Traccia T1 - Progetto e

Traccia T1: Descrivere la costruzione della configurazione elettronica di un atomo
Premessa
Le modalità con le quali gli elettroni si configurano negli atomi sono regolate dalla Meccanica
Quantistica, fondata su principi e leggi diverse da quelle proposte nell'ambito della Fisica Classica
newtoniana. Pertanto, di seguito si riporta una breve descrizione dello sviluppo della nuova
meccanica.
1. Breve descrizione della genesi e dei principi fondamentali della Meccanica Quantistica
In Fisica Classica per determinare lo stato dinamico di una particella, è possibile misurare
contemporaneamente e in principio in modo esatto posizione e quantità di moto dell'elettrone.
Tuttavia, secondo le leggi dell'elettromagnetismo classico, una qualunque carica accelerata, come
l'elettrone attorno al nucleo, perde energia per irraggiamento cadendo rapidamente sul nucleo,
rendendo instabile qualunque atomo. Osservando in particolare le righe spettrali dell'atomo di
idrogeno riscaldato e basandosi su lavori precedenti, Bohr propose il suo modello planetario
dell'atomo di idrogeno, con l'elettrone che stabilmente può occupare solo orbite ben definite,
calcolate mediante l'approccio classico. Tuttavia dovette introdurre una quantizzazione del
momento angolare che può assumere solo valori interi di una grandezza fondamentale h = h / 2π (h =
Costante di Planck). In questo modo trovò che anche l'energia dell'elettrone può assumere solo
valori inversamente proporzionali al quadrato di numeri interi. A ciascun numero (numero
quantico principale) corrisponde un'orbita fissa di raggio crescente. Nel riscaldamento del gas di
idrogeno atomico, l'elettrone si colloca su orbite con raggio ed energia maggiore, tornando allo stato
fondamentale emette energia in modo discreto, come osservato sperimentalmente. I risultati di
questa nuova meccanica tendono asintoticamente ai risultati della meccanica classica nel limite di
grandi numeri quantici (Principio di corrispondenza di Bohr). Tuttavia, in aggiunta alle sue
caratteristiche ondulatorie (Huyghens, interferenza, diffrazione), la radiazione elettromagnetica
esibisce caratteristiche di particella, come già osservato da Newton, Einstein (fotone), Compton. de
Broglie introdusse una fondamentale e rivoluzionaria unificazione: le particelle possiedono anche
caratteristiche ondulatorie e viceversa (dualismo onda-corpuscolo (interferenza degli elettroni di
Davisson e Germer). Furono proposte due formulazioni equivalenti di una nuova meccanica: la
Meccanica delle Matrici (Heisemberg, Born, Jordan) e la Meccanica Ondulatoria (Schrödinger)
che sono particolari forme di una più generale meccanica quantistica sviluppata da Dirac. Una
fondamentale conseguenza è il Principio di indeterminazione (Heisemberg) secondo il quale una
particella non può occupare una posizione e possedere una quantità di moto che siano determinate
esattamente e contemporaneamente anche a livello di principio. Il Principio di Heisemberg limita
l'accuratezza della simultanea determinazione di altre coppie di variabili (chiamate coniugate o
complementari) quali, in particolare, le componenti dei momenti angolari (non commutano tra
loro). Dalla Meccanica Classica risulta, inoltre, che un elettrone in moto attorno ad un nucleo
genera una corrente e quindi un momento magnetico orbitale. Anche questa grandezza risulta
quantizzata (Stern-Gerlach). Alcuni esperimenti e il lavoro di Dirac mostrarono e giustificarono
l'esistenza di una nuova grandezza fisica simile ad un intrinseco momento magnetico delle
particelle (anche quelle non cariche elettricamente), che non ha un completo corrispettivo in
meccanica classica (movimento attorno al proprio asse di una trottola carica, come analogia
incompleta), chiamata spin. Tutte le particelle si possono suddividere in due grandi categorie:
particelle con spin frazionario (elettrone S = ± h / 2 ) chiamati fermioni e particelle con spin nullo o
intero (fotone S = 0 ), chiamati bosoni. Il Principio di Esclusione di Pauli stabilisce che un
determinato stato può essere occupato da un solo fermione.
2. Leggi fondamentali
Di seguito una breve descrizione delle principali leggi fisiche e matematiche utilizzate.
2.1. Modello classico dell'atomo ad un solo elettrone orbita circolare
Consideriamo un atomo costituito da un nucleo con carica elettrica ' Ze ' (in prima approssimazione
di massa infinita in modo che solo l'elettrone si muova) dove Z è il numero di protoni ed ' e ' è la
carica di un elettrone. Un solo elettrone orbita lungo una circonferenza (per semplicità, ma si
possono considerare anche orbite ellittiche) attorno al nucleo stesso. Per l'equilibrio dinamico
newtoniano, considerando la forza di Coloumb come forza centripeta:
Ze 2
v2
=
m
e
r
(4πε 0 )r 2
(1)
Dove ε 0 è la costante dielettrica del vuoto; m e , v ed r sono, rispettivamente, la massa, la velocità
dell'elettrone e il raggio della sua orbita. Dall'elettromagnetismo classico, l'elettrone accelerato
perde energia. Di conseguenza i raggi delle orbite diminuirebbero fin quando l'elettrone non cade
nel nucleo, determinando l'assurdo della non esistenza di atomi stabili. Bohr ipotizzò che l'elettrone
su determinate orbite sia stabile e non irraggi. Come risultato un atomo di questo tipo può esistere
solo in stati di energia E1 , E 2 , E 3 ...
m
En = − 2
2h
2
 Ze 2  1


 4πε  n 2
0


(somma dell'energia potenziale
coloumbiana e dell'energia cinetica dell'elettrone). Bohr postulò anche la quantizzazione del
momento angolare orbitale (orbita circolare):
L = mvr = nh
n = 1,2,3,.....
(2)
In questo modo riuscì a spiegare in modo qualitativo ed in alcuni casi anche quantitativo le righe
spettrali degli elementi. Tuttavia, discrepanze con le misure sperimentali dei valori calcolati delle
righe spettrali e le considerazioni discusse nel paragrafo precedente, hanno condotto ad elaborare, in
particolare la Meccanica Quantistica Ondulatoria.
2.2. Principali leggi della Meccanica Quantistica Ondulatoria
Einstein per spiegare l'effetto fotoelettrico, utilizzando l'ipotesi di Planck sull'emissione e
sull'assorbimento del corpo nero, introdusse l'ipotesi che la luce sia costituita da particelle chiamate
fotoni, ai quali, però, è associata un' energia che dipende dalle caratteristiche ondulatorie della luce
stessa:
E = hν =
h
c
λ
(3)
Essendo ν la frequenza associata al fotone (che determina anche il colore della luce stessa), c la
velocità della luce nel vuoto e λ la corrispondente lunghezza d'onda del fotone.
de Broglie estese la dualità onda-corpuscolo a tutta la materia non solo ai fotoni di luce, associando
ad ogni particella con quantità di moto pari a mv la seguente lunghezza d'onda:
λ=
h
mv
(4)
Heisemberg dedusse il Principio di Indeterminazione:
∆x ⋅ ∆p x ≥ h ; ∆y ⋅ ∆p y ≥ h ; ∆z ⋅ ∆p z ≥ h
(5)
Ossia il prodotto delle indeterminazioni della posizione e della corrispondente componente della
quantità di moto non è mai zero ma al limite è comparabile con il valore di h : le traiettorie non
possono essere determinate esattamente come indica la seconda legge della dinamica: a = F / m .
Le componenti dei momenti angolari, l'energia posseduta da una particella e l'associato intervallo
temporale, soddisfano lo stesso principio. Grandezze fisiche come posizione nello spazio, quantità
di moto, energia, momenti angolari sono sostituiti da operatori matematici il cui prodotto
(assimilabile al prodotto algebrico) non è sempre commutativo.
Tutte le informazioni, inclusa la probabilità di trovare l'elettrone in una certa regione dello spazio,
ottenibili o direttamente misurabili sono contenute nella soluzione ψ( x ) dell'equazione di
Schrödinger e nei suoi auto-valori che formano un insieme discreto.
3) Regole per costruzione della configurazione elettronica di un atomo
Dalla discussione riportata nei paragrafi precedenti, risulta in generale:
a) l'elettrone si comporta come un'onda stazionaria;
b) le orbite della meccanica classica sono sostituite dagli Orbitali, che non rappresentano dei
cammini specifici, ma piuttosto delle probabilità di individuare l'elettrone in un determinato
volume intorno al nucleo;
c) per definire completamente la Funzione d'Onda, sono necessari quattro numeri quantici (a
differenza del modello di Bohr con orbite sferiche per il quale è sufficiente un unico numero
quantico n):
c.1) numero quantico principale n = 1,2,3..... , indica il livello principale dell'energia
dell'orbitale; può assumere valori interi positivi come per il modello di Bohr;
c.2) numero quantico secondario l = 0,1,2,... (n- 1 ); indica una diversa forma dell'orbitale,
associati solitamente ad una lettera: s, p, d, f.
c.3) numero quantico magnetico ml = - l, (- l +1 ), (- l +2 ),….. 0 , 1 , 2 ,…...(l −1 ), + l; è
correlato all'orientazione nello spazio degli orbitali la cui forma è definita dal numero l;
la sua quantizzazione deriva dalla necessità che l'onda associata all'elettrone sia
stazionaria e di conseguenza individua quali orbitali di ciascun tipo possono esistere;
c.4) numero quantico magnetico di spin dell'elettrone ms = ±1 / 2 ; determina il modo in cui
gli atomi con elettroni spaiati si allineano rispetto alle linee di forza di un campo
magnetico: parallelo (+) o antiparallelo (-).
Schema 1
energia
3.1. Atomo idrogenoide ad un solo elettrone
Gli Schemi 2 e 3 sono relativi all'atomo di idrogeno ad un unico elettrone. Nel primo è riportata la
distribuzione dei livelli energetici degli orbitali, nel caso in cui l'elettrone fosse energeticamente
eccitato (effetto fotoelettrico, urti e quindi gas caldi, etc.), mentre nel secondo, è riportata la
configurazione dei possibili orbitali, con la loro descrizione qualitativa, considerando i primi tre
numeri quantici e i primi tre livelli energetici.
4s
4p
4p
4p
3s
3p
3p
3p
2s
2p
2p
2p
(5 orbitali)
(7 orbitali)
-----
------4f
4d
3d
3d 3d
1s
Schema 2
3d 3d
z
n = 1 ⇒ l = 0 ⇒ ml = 0 l'orbitale è distribuito
simmetricamente; 1s
y
x
z
0 ⇒

n= 2 ⇒ l = 
1 ⇒

ml = 0
−1

ml =  0
+1

⇒
⇒
⇒
2pz
⇒
2py
2s
2px
y
x z
y
x
z
y
x
z
y
x
z
y
0 ⇒


n = 3 ⇒ l = 1 ⇒


2
ml = 0
⇒
−1 ⇒

ml =  0 ⇒
+1 ⇒

− 2


 −1



ml =  0


+1


+ 2
3s
3 px
3 pz
3py
⇒
3d x 2 − y 2
⇒
3d xz
⇒
3d z 2
x
z
y
x z
y
x
z
y
x
z
⇒
3d yz
⇒
3d x 2 − y 2
y
x
z
y
x
z
y
x
z
y
x
z
y
x
Schema 3
3.2. Atomo a molti elettroni
In atomi a molti elettroni occorre considerare:
• l'energia cinetica degli elettroni e la loro energia potenziale nel campo (attrattivo) del nucleo
positivo;
• la repulsione elettrostatica tra gli elettroni;
• le interazioni magnetiche degli spins elettronici con i loro moti orbitali (interazioni spinorbita);
• diverse altre interazioni (spin-spin, correzione radiativa e correzione per la presenza del
nucleo di massa finita ed esteso, correzioni relativistiche, etc…)
• per il Principio di esclusione di Pauli, i quattro numeri quantici relativi a qualunque due
elettroni (fermioni) vincolati attorno al nucleo atomico non possono essere uguali.
Non esiste un approccio analitico per risolvere il problema. Pertanto, sono stati proposti diversi
metodi di approssimazione (Approssimazione del Campo Centrale, Determinanti di Slater, ThomasFermi, Hartree-Fock, etc…). Si ottengono delle forme di Funzioni d'Onda diverse da quelle
ottenute per atomi idrogenoidi.
Come risultato, i sottolivelli all'interno di un livello principale non possiedono la stessa energia.
Inoltre, in atomi diversi dall'atomo d'idrogeno, l'ordine energetico non è determinato solo dal
numero quantico principale. Gli elettroni si distribuiscono negli orbitali in modo da minimizzare
l'energia totale dell'atomo. Nello Schema 4 le frecce indicano le modalità di riempimento degli
orbitali da parte degli elettroni, mentre lo Schema 5 riporta qualitativamente la nuova distribuzione
dei livelli energetici.
1s
2s
2p
3s
3p
3d
4s
4p
4d
4f
5s
5p
5d
5f
6s
6p
6d
7s
Schema 4
4d 4d 4d
4d 4d
5s
4p
4p
4p
3d 3d 3d 3d
3d
energia
4s
3p
3p
3p
2p
2p
2p
3s
2s
1s
Schema 5
Per il Principio di Pauli, ciascun orbitale può essere riempito da soli due elettroni con spin di verso
opposto. Nello Schema 6 si riporta l'esempio del Gallio e la modalità di riempimento di ciascun
orbitale per la costruzione della configurazione elettronica di un atomo.
[Ga](31): 1s 2 2 s 2 2 p 6 3s 2 3 p 6 4 s 2 3d 10 4 p1
1s 2
2s 2
2 p6
3s 2
3 p6
4s 2
3d 10
4 p1
Schema 6
Una ulteriore regola è quella di Hund: nel riempire gli orbitali di uguale energia, gli elettroni si
collocano inizialmente con spin paralleli, uno per ogni orbitale, come per esempio nell'atomo di
Azoto (N), Scema 7.
[N](7): 1s 2 2 s 2 2 p 3
1s 2
2s 2
2 p3
Schema 7
Infine, si accenna alla possibilità che gli orbitali di uno stesso atomo si combinino tra loro
generando degli Orbitali Ibridi.