fattoriale n! può essere valutato tramite la formula di
Stirling
√
n! ' 2π n nn e−n .
10
4.2
Calcolo delle probabilità
1. Un evento casuale deve appartenere ad una serie di possibilità (A1 , ..., An );
ad ognuno di questi eventi è associata una probabilità P (Ai ). Se A e B
sono eventi, lo sono anche A ∩ B e A ∪ B.
2. Si dice che (A1 , ..., An ) sono eventi elementari se sono mutualmente incompatibili e se la lista è esaustiva. Queste due condizioni significano,
rispettivamente,
P (Ai ∩ Aj ) = 0
(i 6= j) ;
n
X
P (Ai ) = 1 .
i=1
3. Per due eventi A e B si ha
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) ;
per tre eventi (A, B, C) si ha
P (A ∪ B ∪ C)
=
[P (A) + P (B) + P (C)] +
− [P (A ∩ B) + P (A ∩ C) + P (B ∩ C)] +
+ P (A ∩ B ∩ C) ;
e cosı̀ via per quattro o più eventi.
4. Due eventi si dicono indipendenti se
P (A ∩ B) = P (A) · P (B) .
5. La probabilità condizionata P (A|B) è la probabilità dell’evento A se è noto
che l’evento B si verifica. Questa soddisfa
P (A|B) =
P (A ∩ B)
.
P (B)
Se sono note tutte le possibili condizioni Bk , allora
X
P (A) =
P (A|Bk ) · P (Bk ) .
k
6. Se A e B sono indipendenti, segue immediatamente dalle formule precedenti che
P (A|B) = P (A) .
7. La formula di Bayes permette di invertire le probabilità condizionate. Se
si conoscono le P (A|Bi ) rispetto a tutti le possibili condizioni Bi , e dunque
X
P (A) =
P (A|Bk ) · P (Bk ) ,
k
allora
P (Bi |A) =
P (A|Bi ) · P (Bi )
P (A|Bi ) · P (Bi )
= P
.
P (A)
k P (A|Bk ) · P (Bk )
11
4.3
Variabili casuali o variabili aleatorie
1. Se (Ai , ..., An ) sono degli eventi elementari, ognuno con la sua probabilità
P (Ai ) = pi , una variabile casuale è una funzione che associa ad ogni Ai
un valore numerico x(Ai ) = xi .
2. Il valore atteso, o media (matematica) della variabile casuale x viene indicato con uno dei seguenti simboli (tutti hanno lo stesso significato):
E(x) = hxi = x .
La media è definita come
E(x) =
X
p i xi .
i
3. Non bisogna confondere la media matematica (valore atteso) con la media
empirica quando si considera un certo numero N di eventi casuali (indipendenti ed identicamente distribuiti); per un grande numero N di prove, la
media empirica converge alla media matematica, ma le due hanno significato diverso. In particolare, la media matematica ha senso anche per un
solo evento.
4. Per la somma di variabili casuali vale
E(x + y) = E(x) + E(y) .
5. Siano x ed y variabili casuali, con x che ha valori xi in corrispondenza
degli eventi Ai ed y che ha valori yj in corrispondenza degli eventi Bj . Se
gli eventi Ai e gli eventi Bj sono indipendenti, le variabili casuali x ed y
si dicono indipendenti.
6. Per il prodotto di variabili casuali x, y come al punto precedente, vale
XX
E[x y] =
xi yj P (Ai |Bj ) P (Bj ) .
i
j
Se le variabili casuali x ed y sono indipendenti (e solo in questo caso), si
ha
XX
E[x y] =
xi yj P (Ai ) P (Bj ) = E(x) · E(y) .
i
j
7. La dispersione
σ 2 (x) ≥ 0
di una variabile casuale x è definita come lo scarto quadratico medio dalla
media, cioè
σ 2 (x) = E[(x − E(x))2 ] .
Questa può essere descritta anche come
σ 2 (x) = E[x2 ] − (E[x])2 = hx2 i − hxi2 .
12
8. La radice quadrata σ(x) della dispersione σ 2 (x) è detta deviazione standard per la variabile casuale x.
9. La dispersione di una somma di variabili casuali soddisfa
σ 2 (x + y) = σ 2 (x) + σ 2 (y) + 2 [hx · yi − hxi · hyi] .
Se x ed y sono variabili indipendenti (e solo in questo caso) si ha
σ 2 (x + y) = σ 2 (x) + σ 2 (y) .
10. Per la somma di N variabili casuali x(1) , ..., x(N ) indipendenti ed identicamente distribuite, indicando con X = x(1) + ... + x(N ) la loro somma si
ha
σ 2 (X) = N σ 2 (x) ,
e quindi
√
σ(X) =
N σ(x) .
11. Se consideriamo la media delle N variabili (x(1) , ..., x(N ) ), cioè
ξ =
1 (1)
X
,
x + ... + x(N ) =
N
N
questa ha dispersione
σ 2 (ξ) = σ 2 (X/N ) = (1/N ) σ 2 (X) = σ 2 (x)
e deviazione standard
4.4
1
σ(ξ) = √ σ(x) .
N
Distribuzioni di probabilità rilevanti
Alcune proprietà, enunciate ma non dimostrate a lezione, sono dimostrate in un
dispensa separata, che non viene richiesta per l’esame.
1. Consideriamo n variabili casuali indipendenti ed identicamente distribuiti,
in cui la probabilità che ogni variabile assuma un certo valore di interesse
(”successo”) sia p (indichiamo con q = 1−p la probabilità complementare).
Allora la probabilità di avere k successi in n prove è data dalla distribuzione
binomiale
n!
n
pk (1 − p)n−k .
P(k; n) =
pk q n−k =
k
k! (n − k)!
2. Per la distribuzione binomiale, il valore atteso di k in n prove è semplicemente
E(k; n) = n p := A .
13
3. Per la distribuzione binomiale, la dispersione del valore atteso di k 2 in n
prove risulta essere
E(k 2 ; n) = A2 + A (1 − p) .
4. Ne segue che la dispersione di k in n prove è
σ 2 (k; n) = hk 2 i − (hki)2 = n p (1 − p) = n p q := A (1 − p) ,
e la deviazione standard
σ =
√
npq =
p
Aq .
5. Se abbiamo un A assegnato (e quindi p = A/n) e consideriamo il limite
per n grande (e quindi p piccolo), allora la distribuzione binomiale è ben
descritta dalla distribuzione di Poisson
P (k) =
Ak −A
e
.
k!
6. Nella distribuzione di Poisson, il valore atteso di k è dato da
E(k) = hki = A .
7. Nella distribuzione di Poisson, il valore atteso di k 2 è dato da
E(k 2 ) = hk 2 i = A2 + A .
8. Quindi, nella distribuzione di Poisson si ha dispersione
σ 2 (k) = hk 2 i − (hki)2 = (A2 + A) − (A)2 = A ;
e deviazione standard
√
σ =
σ2 =
√
A.
9. Se nella distribuzione binomiale
n
P(k; n) =
pk (1 − p)n−k
k
consideriamo p = 1/2, e quindi q = 1 − p = p, abbiamo
1
n!
1
n
P(k; n) =
=
.
n
k
2
k!(n − k)! 2n
10. Nel limite di n grande, la distribuzione binomiale con p = 1/2 è ben
descritta dalla distribuzione normale; scrivendo k = (n/2)(1 + x) e considerando il limite per n → ∞ e x → 0 con nx = z costante, abbiamo
2
1
e−x /2 .
P0 (x) = √
2π
Questa può anche essere considerata come una distribuzione di probabilità
per una variabile casuale continua x.
14
11. Più in generale si ha una distribuzione gaussiana con parametri µ, σ se
P (x) = √
1
2σ 2 π
exp[−(x − µ)2 /(2σ 2 )] .
Qui µ rappresenta la media di x e σ 2 la sua dispersione. La distribuzione
normale corrisponde a µ = 0, σ = 1.
12. In generale, data una qualsiasi somma di N variabili casuali indipendenti
xi , anche con distribuzioni diverse tra loro (media mi , varianza s2i ), purché
tutte con varianza finita, per N grande la distribuzione di X = x1 +...+xN
converge ad una distribuzione gaussiana con media e varianza
N
X
µ(X) =
2
mi , σ (X) =
i=1
N
X
s2i .
i=1
13. Se consideriamo la media X di N variabili xi indipendenti ed identicamente distribuite, cioè
N
1 X
xi ,
X =
N i=1
allora le formule precedenti forniscono
σ 2 (x)
,
N
hXi = hxi , σ 2 (X) =
e quindi anche
σ(x)
σ(X) = √ .
N
14. La distribuzione normale viene descritta dalle tavole statistiche; in particolare viene di solito fornita la funzione
Z x
Φ(x) =
P0 (x) dx .
0
Per usare le tavole è bene ricordare che
Z 0
Z
P0 (x) dx =
−x
e che
x
P0 (x) dx ,
0
Z
∞
P0 (x) dx =
0
15
1
.
2
5
Statistica
5.1
Misure semplici
1. Se abbiamo diverse misure di una grandezza x,
la valutazione migliore che possiamo fornire per
misure,
1
M (x) =
(x1 + ... + xn ) =
n
siano queste (x1 , ..., xn ),
x è la media M (x) delle
n
1 X
xk .
n
k=1
La dispersione delle misure intorno ad un valore x è misurata dallo scarto
quadratico medio,
n
1 X
[x − x]2 ;
n
k=1
questo è minimo se scegliamo x = M (x), la media di x. In questo caso,
D(x) =
n
1 X
[x − M (x)]2 = M (x2 ) − [M (x)]2 .
n
k=1
2. Se le x sono un campione estratto da una distribuzione di probabilità,
dobbiamo avere
lim M (x) = hxi = E(x) ;
n→∞
lim D(x) = σ 2 (x) .
n→∞
3. Questo non basta ad assicurare che il campione sia in effetti estratto dalla
distribuzione di probabilità considerata, ad esempio una distribuzione
gaussiana con media e dispersione corrispondenti alla media e dispersione
empirica; per controllare questa ipotesi sono necessari altri test statistici,
tra cui il più diffuso è quello cosiddetto del χ2 (“chi quadro”).
4. Per calcolare il χ2 , si divide l’intervallo in cui i dati possono cadere in n
sottointervalli Ik (non sovrapponentesi e che coprano tutto l’intervallo),
e si considerano il numero empirico di misure nk nell’intervallo Ik , ed
il numero “teorico” (cioé corrispondente alla distribuzione di probabilità
ipotizzata, ad esempio una gaussiana) tk . Allora
χ2 =
n
X
(tk − nk )2
k=1
tk
.
Si tratta di una misura dello scarto quadratico pesata con la rilevanza
statistica dei dati in ogni intervallo.
5. Una volta effettuato questo calcolo, delle apposite tabelle dicono qual è la
probabilità di ottenere, a seguito di fluttuazioni statistiche, un χ2 pari o
superiore a quello ottenuto; questo numero viene anche indicato come la
“significanza statistica” dell’ipotesi sulla distribuzione.
16
5.2
Fit lineare
1. In molti casi sappiamo a priori che certi fenomeni sono descritti da una
relazione lineare, del tipo y = kx o y = a + kx, ma non conosciamo i
parametri a e k, che devono essere misurati sperimentalmente; dato che
ogni misura è soggetta ad errori, si tratta di una determinazione statistica.
Assumendo che i valori xi siano noti, e che i corrispondenti valori yi siano
stati misurati con precisione equivalente per i diversi valori di xi , si usa
abitualmente il criterio di minimizzare la somma (o la media) degli scarti
quadratici, cioé la funzione
F =
n
1 X
[y(xi ) − yi ]2 ,
n i=1
dove y(x) è la legge (lineare) ipotizzata.
2. Nel caso di una legge lineare omogenea, cioé
y(x) = k x ,
il miglior fit corrisponde alla scelta
k =
hx yi
.
hx2 i
3. Nel caso di una legge lineare non omogenea,
y(x) = a + k x
il miglior fit corrisponde alla scelta
k =
hxi hxyi − hx2 i hyi
hxyi − hxihyi
, a =
.
2
σ (x)
σ 2 (x)
17