t - I blog di Unica

INDICE (in via di definizione)
1. Introduzione
2. Richiami di Fluidodinamica
2.1. Generalità: il concetto di fluido
2.2. Grandezze Termo-Fluidodinamiche
3. Cinematica
3.1. Il campo di velocità
3.2. Operatori Vettoriali
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
3.7.
3
2
Definizione delle linee caratteristiche
Sistemi di riferimento
Deformazione di un elemento fluido
Tensore di Deformazione
Una definizione di Tensore Doppio
INDICE
4. Equazioni di Conservazione
4.1. Equazione di Continuità in forma differenziale, non conservativa
4.2. Equazione di Continuità in forma differenziale, conservativa
4.3. Teorema di Trasporto di Reynolds
4.4. Equazione di Continuità in forma integrale
4.5. Equazione di Conservazione della Quantità di Moto in forma
integrale
4.6. Forze agenti sul Volume di Controllo
4.7. Un’altra espressione della Equazione di Conservazione della Quantità
di Moto in forma integrale. Forma differenziale
4.8. Equazione di Conservazione dell’Energia
4.9. Legame costitutivo
4.10. Equazioni di Navier-Stokes
223
CAPITOLO 2.
2.1
Richiami di Fluidodinamica
Il concetto di fluido
La materia può essere suddivisa in soli due stati, definiti solido e fluido.
La differenza di comportamento tra fluidi e solidi è riconducibile alle
differenti strutture molecolari:
! Nei solidi le molecole sono molto vicine le une alle altre e le forze
di coesione molto elevate; essi hanno pertanto la proprietà di
mantenere invariata la propria forma anche sotto l’azione di
forze esterne
! Nei liquidi si hanno legami coesivi di minore intensità, le
molecole sono più distanti tra loro e hanno più possibilità di
movimento
! Nei gas, infine, tali legami hanno ancora minor forza
Una definizione più corretta considera i diversi tipi di sforzi che un
elemento di materia può subire. Si consideri la possibilità di creare uno
stato di sforzo puramente tangenziale su di un solido, ad esempio
applicando ad un provino due forze parallele eguali ed opposte. Il
solido si deforma inizialmente e poi tale deformazione, se inferiore a
quella di rottura, rimane costante:
“A seguito della applicazione di forze tali da generare uno stato
di sforzo stazionario composto da tensioni tangenziali, il solido
subisce una deformazione statica costante”
Un esperimento analogo nel caso di un liquido genera risultati diversi.
Si potrebbe pensare ad una tavola di legno galleggiante sulla superficie
libera di una vasca idrodinamica, opportunamente collegata in modo
da potervi applicare una forza. Si applichi una forza minima, parallela
alla superficie libera. Quello che si osserva è che la tavola si mantiene in
moto, e così le particelle che vi aderiscono. E’ come se la deformazione
continuasse ad aumentare all’infinito. Da cui la seguente definizione:
6
Figura 2.1 – Applicazione di una forza di taglio ad un sistema fluido
“Un fluido è uno stato di aggregazione della materia tale da
deformarsi continuamente se sottoposto a uno stato di sforzo
tangenziale, anche di lieve intensità e costante”
Se ne deduce che se un fluido è fermo, in esso non sono presenti sforzi
tangenziali.
Lo studio del moto dei fluidi, così come affrontato nella Fluidodinamica
classica, non parte dall’analisi del comportamento delle singole
molecole (che può essere pensato come un punto di vista microscopico),
in quanto non conveniente, essendo il moto molecolare di tipo caotico,
irregolare e soggetto a forze di natura varia e complessa. E’ preferibile
individuare delle entità di fluido (particelle fluide) tali da soddisfare i
seguenti requisiti
• Il loro volume deve essere sufficientemente grande da
comprendere un numero elevato di molecole. Si può pensare di
caratterizzare tale porzione di fluido attraverso un unico valore
per ciascuna delle grandezze termofluidodinamiche d’interesse,
considerato come valore medio statistico.
•
il volume deve essere sufficientemente ridotto rispetto al sistema
fluido che si sta studiando. Solo in questo modo la particella
fluida potrà essere considerata come puntiforme nel dominio
considerato.
I valori delle grandezze relative a particelle fluide molto vicine saranno
molto simili e lo spazio di interesse, il dominio fluido, sarà pertanto
individuabile come un continuo al quale potranno essere applicate le
leggi del calcolo differenziale.
7
Alcune
semplici
considerazioni
permettono
di
individuare
le
dimensioni di una particella fluida. Nella tabella successiva sono
riportate alcune grandezze caratteristiche per gas e liquidi
Tabella 2.1
Gas
Liquido
distanza tra le molecole:
10-6 m
molecole contenute in 1 mm3 :
1018
distanza tra le molecole:
10-7 m
molecole contenute in 1 mm3 :
1021
Quindi anche una piccola porzione di fluido, ad esempio un volume di
10-9 mm3 (un cubetto di 10-3 mm di lato), contiene un elevatissimo numero
di molecole.
Nella fluidodinamica classica, quindi, il fluido è considerato composto
non da molecole ma da particelle fluide, cioè da porzioni di fluido
piccole rispetto al sistema in studio, ma sufficientemente grandi da
permettere
una
valutazione
statistica
delle
grandezze
termofluidodinamiche.
Si deve osservare che i concetti di particelle di fluido e di fluido come un
continuo non sono limitativi per i problemi tipici della fluidodinamica.
Per mezzi di tali concetti può essere elaborata, ad esempio, una teoria
della turbolenza
2.2
Grandezze termodinamiche
Pressione
È lo sforzo di compressione in un punto di un fluido fermo o che in un
fluido in moto è indipendente dalla direzione. Nei flussi a bassa
velocità (incomprimibili, !" < 0.3) sono le differenze di pressione e
non i valori effettivi delle pressioni ad essere importanti, in quanto
costituiscono le forze che generano il moto. Nel caso di flussi
compressibili, invece, è importante anche il modulo della pressione.
8
Temperatura
È una misura dell’energia interna di un fluido. Assume importanza
notevole nel caso di flussi comprimibili e, nel caso di flusso a densità
costante, se sono presenti fenomeni di scambio termico con le pareti di
confine del dominio fluido (heat transfer).
Densità
Rappresenta il valore del rapporto massa/volume del fluido
considerato. Nel caso dei liquidi la densità assume un valore pressoché
costante (nello spazio e nel tempo) e indipendente dalla pressione. Se
non in qualche fenomeno particolare (e.g. colpo d’ariete nelle condotte),
il liquido si può pertanto considerare a densità costante,
incomprimibile. Pertanto, la definizione di incompressibilità andrebbe
correttamente rivolta al flusso di un liquido, e non al liquido stesso!
Energia specifica
L’energia totale specifica associata ad una particella fluida è costituita
da tre termini
' = )* +
,+ /0
2
•
Il primo termine corrisponde all’energia interna termodinamica,
•
dovuta all’attività ed ai legami di tipo molecolare
Il secondo termine è l’energia cinetica per unità di massa,
•
associata al moto della particella
Il terzo termine è relativo all’energia potenziale conservativa, in
questo caso determinata dalla posizione verticale z in un campo
gravitazionale definito dalla accelerazione di gravità g
L’energia totale è normalmente utilizzata per fluidi incomprimibili. Nel
caso di flussi compressibili è utilizzata l’entalpia
ℎ='+
9
2
3
Relazioni di stato
Rappresentano delle relazioni tra variabili termodinamiche, che
valgono in condizioni di equilibrio per una particolare sostanza, e
possono essere ricavate sperimentalmente o teoricamente.
Nel corso si prenderanno in considerazione solo sostanze pure, come
l’acqua nello stato liquido, o miscele di gas a composizione costante,
come l’aria per un campo esteso di temperature, anch’esse trattate come
sostanze pure.
Per i gas perfetti, ad esempio, vale la relazione
4
5
= RT,
dove R è la costante particolare dei gas. Valgono le seguenti
R = c p − cv ; k =
cp
cv
e dove i calori specifici sono da considerarsi costanti. Per i gas ideali la
relazione precedente è ancora valida ma i calori specifici sono funzioni
della temperatura
Altre relazioni di stato sono disponibili per un gas ideale: si può
)
)
dimostrare che le grandezze Energia Interna u e Entalpia h = u + p ρ di
un gas ideale sono funzioni di stato e dipendono unicamente dalla
temperatura:
)
u = cv (T ) T ; h = cp ( T ) T
Viscosità
Nella dinamica dei fluidi reali la viscosità è il parametro che determina
lo scambio di quantità di moto (e quindi le forze) tra particelle fluide
prossime tra loro.
Il concetto di viscosità può essere analizzato nel caso di un flusso
piuttosto semplice, di tipo stazionario, riportato nella figura 2.2.
10
Fig. 2.2
La piastra è trainata con una forza T, determina una sollecitazione di
taglio τ = T A e, in condizioni di equilibrio, assume una velocità V. Se
consideriamo una “lamina” di fluido di spessore ∆y (in direzione
perpendicolare al fondo del canale), un elemento verticale si sposta e si
deforma nel tempo come mostrato nella figura successiva. Si può
dimostrare che per una particolare categoria di Fluidi, quelli
Newtoniani, la deformazione angolare ∆ ϑ è funzione lineare del
tempo
∆ϑ ∝ τ ∆t
τ =µ
→
∆ϑ
∆t
Per deformazioni infinitesime
tan ∆ϑ ≅ ∆ϑ =
∆u ∆t
∆y
→
dϑ du
=
dt dy
Pertanto si ha
τ =µ
dϑ
du
=µ
dt
dy
E il coefficiente di proporzionalità, definito viscosità dinamica, ha le
seguenti dimensioni
[ µ ] = Pa s =
N s kg
=
m 2 sm
E’ importante anche il parametro viscosità cinematica, dato da
ν=
11
µ
→
ρ
[ν ] =
m2
s
Il termine cinematica compare in quanto nell’espressione dimensionale
ci sono solo parametri cinematici come lunghezza e tempo, e non
compaiono parametri dinamici quali massa o forza.
12
CAPITOLO 3.
3.1
Cinematica
Il Campo di Velocità
In una data situazione di flusso, il problema fluidodinamico consiste
nella determinazione delle proprietà del fluido come funzione della
posizione e del tempo. Si deve cioè conoscere il Campo delle grandezze
di interesse, che possono essere grandezze scalari (e.g. Pressione e
Temperatura), e per le quali il Campo è una funzione scalare, o
grandezze vettoriali (per esempio la Velocità), dove si ha invece un
Campo Vettoriale. Sovente un problema di fluidodinamica si considera
risolto se è noto il Campo di Velocità.
Il Campo di Velocità è una Funzione Vettoriale che definisce la velocità in
tutti i punti di un flusso in funzione della posizione e del tempo
r
r
r
r
V ( x , y , z , t ) = u ( x , y , z , t ) ⋅ i +ν ( x , y , z , t ) ⋅ j + w ( x , y , z , t ) ⋅ k
(1.11)
La Meccanica può analizzare i problemi secondo due differenti punti di
vista:
! Il primo punto di vista è detto
Lagrangiano o sostanziale e
prevede di considerare le
grandezze termodinamiche e
fluidodinamiche così come
viste da un osservatore che si
muova con una "particella
fluida" (unità elementare di
fluido, dotata di una propria "identità").
! Il secondo punto di vista è
detto metodo di descrizione
Euleriano o locale, prevede di
valutare
le
grandezze
termodinamiche relative alle
diverse particelle fluide che
passano per un punto (o
volumetto infinitesimo) fisso
nello spazio.
13
Traiettoria
Particella fluida
in moto
Linee di flusso
Volume di controllo
fisso
Accelerazione Sostanziale
Nella accelerazione sostanziale occorre considerare una parcilella fluida
o , in generale un osservatore A, che si muova nel dominio secondo un
certo percorso, e che nel suo moto osserva valori di versi delle
grandezze termofluidodinamiche. Per questo osservatore è possibile un
solo tipo di derivata temporale:
r
r
r
V A ( x2 , y 2 , z2 , t2 ) − V A ( x1 , y1 , z1 , t1 )
 dV 
r
ax ,y ,z ,t = 
= lim

Δt
 dt  x ,y ,z ,t Δt →0
Si ha che ∆t → 0 ⇒ ( x1 , y1 , z1 , t1 ) , ( x2 , y2 , z2 , t2 ) → ( x , y , z , t )
Le variazioni osservate da A dipendono infatti sia dal fatto che esso si
muova nello spazio (passando da P1 ( x1 , y1 , z1 ) a P2 ( x2 , y 2 , z2 ) ), sia dalla
variazione locale delle grandezze nel tempo.
Viene definita Accelerazione Sostanziale o Lagrangiana la derivata
totale (in senso matematico) del vettore velocità rispetto al tempo, i.e. la
quantità vettoriale
r
r
r
r
r
r dV ∂V ∂V dx ∂V dy ∂V dz
a=
=
+
+
+
dt
∂t ∂x dt ∂y dt ∂z dt
r r
Dove V = V ( x , y , z , t ) e x = x(t ); y = y (t ); z = z (t ) .
Ricordando che dx dt = u, dy dt = ν , dz dt = w , risulta
r
r
r
r
r ∂V
∂V
∂V
∂V
a=
+u
+ν
+w
∂t
∂x
∂y
∂z
L’Accelerazione Sostanziale di una particella può essere così scritta in
forma compatta
r
v
r r
r
r dV ∂V
a=
=
+ V ⋅∇ V
dt
∂t
(
)
Nella precedente espressione si possono individuare due distinti
contributi
r
∂V
•
Accelerazione Locale o Euleriana
∂t
14
E’ questa l’accelerazione vista da un osservatore fisso nello spazio;
infatti la derivata così effettuata considera solo la variabile tempo e non
le variabili x, y, z, che vengono poste costanti. Per questo osservatore è
possibile ottenere una derivata temporale solo dall’osservazione di
particelle fluide diverse che passano nel punto considerato in istanti
diversi:
r
r
r
 ∂V 
VB ( x , y , z , t2 ) − VA ( x , y , z , t1 )
= lim


Δt
 ∂t  x ,y ,z ,t Δt→0
Si ha che ∆t → 0 ⇒ ( x , y , z , t1 ) , ( x , y , z , t2 ) → ( x, y , z , t )
Il campo di una grandezza fluidodinamica tale per cui l’accelerazione
locale si a nulla è detto stazionario.
•
r r
r
( V ⋅∇ ) V
Accelerazione Convettiva
L’accelerazione convettiva è quella dovuta al fatto che l’osservatore si
sta muovendo in un campo dove sono presenti gradienti spaziali della
grandezza velocità. In un campo stazionario, è presente solo
l’accelerazione convettiva. Se questa è nulla, il campo della grandezza
fluidodinamica è uniforme spazialmente, ed eventuali variazioni sono
dovute unicamente alla non stazionarietà del flusso.
Il legame tra derivata Lagrangiana, Euleriana e Convettiva si può
scrivere per tutte le variabili dipendenti tipiche della fluidodinamica. In
generale, per quantità Scalari o Vettoriali, è valida la seguente relazione:
r r
d( ) ∂ ( )
=
+ V ⋅∇
dt
∂t
(
15
)(
)
3.2
Operatori vettoriali
Alcune brevi considerazioni su operatori vettoriali spesso utilizzati in
r
r
r
r
r
r
r
r
Fluidodinamica. Dati i vettori a = ax i + a y j + az k e b = bx i + by j + bz k
Prodotto Scalare tra vettori
r r
a ⋅ b = axbx + ayby + axbz
r r
N.B. : i ⋅ i = i 2 = 1;
r r
i ⋅ j = 0;
Prodotto Vettoriale tra vettori
r
r
i
j
r r
a × b = ax a y
bx b y
r r
r r
j ⋅ j = j 2 = 1; k ⋅ k = k 2 = 1;
r r
r r
i ⋅ k = 0; j ⋅ k = 0
r
k
az
r r
a × b = a b sin α
bz
r
Operatore Vettoriale Nabla ( ∇ )
r ∂ r ∂ r ∂ r
∇=
i+ j+
k
∂x
∂j
∂z
Prodotto semplice
r
∂ r ∂ r ∂
∇p = 
i+ j+
∂j
∂z
 ∂x
r
∂p r ∂p r ∂p r
k p =
i+
j+
k = Grad p (è un VETTORE)
∂x
∂j
∂z

Il prodotto semplice dell’operatore nabla per uno scalare produce un
vettore, con aumento di “complessità”
Prodotto scalare
r r ∂a ∂ay ∂az
r
∇⋅ a = x +
+
= Div a (è una grandezza SCALARE)
∂x ∂j ∂z
r r
N.B. ∇⋅ a ≠ a ⋅∇
Il prodotto scalare dell’operatore nabla per uno vettore produce uno
scalare, con riduzione di “complessità”
16
Prodotto vettoriale
r
r
i
j
r r
∂
∂
∇×a =
∂x ∂y
ax ay
3.3
r
k
∂
∂z
az
r
= Rot a (è una grandezza VETTORIALE)
Definizione di Linea di corrente, Linea di fumo e Linea di
percorso (o traiettoria)
Può essere importante definire alcune linee (o luoghi di punti)
fondamentali in Fluidodinamica, al fine di affrontare al meglio alcuni
concetti di cinematica
• una linea di corrente (o di flusso, streamline) di un dominio fluido
in movimento è il luogo dei punti tali che il vettore velocità delle
particelle fluide è tangente alla curva stessa;
• Una linea di percorso (o traiettoria, pathline) è il luogo dei punti
occupati da una stessa particella nel suo movimento.
• una linea di fumo (streakline) è costituita da tutte le particelle
fluide che sono passate precedentemente in uno stesso punto
dello spazio;
Ricordando alcuni concetti di cinematica, si può osservare che per
disegnare una linea di corrente dobbiamo identificare alcuni punti
spaziali fissi (punto di vista Euleriano) e definirne i vettori velocità. Per
tracciare una linea di percorso occorre seguire una generica particella
nel suo movimento, con quello che era stato definito il punto di vista
Lagrangiano. Il concetto di linea di fumo contiene, in un certo qual
modo, entrambi i punti di vista, in quanto occorre seguire la posizione
di diverse particelle che sono passate per uno stesso punto; è possibile
materializzare una linea di fumo in un istante con una foto, inserendo
opportuno traccianti colorati nel fluido.
Si può dimostrare che in un flusso stazionario linee di corrente, linee di
fumo e traiettorie coincidono e sono fisse nello spazio.
17
3.4
Sistemi di riferimento
Un sistema di coordinate molto utile per il prosieguo del discorso è
quello che si ottiene disegnando nel dominio fluido diverse linee di
corrente e le linee ad esse normali (vedi figura )
• Lungo una linea di corrente varia l’ascissa curvilinea s e rimane
costante quella normale n; diverse linee di corrente hanno diversi
valori di n;
• Lungo una linea normale alle linee di corrente varia la
coordinata n e rimane costante s; diverse linee normali hanno
diversi valori di s.
Figura : linee di flusso, linee normali alle linee di flusso e coordinate curvilinee
È da osservare che, in generale, linee di flusso, di corrente e traiettorie
variano di posizione al variare del tempo, ma si può dimostrare che in
un flusso stazionario esse coincidono e sono fisse nello spazio. In tale
situazione si può anche dire che
• la variabile s è rappresentativa dello spazio percorso lungo una
linea di corrente; ogni particella, nel suo movimento, si muove su
una sola linea di corrente e passa a valori sempre maggiori di s;
• La variabile n definisce lo spazio misurato nella direzione
normale alle linee di corrente; ogni particella, nel suo
movimento, mantiene un valore costante di n.
In ogni punto del flusso avremo una coppia di valori (s, n) che
identificano univocamente la posizione spaziale. I valori non sono da
18
confondere con i versori locali, cioè con la coppia di vettori di modulo
r r
unitario ( s, n ), in ogni punto tangenti rispettivamente alle linee di
flusso ed a quelle normali. Poiché in qualunque punto del campo di
flusso le direzioni s e n sono tra loro perpendicolari (anche se le linee s e
r r
n non sono necessariamente linee rette), i versori s, n sono sempre
normali tra loro.
Da quanto detto si evince che se il flusso è stazionario la velocità è
funzione della sola posizione spaziale, definibile nel nuovo sistema di
coordinate curvilinee, cioè
r
r
V (s, n) = V (s, n) s(s, n)
3.5
Deformazione di un elemento fluido
Si consideri un flusso di tipo bidimensionale, cioè tale per cui il vettore
velocità non dipenda dalla coordinata z ma solo dalle coordinate x e y.
Una particella fluida inizialmente di forma quadrata (ABCD) si muove
deformandosi in una particella romboidale (A’B’C’D’), nel tempo ∆t .
Come si può osservare dalla figura, l’elemento fluido subisce in
generale diverse trasformazioni:
• Traslazione: il punto B, preso come riferimento, trasla e si porta
sul punto B’
• Rotazione: la diagonale BD si trasforma nella diagonale B’D’ e, in
generale subisce una rotazione
• Deformazione a Taglio: l’elemento quadrato è diventato
romboidale
• Dilatazione: l’elemento fluido sembra avere una superficie (e
quindi un volume) più grande
19
y
∂u
dy dt
∂y
D’
A’
dβ
tempo t + dt
φ
φ
dα
udt
B’
A
dx +
D
C’
∂v
dx dt
∂x
∂u
dx dt
∂x
tempo t
dy
v dt
45°
u dt +
45°
B
dx
∂ (udt )
dx
∂x
x
C
Figura
Traslazione: si definisce la velocità di traslazione del punto B sul piano
x − y , data dalle due componenti u e v
Rotazione: la rotazione della diagonale BD, data da ∆Ωz = 1 2 ( ∆α − ∆β )
, si può riscrivere, trascurando gli infinitesimi di ordine superiore nelle
espressioni degli angoli di rotazione,
∂v

∆x ∆t 

∂v
∂
x
dα = lim  arc tan
 = ∂x dt
∂u
∆t → 0
∆x +
∆x ∆ t 

∂x


∂u

∆y ∆t 

∂y
∂u
dβ = lim  arctan
 = dt
∂v
∆t → 0

∆y + ∆y ∆t  ∂y

∂y


Pertanto, passando al limite
dΩ z 1  ∂ v ∂ u 
=  − 
dt
2  ∂x ∂y 
20
L’espressione precedente definisce la velocità angolare di rotazione
dell’elemento fluido, nel caso di un flusso 2D. Nel caso 3D si ha, in
maniera analoga:
dΩ x 1  ∂w ∂v 
= 
− 
dt
2  ∂y ∂z 
dΩ y
1 ∂u ∂w 
=  −

dt
2  ∂z ∂x 
dΩ z 1  ∂ v ∂ u 
=  − 
dt
2  ∂x ∂y 
La vorticità è definita come due volte il valore della velocità angolare
locale del fluido:
ω=2
dΩ
dt
Si noti come la vorticità e la conseguente rotazione non implicano
necessariamente traiettorie o linee di flusso curve! Infatti la vorticità
riguarda solamente la rotazione relativa tra due particelle contigue. Il
concetto fisico di vorticità è dunque associato alla presenza di sforzi di
taglio nel fluido, come ad esempio nello strato limite, e che, come si
vedrà, sono fondamentali nella generazione e nel mantenimento della
turbolenza.
La relazione tra vorticità e velocità del flusso è espressa da:
r r r
r
ω = rot V = ∇ × V
Deformazione a taglio (shear strain): si misura valutando la
diminuzione dell’angolo tra due linee inizialmente normali (BA e BC) e
dividendola per il tempo ∆t nel quale si verifica e per una costante pari
a due, per convenzione. Nel caso di flusso 2D
1  ∆α + ∆β  1  ∂v ∂u 
ε xy = lim 
=  + 
∆t→ 0 2 
∆t
 2  ∂x ∂y 
Analogamente, per flusso 3D, si determinano le altre componenti della
deformazione a taglio
1  ∂w ∂v 
ε yz = 
+ 
2  ∂y ∂z 
21
1 ∂u ∂w 
ε zx =  +

2  ∂z ∂x 
Dilatazione in direzione x: è definita dall’incremento unitario di
lunghezza di un elemento inizialmente diretto come x, rapportato al
tempo ∆t nel quale si verifica. Sempre dalla figura si ha
ε xx
∂u


 ∆x + ∂x ∆x ∆t  − ∆x ∂u

= lim 
=
∆t → 0
∆x ∆t
∂x
Analogamente, per flussi 3D
ε yy =
3.6
∂v
∂y
ε zz =
∂w
∂z
Tensore di deformazione
Come si è visto nel paragrafo precedente, la deformazione globale
(comprensiva di deformazione e di dilatazione) è espressa da nove
termini εij . Si definisce pertanto il tensore di deformazione come un
entità a nove componenti visualizzabile come una matrice:
 ε xx

εij =  ε yx
 ε zx

ε xy
ε yy
ε zy
ε xz 

ε yz 
ε zz 
Da considerazioni di equilibrio si può dimostrare che delle nove
componenti del tensore di deformazione solo sei sono indipendenti, e la
matrice è simmetrica. Si riportano alcune definizioni legate al tensore di
deformazione.
Invariante primo: è dato dalla somma dei termini della diagonale
principale
I1 = ε xx + ε yy + ε zz =
r r r
∂ u ∂v ∂w
+ +
= div V = ∇ ⋅ V
∂ x ∂y ∂ z
Dato il volume ∆Ω di una particella fluida, si può dimostrare che
ε xx + ε yy + ε zz = lim
1 ∆Ω 1 dΩ
=
∆t Ω d t
∆t → 0 Ω
22
CAPITOLO 4.
Equazioni di Conservazione
Le equazioni di conservazione sono le equazioni fondamentali che
regolano il moto di un fluido. Esse sono ricavate a partire da alcuni
principi fisici fondamentali che esprimono:
• Conservazione della Massa
•
•
Secondo principio della Dinamica
Primo principio della Termodinamica
I principi fisici appena citati possono essere applicati alla particella
fluida, definita come unità fluida elementare, e permettono di ricavare
le equazioni di conservazione in forma differenziale, non conservativa. Il
punto di vista utilizzato è ovviamente quello Lagrangiano.
Se invece si considera un punto di vista Euleriano, e i principi fisici si
applicano ad un volume fluido di controllo infinitesimo, le equazioni di
conservazione sono in forma differenziale, non conservativa. La forma
differenziale si presta per l’utilizzo col metodo alle Differenze Finite
Allo stesso modo, le equazioni possono essere ricavate per un volume
di controllo finito (formulazione integrale), facendo uso del teorema del
Trasporto di Reynolds. In questa forma verranno utilizzate nel metodo
a Volumi Finiti.
4.1
Equazione di
conservativa
Continuità
in
forma
differenziale,
non
Si consideri una particella fluida che si muova sulla sua traiettoria, in
un generico campo di moto. Data la definizione di particella fluida, se
valgono le leggi della meccanica Newtoniana e’ immediato applicare ad
essa il principio fisico di conservazione della massa
“La massa della particella si conserva durante il moto”
Analiticamente, indicata con ∆ m = ρ ∆Ω
la massa della particella, dove ∆Ω è il
Traiettoria
volume e ρ la densità, la precedente
affermazione porta a scrivere:
23
Particella
fluida
d ∆ m d ( ρ ∆Ω )
=
=0
dt
dt
d (ρ ∆Ω ) d ρ
d ∆Ω
=
∆Ω + ρ
=0
dt
dt
dt
r r
Ricordando che ∇ ⋅ V = 1 Ω dΩ d t , si ottiene
r r
dρ
+ ρ ∇ ⋅V = 0
dt
Equazione di Conservazione della Massa, in forma differenziale, non
conservativa
La precedente si può anche riscrivere
r r
1 dρ
∇ ⋅V = −
ρ dt
La divergenza del vettore velocità, oltre ad esprimere la dilatazione
locale del fluido, è legata anche ad un altro concetto analogo, cioè alla
variazione relativa locale di densità. Un fluido incomprimibile è
pertanto caratterizzato da una equazione di continuità nella forma
r r
∇ ⋅V = 0
4.2
Equazione di Continuità in forma differenziale, conservativa
Per ottenere la forma conservativa della equazione di continuità,
possono essere applicati due metodi. Nel primo approccio si sfrutta la
relazione tra derivata sostanziale (Lagrangiana) e derivata locale
(Euleriana). Il secondo metodo utilizza invece un bilancio di massa in
un volume di controllo infinitesimo, fisso nello spazio.
1° metodo.
Data una generica funzione ϕ , la relazione tra derivata sostanziale e
locale, per una generica funzione scalare o vettoriale, è data da
24
r r
dφ ∂ φ
=
+ V ⋅∇ φ
dt
∂t
(
)
che per la funzione densità diventa
r r
dρ ∂ρ
=
+ V ⋅∇ ρ
dt
∂t
(
)
Sostituendo nella equazione di continuità in forma non conservativa
r r 
r r
∂ ρ
+ V ⋅∇ ρ  + ρ ∇ ⋅V = 0

 ∂t

(
)
 ∂u ∂v 
∂ρ  ∂ρ
∂ρ 
+ u
+v
+
+ρ
=0
∂t  ∂x
∂y
 ∂x ∂y
∂ ρ ∂ ρu ∂ ρv
+
+
=0
∂t
∂x
∂y
∂ρ  ∂ r ∂
+
i+
∂t ∂x
∂y
Si ottiene
r
r
r
j  ⋅ ρu i + ρv j = 0

(
)
r
r
∂ρ
+ ∇ ⋅ ρV = 0
∂t
( )
Equazione di Conservazione della Massa,
in forma differenziale, conservativa.
Il termine conservativa è legato al fatto che, a parte la derivata
temporale, i termini con derivate spaziali compaiono sotto forma di
gradiente di una funzione. Quando una equazione è scritta in tale
forma, come si vedrà nel seguito, è possibile applicarla ad un volumetto
fisso nello spazio ed ottenere una formulazione integrale estesa sua
superficie che esprime la conservazione dei flussi di una determinata
r
grandezza, nel caso in esame ρ V , nel dominio spaziale. In termini più
semplici, il flusso di una data grandezza che entra attraverso una
superficie chiusa è eguale a quello che esce, e questo per qualsiasi
superficie individuata nel dominio.
25
26
2° metodo.
Si basa sull’applicazione di un bilancio di massa per un volumetto
infinitesimo, fisso nello spazio, seguendo un punto di vista Euleriano.
Il principio fisico può essere così enunciato
L’aumento, in un intervallo Dt, della massa contenuta in un
volumetto, eguaglia la quantità netta di massa entrante nello stesso Dt
In termini matematici, la precedente espressione diventa
& ∆t
∆ ( ρ ∆Ω ) = −∆M
& è la portata massica netta attraverso la superficie del
Dove ∆M
volumetto ∆Ω , considerata positiva se uscente. Se si ricorda che il
volumetto è da considerare fisso e indeformabile, dividendo per
l’intervallo di tempo ∆t , si ha
& = ∂ρ ∆Ω
−∆M
∂t
Per ricavare un’espressione della portata massica netta nel volume
considerato di consideri la figura seguente
∂ ( ρ u) 1 

dx  dy dz
ρ u −
∂x 2 

P-x
P
Px
∂ ( ρ u) 1 

dx  dy dz
ρ u+
∂x 2 

z
y
x
dx
Figura:
La portata massica attraverso la superficie normale all’asse x passante
per il punto P+ x è da considerare negativa in quanto uscente, ed è data
da
( dm&x )P + x = ( ρ u )P + x dy dz
27
Sviluppando in serie di Taylor attorno al punto P, si ottiene

∂ ( ρ u )P 1 
dy dz = ( ρ u )P +
dx  dy dz
+x
∂x
2 

( ρ u )P
In maniera analoga si può trovare la portata attraverso la superficie
passante per il punto P− x . La portata netta totale uscente in direzione x
risulta data da
 ∂( ρ u) 
∂( ρ u)
&x =
dm
dx  dy dz =
dΩ
∂x
 ∂x

Nel caso 3D, la portata massica totale netta uscente è data da:
& =  ∂( ρ u) + ∂( ρ v) + ∂( ρ w)  dΩ
dM


∂y
∂z 
 ∂x
&= ∂ρ ∂t ∆Ω si ha
Sostituendo nella equazione di bilancio −∆M
∂ ρ ∂(ρ u) ∂(ρ v) ∂(ρ w )
+
+
+
=0
∂t
∂x
∂y
∂z
Equazione di Conservazione della Massa
nella forma differenziale conservativa
che può essere scritta anche
r
∂ρ r
+∇⋅ ρV = 0
∂t
( )
28
4.3
Teorema di Trasporto di Reynolds
Se si vogliono scrivere le equazioni in forma integrale è necessario
definire preventivamente i concetti di Sistema e di Volume di Controllo,
ai quali i principi fisici fondamentali verranno poi applicati. Essi
possono essere ricavati in analogia a quanto detto per i punti di vista
Lagrangiano e Euleriano, che consideravano un osservatore
rispettivamente in movimento con una particelle fluida e fisso rispetto
ad un riferimento inerziale.
Il Sistema è definito come una parte di fluido, composta da un insieme
di particelle fluide. Il sistema si muove del moto delle particelle che lo
compongono e che mantengono sempre la propria identità, cioè sono
sempre le stesse.
Per Volume di Controllo si intende un volume spaziale, di cui sono ben
note e definite geometria e cinematica. La forma e la posizione spaziale,
compresa di eventuali spostamenti, sono infatti scelti a piacere per
poter risolvere eventuali situazioni di flusso particolari. In generale il
Volume di Controllo è scelto di forma e posizione costanti.
Il Teorema di Reynolds esprime una relazione matematica tra le
derivate temporali delle grandezze termo-fluidodinamiche valutate nel
Sistema e nel Volume di Controllo. Per la dimostrazione si rimanda a
qualsiasi testo di base di Meccanica dei Fluidi ma, in sintesi, essa
prevede di considerare un sistema fluido all’istante t-dt, che nel suo
movimento, si sovrappone nell’istante t ad un volume di controllo
opportunamente scelto, come rappresentato nella figura.
Sys
(t)
Sys
(t-dt)
VC (t)
Figura
29
Il Volume di controllo è rappresentato con linea rossa tratteggiata ed il
Sistema, nei due istanti considerati, è rappresentato con linea blu
continua.
Data una generica grandezza fluidodinamica B riferita al Sistema o al
Volume di Controllo, definita estensiva, essa può essere posta in
relazione con la relativa grandezza intensiva, b, dalla equazione
B=
∫
ρ b dΩ
Sis / VC
Dove l’integrale è esteso al volume dei Sistema o del Volume di
Controllo. Il significato della grandezza intensiva è pertanto quella di
un parametro del flusso per unità di massa.
Nell’istante t considerato, il Sistema ed il Volume di Controllo
coincidono, ed il valore della grandezza B è lo stesso se valutato per i
due volumi
∫
Sis , t
ρ b dΩ =
∫
ρ b dΩ
VC , t
Lo stesso non si può dire per le derivate temporali di questa grandezza
effettuate per le due entità diverse. Il Teorema di Reynolds esprime in
maniera matematica la relazione tra queste derivate. Nel caso generale
r
che il Volume di Controllo sia dotato di una velocità V VC :
r r
d BSis
r
d
∂
 V −V
=
ρ
b
d
Ω
=
ρ
b
d
Ω
+
ρ
b
VC ⋅ n  dS
∫
∫
∫

dt
d t Sis
∂t VC
SC
(
)
Teorema del Trasporto (di Reynolds)
per un Volume di Controllo in movimento
Si osservi come sia stato utilizzato il simbolo d dt per definire la
derivata fatta sul Sistema, in analogia con la derivata sostanziale o
Lagrangiana vista in Cinematica, fatta da un osservatore che si muova
con una particella fluida, cioè un Sistema infinitesimo. L’analogia è
completata dall’uso del simbolo ∂ ∂t per la derivata fatta sul Volume
di Controllo, corrispettiva della derivata locale o Euleriana vista nel
capitolo relativo alla Cinematica, col significato di derivata effettuata
30
considerando l’osservatore fermo nello spazio. In questo caso però il
VC può essere fermo nello spazio o muoversi, come detto, con una certa
velocità nota.
Nel caso di VC indeformabile e con velocità nulla rispetto ad un sistema
di riferimento inerziale, il Teorema di Reynolds si scrive
r r
d BSis
d
∂
=
ρ
b
d
Ω
=
ρ
b
d
Ω
+
ρ
b
V
⋅ n dS
∫
∫
∫
dt
d t Sis
∂ t VC
SC
(
•
•
•
)
Il termine a primo membro rappresenta la derivata temporale
rispetto al Sistema delle grandezza estensiva considerata;
Il primo termine a secondo membro è la derivata temporale
rispetto al Volume di Controllo delle grandezza estensiva
Il secondo termine a secondo membro
∫
(
r r
)
ρ b V ⋅ n dS
SC
rappresenta il flusso netto (o portata netta, positiva se uscente)
della grandezza estensiva, attraverso la superficie (fissa) SC del
Volume di Controllo.
Scrivendo la relazione cinematica tra derivata sostanziale e locale, si
possono evidenziare alcune analogie:
r r
dφ ∂ φ
=
+ V ⋅∇ φ
dt
∂t
(
•
•
•
31
)
al Sistema corrisponde la Particella fluida;
al Volume di Controllo corrisponde il punto spaziale fisso;
al termine di flusso netto corrisponde la derivata convettiva
4.4
Equazione di Continuità in forma integrale
Come nella elaborazione delle equazioni in forma differenziale, anche
per ricavare la forma integrale occorre partire dalla applicazione di un
principio fisico. Ad esempio, per il Sistema costituito nel suo moto
sempre dalle stesse particelle, si può affermare che
La massa del Sistema si conserva durante il moto
In termini matematici, la precedente si scrive:
d M Sys
dt
=
d
∫ ρ ⋅ 1 ⋅ dΩ = 0
d t Sys
L’espressione precedente fa osservare immediatamente
grandezza intensiva è uno scalare, b = 1 , essendo
che
la
B = M = ∫ ρ ⋅ b ⋅ dΩ = ∫ ρ ⋅ 1 ⋅ dΩ
Esprimendo la derivata fatta rispetto al Sistema mediante il Teorema di
Reynolds, si ottiene
r r
∂
ρ
d
Ω
+
ρ
V
⋅ n dS = 0
∫
∫
∂t VC
SC
(
)
equazione di Conservazione della Massa
(o equazione di Continuità) in forma integrale
In tal modo l’equazione contiene solo termini relativi al Volume di
Controllo fisso e indeformabile che, come si vedrà nel seguito, è la
situazione che è caratteristica di ogni volumetto della griglia di calcolo
nel metodo ai Volumi Finiti.
Dall’espressione integrale è possibile ricavare quella differenziale già
vista nei paragrafi precedenti, facendo tendere a zero il Volume di
Controllo.
32
Utilizzando il Teorema di Gauss (vedi Appendice 1) l’equazione
diventa
r
r
∂
ρ
d
Ω
+
∇
⋅
ρ
V
dΩ = 0
∫
∫
∂ t VC
VC
( )
E, al limite per VC → d Ω → 0 , si ottiene
r
r
∂
ρ dΩ + ∇ ⋅ ρ V dΩ = 0
∂t
( )
r
∂ρ r
+ ∇ ⋅ ρV = 0 ,
∂t
( )
33
C.V.D.
4.5
Equazione di Conservazione della Quantità di Moto in forma
integrale
Procedendo in maniera analoga, si applichi al Sistema il principio fisico
rappresentato dalla seconda legge di Newton (secondo principio della
Dinamica):
La Risultante delle Forze esterne agenti sul Sistema eguaglia
la derivata temporale della Quantità di Moto del Sistema
In termini matematici
r
d B d ( QM ) d
=
=
ρ V dΩ =
∫
dt
dt
d t Sis
r
∑ FSis
Si osservi come la grandezza intensiva sia ora rappresentata da una
r
quantità vettoriale, b = V . Ricordando inoltre che il Teorema di
Reynolds sottintende che all’istante considerato il VC e il Sistema
coincidano, si può scrivere
r
r r r
r
∂
ρ V d Ω + ∫ ρ V V ⋅ n dS = ∑ FVC
∫
∂t VC
SC
(
)
Equazione di Conservazione della Quantità di Moto,
in forma integrale
Come visto nel paragrafo precedente, anche in questo caso un
procedimento al limite permetterebbe di ricavare l’analoga equazione
in forma differenziale. Occorre però sia modificare il primo membro, sia
esplicitare il termine rappresentativo delle forze esterne. Nel successivo
paragrafo verrà sviluppato il secondo problema.
4.6
Forze agenti sul Volume di Controllo
In generale le forze sono costituite da forze di massa e da forze agenti
sulle superfici del volume di controllo
r
r
r
F
=
F
+
F
CV
grav
sup
∑
34
Per quanto riguarda le prime, si riconducono alle forze gravitazionali
che, in un sistema di riferimento Cartesiano con l’asse z rivolto verso
l’alto, si scrivono
r
v
v
Fgrav = ∫ dm g = − ∫ ρ g k dΩ
VC
VC
r
Per esprimere le forze agenti sulle superfici del volumetto, Fsup , occorre
definire e studiare il cosiddetto stato di sforzo nel fluido in moto.
Stato di Sforzo per un fluido in moto
In analogia con i solidi:
! le sollecitazioni agenti su una generica superficie si compongono
di sforzi normali e tangenziali;
! la conoscenza dello stato di sforzo in un punto rende possibile
determinare le forze agenti su una generica superficie passante
nel punto;
In contrasto con quanto avviene nei solidi:
! le sollecitazioni tangenziali nascono solo se il fluido è in moto
Figura 6.3: Volume infinitesimo, sollecitazioni agenti sulle tre facce visibili
Nella figura 6.3 sono riportate le sollecitazioni agenti sulle tre facce
visibili del volume infinitesimo considerato. Si osservi come, ad
esempio, τxy sia la sollecitazione tangenziale agente su una superficie
normale all’asse x, diretta secondo y.
35
Volendo ricavare le componenti nelle direzioni coordinate della forza
totale agente sul volumetto, facendo riferimento ai soli sforzi mostrati
in figura, si scriverà
dFx = −σ xxdy dz − τ yxdx dz + τ zxdx dy
dFy = −τ xy dy dz − σ yydx dz + τ zydx dy
dFz = −τ xz dy dz − τ yz dx dz + σ zzdx dy
Occorre ricordare che lo stato di sforzo nell’intorno di un punto di un
corpo rigido (cioè l’insieme degli sforzi normali e di taglio agenti su un
qualsiasi piano passante per il punto) non è definibile completamente
dalla sola conoscenza di un vettore di sforzo. Si può dimostrare che
invece lo stato di sforzo nell’intorno di un punto può essere espresso in
funzione degli sforzi agenti su tre piani cosiddetti principali o su tre piani
ortogonali che passano per il punto. Sono necessari pertanto un totale
di nove componenti, che definiscono il cosiddetto tensore degli sforzi.
Esso costituisce un’entità di ordine superiore al vettore, ed è
normalmente rappresentata con la matrice delle sue nove componenti.
σ xx τ yx τ zx 


σ ij ≡ π ij ≡ π =  τ xy σ yy τ zy 
 τ xz τ yz σ zz 


Da considerazioni di equilibrio del volumetto, si può dimostrare che la
matrice è simmetrica (τ ij = τ j i ) e che le componenti indipendenti del
tensore degli sforzi sono pertanto solo sei.
Nel caso di fluido in quiete (delle cui proprietà si occupa la statica dei
fluidi), gli sforzi sulle facce si riducono alle sole componenti normali
dovute alla pressione idrostatica, normalmente considerate positive se
agenti in verso opposto alla normale uscente dalla superficie ( σ xx = − p ).
In questo caso il tensore degli sforzi è dato da
0 
− p 0

πstatico =  0 − p 0 
 0
0 − p
36
Per tener conto sia della situazione di fluido in quiete sia di fluidi in
moto, il tensore dinamico si riscrive facendo comparire la pressione
idrostatica insieme ad alcuni termini che si annullino quando il fluido è
fermo o è ideale, cioè quando sono assenti le tensioni tangenziali,
dovute alla viscosità e ai gradienti di velocità.
 −p + τ xx

π =  τ xy
 τ xz

τ yx
τ zx 
1 0 0  τ xx τ yx τ zx 



−p + τ yy
τ zy  = − p 0 1 0  + τ xy τ yy τ zy  = − p I + τ
0 0 1  τ xz τ yz τ zz 
τ yz
− p + τ zz 


dove I è il tensore identità e τ è il tensore degli sforzi viscosi. Per i
termini del tensore degli sforzi con pedice uguale si ha pertanto
τ ii = σ ii − p .
Per un volume di controllo di dimensioni finite, è possibile dimostrare
(vedi Appendice 2) che le forze superficiali assumono la seguente
espressione
r
r
r
∑ FVC = − ∫ p n d S + ∫ τ ⋅ n d S
SC
SC
Applicando il Teorema della Divergenza si ottiene
r
s
s
∑ FVC = − ∫ ∇ p d Ω + ∫ ∇ ⋅ τ d Ω
VC
37
VC
4.7
Un’altra espressione della Equazione di Conservazione della
Quantità di Moto in forma integrale. Forma differenziale.
Si riprenda l’equazione di conservazione della QM in forma integrale
r
r r r
r
∂
ρ V d Ω + ∫ ρ V V ⋅ n dS = ∑ FVC
∫
∂t VC
SC
(
)
e si esprima il primo membro mediante il Teorema di Gauss
r
r r r
r
r r
r
∂
∂
ρ V dΩ + ∫ ρ V V ⋅ n dS =
ρ V dΩ + ∫ ∇ ⋅ ρ V V dΩ
∫
∫
∂t VC
∂t VC
SC
VC
(
)
(
)
r r
Si osservi che V V è un tensore doppio e che il prodotto scalare
r r
r
∇⋅ ρV V
(
)
riconduce il tensore doppio ad un tensore singolo, cioè ad un vettore, e
lo rende congruente agli altri termini dell’equazione. Il secondo
membro è stato già espresso in funzione dei tensori di sforzo nel
precedente paragrafo, e l’equazione iniziale si scrive:
r
r r
r
∂
ρ V dΩ + ∫ ∇ ⋅ ρ V V dΩ =
∫
∂t VC
VC
(
)
r
r
r
∫ ρ g dΩ − ∫ ∇ p dΩ + ∫ ∇ ⋅ τ dΩ
VC
VC
VC
Passando al limite per VC → d Ω → 0
r r
r
r r
∂ r r
ρ V + ∇ ⋅ ρ V V = ρ g − ∇p + ∇ ⋅ τ
∂t
(
)
Equazione di Conservazione della Quantità di Moto
in forma differenziale conservativa
Con semplici passaggi è possibile scrivere la corrispondente forma non
conservativa. Infatti, riordinando e sviluppando le derivate dei prodotti
r
r ∂ρ
r r r
r r
r
r
r r
∂V
ρ
+V
+ ρ V ∇ ⋅ V + V ∇ ⋅ ρ V = ρ g − ∇p + ∇ ⋅τ
∂t
∂t
(
Da cui
38
)
(
)
r
r r r
r  ∂ρ r
r 
r
r r
∂V
ρ
+ ρ V ∇⋅V + V 
+ ∇ ⋅ ρ V  = ρ g − ∇p + ∇ ⋅τ
∂t
 ∂t

(
)
(
)
Dove il termine tra parentesi quadrate è nullo, come mostrato
dall’equazione di Continuità. La precedente diventa
r
r r r 
r
 ∂V
r r
ρ
+ V ∇ ⋅ V  = ρ g − ∇p + ∇ ⋅τ
 ∂t

(
)
1° Forma della Equazione di Conservazione della Quantità di Moto
in forma differenziale non conservativa
r r r
r r r
Ora, essendo V ∇ ⋅ V = ∇ ⋅ V V , e ricordando la relazione tra derivata
Lagrangiana ed Euleriana, si ha
(
) (
)
r
r
r r
dV
ρ
= ρ g − ∇p + ∇ ⋅τ
dt
2° Forma della Equazione di Conservazione della Quantità di Moto
in forma differenziale non conservativa
La prima forma, essendo scritta in funzione di derivate locali, si presta
ad essere utiliozata col metodo alle differenze finite. La seconda forma
della equazione della QM evidenzia come essa esprima la 2° Legge
della Dinamica, applicata ad una particella infinitesima, per unità di
volume.
39
4.8
Equazione di Conservazione dell’Energia
Forma integrale
Il principio fisico fondamentale da applicare al sistema è adesso la
Prima Legge della Termodinamica:
La variazione dell’Energia totale del Sistema in un fissato intervallo
di tempo è eguale allo scambio netto di Energia termica e Lavoro
nello stesso intervallo
La relazione matematica equivalente, in termini di energia per unità di
tempo (potenza), si scrive:
dE Sis
= Q& + L&
dt
(
)
Sis
Ai fini dell’applicazione del teorema del Trasporto, si osservi che la
grandezza estensiva è l’Energia totale del Sistema, E SIS , e che vale la
relazione
E Sis =
∫ ρ e dΩ
b=e
Sis
)
e = u + V 2 2 + g z è l’energia totale specifica del fluido
)
u è l’energia interna termodinamica specifica [J/kg]
dove
•
•
•
V 2 2 è l’energia cinetica specifica
g z è l’energia potenziale gravitazionale specifica
L’applicazione del Teorema del Trasporto ad un Volume di Controllo
fisso ed indeformabile conduce alla seguente relazione
v r
∂
ρ
e
d
Ω
+
ρ
e
V
⋅ n dA = Q&+ L&
∫
∫
VC
∂t VC
SC
(
)
(
)
Equazione di Conservazione dell’Energia in forma integrale
40
La potenza scambiata L& , o lavoro nell’unità di tempo, presente a
secondo membro nella precedente equazione è dovuta a elementi che
possono convertire energia meccanica in energia del fluido e viceversa (
L& sh , Lavoro d’albero, shaft), ma anche al lavoro delle diverse forze
agenti sulla superficie del volume di controllo, identificabili in quelle di
pressione e nelle tensioni tangenziali, e nel lavoro delle forze di massa
L& = L& sh + L& p + L&τ + L& m
Si riporta l’espressione del lavoro compiuto dalle forze di pressione
v r
L& p = − ∫ p V ⋅ n dA
(
)
SC
e sostituendo nella equazione integrale dell’energia si ha

p v r
∂
ρ e dΩ + ∫ ρ  e +  V ⋅ n dA = Q& + L& sh + L&τ + L& m
∫
∂t VC
ρ
SC 
(
)
v r
∂
& + L& + L& + L&
ρ
e
d
Ω
+
ρ
h
V
⋅ n dA = Q
t
sh
τ
m
∫
∫
∂t VC
SC
(
)
Relativamente all’energia associabile ad una particella fluida, si può
infatti introdurre una funzione definita entalpia totale, che tenga conto,
oltre che dei termini già visti precedentemente, anche della energia di
pressione del fluido
ht = e +
p
ρ
Forma differenziale generale
Analogamente a quanto visto per le altre equazioni fondamentali, la
forma differenziale della equazione dell’Energia può essere ottenuta
supponendo che il Volume di Controllo diventi infinitesimo. In questa
situazione risulta nullo il lavoro meccanico scambiato e, utilizzando il
teorema di Gauss,si ottiene
r
r
∂
ρ e + ∇ ⋅ ρ htV = Q&+ L&τ + L&m
∂t
(
41
)
Equazione dell’Energia in forma differenziale conservativa
Nella precedente equazione, Q& e L&τ rappresentano grandezze riferite
all’unità di massa. Essa si scrive anche
∂
∂
∂
∂
ρ e ) + ( ρ uht ) + ( ρ vht ) + ( ρ wht ) = Q&+ L&τ + L&m
(
∂t
∂x
∂y
∂z
Queste espressioni generali della equazione dell’energia in forma
differenziale necessitano comunque di una definizione esplicita dei
termini che compaiono a secondo membro.
Calore in ingresso nell’unità di tempo
Si consideri solo il calore trasmesso per conduzione attraverso le pareti
del volume di controllo infinitesimo. Il flusso di energia termica per
conduzione (calore trasmesso per unità di tempo e unità di superficie) è
regolato dalla legge di Fourier

∂T
 qx = − k
∂x

r
r
r
r
r
∂
T

q = qx i + qy j + qz k = − k∇T ⇒ qy = − k
∂y


∂T
 qz = − k
∂z

dove:
k = coefficiente di conducibilità termica [W/K.m]; a volte indicato con
λ nei testi italiani
T = temperatura
r
q = vettore del flusso di calore per conduzione [W/m2]
Il flusso netto di energia termica attraverso la superficie del volume
infinitesimo si ottiene anche in questo dalla somma dei contributi
attraverso le varie facce, in ingresso ed in uscita. Procedendo in
analogia a quanto fatto per le altre equazioni per esso si ottiene
42
r r
∂qy ∂qz 
 ∂q
− x +
+
 dx dy dz ≡ −(∇ ⋅ q )dx dy dz
∂y
∂z 
 ∂x
W 
Il flusso netto di energia termica per unità di volume, che compare col
& nell’equazione dell’energia, sarà dato da
termine Q
r r r
r
Q&= −∇ ⋅ q = ∇ ⋅ k∇T
(
W 
 m3 
 
)
6.5
Lavoro delle forze viscose nell’unità di tempo
Considerando le forze normali e tangenziali su una faccia di un
volumetto infinitesimo, si ha
r r
dL& p = − V ⋅ pn dA
(
)
r r
dL&τ = V ⋅ τ t dA
(
)
r
r
dL& m = V ⋅ ρ gk dΩ
(
)
r
r
Nelle precedenti espressioni compaiono i versori n e τ ,
rispettivamente nelle direzioni normale e tangenziale alla faccia
dell’elemento. Per quanto riguarda il lavoro delle forze viscose, si può
dimostrare che quello compiuto da tutte le componenti di sforzo dirette
secondo l’asse x è dato da
(
)
dL&τ = τxxu + τxy v + τxz w dy dz
x
con espressioni analoghe nelle altre direzioni coordinate. Se si considera
il lavoro compiuto dalle forze viscose su tutte le facce del CV
infinitesimo e nell’unità di tempo, si ottiene
∂

∂
∂
dL&τ =  τxxu + τxyv + τxzw +
τyxu + τyyv + τyzw +
τzxu + τzyv + τzzw  dx dy dz
∂y
∂z
 ∂x

La potenza dissipata dalle forze viscose per unità di volume, può essere
(
)
riscritta in forma compatta
43
(
)
(
)
v r
L& τ ≡ Wτ = ∇ ⋅ V ⋅ τ
( )
(6.6)
Altre forma differenziale dell’equazione dell’Energia
Utilizzando le espressioni precedenti, nella equazione di Conservazione
dell’Energia in forma differenziale si possono far comparire le variabili
dipendenti temperatura e tensioni tangenziali
r
r
r
r
v r
r r
∂
ρ e + ∇ ⋅ ρ htV = ∇ ⋅ k∇T + ∇ ⋅ V ⋅ τ + ρ g ⋅ V
∂t
(
)
(
)
( )
Equazione dell’Energia in forma differenziale conservativa
r r
Nella precedente equazione L&m = ρ g ⋅ V è la potenza determinata dalle
forze di massa. Si può giungere ad una forma non conservativa nella
quale compare l’energia interna
ρ
)
r r
r r r
r
du
= − p∇ ⋅ V + τ ⋅ ∇ ⋅ V + ∇ ⋅ k∇T
dt
( )
(
)
Equazione dell’Energia in forma differenziale non conservativa
La forma non conservativa permette di evidenziare il principio fisico
legato all’equazione di Conservazione dell’Energia. Il primo membro è
la variazione dell’energia interna totale per unità di volume vista dalla
particella nel suo percorso (derivata Lagrangiana o sostanziale). Essa è
dovuta al lavoro delle forze di pressione e a quello delle forze viscose
(per unità di volume), oltre ad un eventuale flusso termico per
conduzione.
r r
Il termine Φτ = τ ⋅ ∇  ⋅ V è detto funzione dissipazione. Ricordando la


relazione tra entalpia ed energia interna, con alcuni passaggi si ottiene
ρ
r
r
dht ∂p r r
=
+ ∇ ⋅ V ⋅ τ + ∇ ⋅ k∇T
dt ∂t
( )
(
)
Equazione dell’Energia in forma differenziale non conservativa
44
4.9
Il problema matematico della fluidodinamica
Si riportano di seguito le equazioni di Cntinutità, Quantità di Moto, ed
Energia, in forma differenziale conservativa.
!"
&'+ = 0
+ %&' ∙ )"*
!#
!
&' + %&' ∙ )"*
&'*
&'+ = −∇
&'1 + ∇
&' ⋅ 3̅̅
"*
!#
!
1
&' 8 = ∇
&' ⋅ )9 ∇
&':+ + ∇
&' ⋅ (*
&' ⋅ 3̅̅)
"56 + %&' ∙ 7" 756 + 8 *
!#
"
Dove si è trascurato per semplicità l’effetto del campo gravitazionale e
)
pertanto e = u + 0.5ρ V 2 . Si tratta di un sistema di equazioni differenziali
alle derivate parziali non lineari, dalla cui soluzione si ricaveranno le
variabili dipendenti in funzione delle variabili indipendenti. Si noti
come la seconda equazione vettoriale corrisponda a tre equazioni
scalari.
In un generico problema tridimensionale non stazionario le variabili
indipendenti sono:
=, ?, @, #
Le variabili dipendenti per il caso generale di flusso comprimibile sono:
", A, B, @, 1, 3CD , 5, :
Tenendo presente che il tensore degli sforzi ha sei componenti
indipendenti, il totale delle variabili dipendenti è pari a tredici.
Oltre alle tre equazioni fondamentali di sopra riportate, si hanno a
disposizione le equazioni di stato del gas considerato. Se si ipotizzano
valide le relazioni dei gas perfetti si ha:
1
= E:,
"
AF = GH :
Il problema fluidodinamica risulta pertanto costituito da
• 7 equazioni (differenziali ed algebriche)
45
•
13 variabili dipendenti, da ricavare in funzione delle variabili
indipendenti spazio-temporali.
Si evince come il problema sia mal posto, cioè non sia possibile trovare
una soluzione unica in funzione delle condizioni al contorno assegnate.
E’ immediato, tuttavia, constatare come la differenza tra il numero delle
incognite e quello delle equazioni sia pari proprio al numero delle
componenti del tensore degli sforzi. Per risolvere il problema
fluidodinamica è necessario pertanto avere a disposizione delle
relazioni che leghino le componenti del tensore degli sforzi alle altre
variabili dipendenti ed indipendenti. A tale insieme di relazioni si dà il
nome di legame costitutivo.
Legame costitutivo
Una prima ed elementare forma di legame costitutivo si può trovare
sperimentalmente se si considera ad esempio dell’acqua che scorra in
un canale a cielo aperto, in un sistema che possa essere considerato
bidimensionale.
Figura 4. – Sistema elementare per la determinazione del legame costitutivo
Come visto nel capitolo 2, si trova una relazione tra l’unica componente
tangenziale di sforzo esistente e il gradiente di velocità
!=#
d%
d&
(,
In generale pertanto esisterà una relazione tra il tensore degli sforzi '
definito da
46
−& + ())
π
" = $ ()*
()+
(*)
−& + (**
(*+
(+)
())
1 0 0
(+* , = −& -0 1 0 1 + -()*
()+
−& + (++
0 0 1
(*)
(**
(*+
(+)
(+* 1 = −&2 ̅ + (̅̅
(++
e il tensore delle velocità di deformazione, introdotto in Cinematica
5))
4̅̅ = -5)*
5)+
5*)
4**
5*+
9:
1 9> 9:
8
= + @
9;
2 9; 9?
7
4+)
1 9: 9>
9>
5+* 1 = 7 = + @
7 2 9? 9;
9?
5++
7
71 =9: + 9A @ 1 =9> + 9A@
62 9B 9;
2 9B 9?
1 9A 9:
=
+ @E
2 9; 9B D
1 9A 9> D
=
+ @
2 9? 9B D
D
9A
D
9B
C
Per ricavare queste relazioni nel caso di flusso tridimensionale, Stokes
ipotizzo nel 1843 una analogia con la legge di Hooke relativa al legame
sforzi-deformazioni dei solidi in campo elastico. Le ipotesi di Stokes
sono (Owkzarek, 1964):
• Il fluido è un mezzo continuo nel quale il tensore degli sforzi FG
dipende dal tensore delle velocità di deformazione 5̅̅ e dalle
proprietà del fluido, cioè FG = H(5̅)̅
• il fluido è omogeneo (il tensore FG non dipende dalla posizione)
• il fluido è isotropo (il tensore FG non dipende dalla orientazione)
•
quando il fluido è fermo gli sforzi si riducono alle sole
componenti idrostatiche
Direzioni
Principali
Con queste ipotesi si può tra l’altro dimostrare che in ogni istante le
direzioni principali del tensore degli sforzi coincidono con quelle del
tensore delle velocità di deformazione.
Fluidi
Newtoniani
Principali
Per la maggior parte dei fluidi, come visto nel semplice esempio
precedente, vale un’ulteriore ipotesi, detta di Newton:
• Le componenti del tensore degli sforzi FG dipendono linearmente
dalle componenti del tensore velocità di deformazione 5̅.̅
Fluidi che soddisfano tale ipotesi sono definiti Newtoniani. Senza
entrare nel merito della dimostrazione, si riassumono le relazioni
costitutive.
47
Componenti normali
Consideriamo la componente di sforzo viscoso relativo alla direzione x.
Si ha
-.
!"" = −% + 2 )*"" + )+ -∇. ⋅ 0
Dove:
• ) , primo coefficiente di viscosità, o viscosità dinamica
• )′, secondo coefficiente di viscosità
Stokes ipotizzò che tra i coefficienti di viscosità valesse la relazione,
detta appunto di Stokes
2
)+ = − )
3
Come è stato dimostrato da Maxwell con la sua teoria cinetica dei gas,
tale ipotesi è sicuramente valida per un gas monoatomico a basse
pressioni. Rimane aperto un dibattito scientifico sulla determinazione
del secondo coefficiente di viscosità e sulla validità della relazione di
Stokes. Tuttavia, non si commette un errore importante, a meno di
studiare fenomeni quali onde d’urto e attenuazione di onde acustiche,
se si consideri valida la relazione di Stokes per tutte le situazioni di
flussi industriali.
Due osservazioni possono essere fatte sul legame sforzi-velocità di
deformazione per la componente normale:
• è proporzionale alla dilatazione *"" = 34/36 lungo la rispettiva
direzione
• è proporzionale alla velocità di variazione del volume di fluido
Analogamente, per le sole componenti viscose, valgono le relazioni
7"" = ) 82
34 2
-. 9
− -∇. ⋅ 0
36 3
7:: = ) 82
3; 2
-. 9
− -∇. ⋅ 0
3< 3
7"" = ) 82
3= 2
-. 9
− -∇. ⋅ 0
3> 3
Componenti tangenziali
Le componenti tangenziali del tensore degli sforzi sono proporzionali
alle rispettive componenti del tensore delle velocità di deformazione.
48
!"# = !#" = % &
'( '+
+ ') ',
'+ '1
!#/ = !/# = % & +
'0 ')
'( '1
!"/ = !/" = % & +
'0 ',
Infine, ricordando le definizioni dei vari tensori, le precedenti si
possono scrivere:
2
=> ⋅ @
=>A6 ̅
23 = −5 6 ̅ + 2%9̅̅ − %;∇
3
4.10
2
=> ⋅ @
=>A6 ̅
!̅̅ = −2%9̅̅ − %;∇
3
Equazioni di Navier-Stokes
Si può a questo punto riprendere l’equazione vettoriale della quantità
di moto e riscriverla utilizzando la relazione costitutiva appena esposta.
B
=>
d@
=>5 + ∇
=> ⋅ !̅̅ + BE>
= −∇
dD
Sostituendo l’espressione del tensore degli sforzi viscosi in funzione
delle velocità di deformazione, si ottiene
B
=>
d@
2
=>5 + 2%∇
=> ⋅ 9̅̅ − ∇
=> ⋅ ;%∇
=> ⋅ @
=> A6 ̅ + BE>
= −∇
dD
3
Con alcuni passaggi, supponendo costante per semplicità la viscosità
dinamica, l’equazione vettoriale di conservazione della QM assume la
forma chiamata di Navier-Stokes
B
=>
d@
1
=>5 + %;∇F @
=>A + % ∇
=>;∇
=> ⋅ @
=>A + BE>
= −∇
dD
3
Equazioni di Navier-Stokes, in forma differenziale non conservativa,
La forma conservativa da utilizzare nelle simulazioni è la seguente
'
1
=> + ∇
=> ⋅ (B@
=>@
=>) = −J=> 5 + %;J F @
=>A + % J=> ;J=> ⋅ @
=> A + BE>
B@
'D
3
Equazione di Navier-Stokes, in forma differenziale conservativa
49
Come si vede, nelle Equazioni di Navier-Stokes sono scomparse le
tensioni tangenziali, espresse ora in funzione delle velocità. Il problema
matematico visto nei precedenti paragrafi è pertanto risolvibile, in
quanto costituito da sette equazioni differenziali e sette incognite (o
variabili dipendenti). Si riepilogano nel seguito le equazioni di
Conservazione della Massa e di Navier-Stokes per flussi comprimibili e
incomprimibili.
Flussi Comprimibili
!
&' ⋅ (#*
&' ) = 0
#+∇
!"
!
1
&' + ∇
&' ⋅ (#*
&'*
&') = −/&' 0 + 12/ 3 *
&'4 + 1 /&' 2/&' ⋅ *
&' 4 + #8'
#*
!"
3
Flussi Incomprimibili
&' = 0
/&' ⋅ *
!
1
1
&' + ∇
&' ⋅ 2*
&'*
&'4 = − /&' 0 + 2/ 3 *
&'4 + 8'
*
!"
#
#
50
Appendice 1
Teorema di Gauss o della divergenza: il flusso di un vettore uscente da
una superficie chiusa è uguale all’integrale della divergenza del vettore,
esteso al volume racchiuso dalla superficie
r uuur
r r
r
r
r
∫ ( A ⋅ n ) d S ≡ ∫ A ⋅ d S = ∫ div A d Ω ≡ ∫ ∇ ⋅ A d Ω
S
S
Ω
Ω
r
n è il versore normale uscente dalla superficie S
d
S è l’elementino infinitesimo di superficie
uur
r
dS = n dS è l’elementino di superficie vettorializzato
dΩ è il volumetto infinitesimo del volume Ω definito dalla superficie
Il teorema consente di sostituire l’integrazione su una superficie con
l’integrazione sul volume da essa contenuto, e viceversa. Ha
applicazione in un campo esteso di applicazioni, dall'analisi di strutture
solide alla descrizione di fenomeni elettrici ed elettromagnetici e alla
fluidodinamica.
51
Appendice 2
Si esprimano le forze superficiali agenti su un piccolo elemento cubico
di fluido in termini di sforzi agenti sulle facce dell’elemento, mettendo
poi in relazione le grandezze sulle facce con quelle agenti nel centro del
volume infinitesimo, mediante sviluppo in serie. Effettuando questa
operazione inizialmente per tutte le componenti di sforzo agenti nella
direzione coordinata x (figura 6.4), si ottiene
(σ
dFsup 
=
dir − x
(
x x +dx
+ τ yx
y + dy
)
− σ x x −dx dy dz
− τ yx
y −dy
(
)dx dz
)
+ τ zx z +dz − τ zx z −dz dx dy
τ zx
τ yx
σx
σx
z
τ yx
τzx
y
x
Figura 6.4: Volume infinitesimo, sollecitazioni agenti lungo la direzione x
Tramite sviluppo in serie di Taylor si ha:
(σ x x+dx − σ x x−dx )dy dz = ∂σ x dx dy dz
∂x
 τ
yx

y +dy
− τ yx
 dx dz = ∂τ yx dy dx dz
y −dy 
∂y
(τ zx z+dz − τ zx z−dz )dx dy = ∂τ zx dz dx dy
∂z
52
Da cui
[dF ]
s up dir− x
 ∂σ ∂τyx ∂τzx 
 dx dy dz
=  x +
+
∂y
∂z 
 ∂x
E, ricordando che τ ii = σ ii − p , e che dΩ = dx dy dz
[dF ]
s up dir−x
 ∂p  ∂τ
∂τ yx ∂τ zx  
  dΩ
= − +  xx +
+
∂y
∂z  
 ∂x  ∂x
Che rappresenta una forza per unità di volume. Considerando anche
quelle relative alle altre direzioni si ha
[dF ]
 ∂p  ∂τxy ∂τyy ∂τzy 
 dΩ
= − + 
+
+
∂
y
∂
x
∂
y
∂
z



[dF ]
 ∂p  ∂τ
∂τyz ∂τzz  
  dΩ
= − +  xz +
+
∂y
∂z  
 ∂z  ∂x
s up dir− y
s up dir − z
Sommando vettorialmente le tre relazioni si ottiene
r
r
r
r
dFsup = dFsup 
i + dFsup 
j + dFsup 
k=
dir − x
dir − y
dir − z
r
r
v
v
=  − ∇p + ∇⋅τ  dΩ ≡ −p∇⋅ I + ∇⋅τ  dΩ




53