Astronomia Lezione 29/10/2012

Astronomia
Lezione 9/11/2012
Docente: Alessandro Melchiorri
e.mail:[email protected]
Sito web per slides lezioni: oberon.roma1.infn.it:/alessandro/astro2012/
Le lezioni astronomia012_*.pdf sono quelle di quest’anno !
astronomia_*.pdf sono dell’anno scorso.
Libri di testo consigliati:
-
An introduction to modern astrophysics B. W. Carroll, D. A. Ostlie, Addison Wesley
-
Astronomy: A physical perspective, Marc L. Kutner, Cambridge University Press.
-
Fundamental Astronomy, Karttunen e altri, Springer
-
Elementi di Astronomia, P. Giannone.
Cosa possiamo imparare sulle stelle dai loro spettri ?
Qui no
c’e’ assorbimento
da parte
dell’atmosfera
stellare
Qui le stelle seguono
un corpo nero in modo
quasi perfetto
Classificazione spettrale delle stelle
Classificazione di Harvard
Quindi, riassumendo le stelle possono essere classificate in base alle loro righe di assorbimento.
Queste righe, come vedremo, dipendono per lo più dalla temperatura superficiale della stella
e non dalla abbondanza dell’elemento. Quindi la classificazione spettrale e’ essenzialmente
una classificazione in base alla temperatura dell’atmosfera stellare.
Notiamo che la misura delle righe fornisce un metodo alternativo a quello del corpo nero alla
misura della temperatura superficiale stellare. E’ anche maggiormente usato perché più
accurato (molte stelle sono solo approssimativamente corpi neri).
Altri spettri: notare come il picco di corpo nero si sposti verso frequenze minori diminuendo
La classe. Le righe dell’idrogeno della serie di Balmer (656.2 nm, 486.1 nm, 434.0 nm, 410.2 nm)
incrementano da O a A e poi decrescono. Gli spettri per ultimi tipi (K) hanno righe un po’
Dovunque caratteristiche della presenza di molecole.
Perche’ ho questa variazione nelle righe ? Non dipende da una diversa composizione delle
stelle perche’ queste hanno piu’ o meno le stesse quantita’ di elementi (chiaramente
In prima approssimazione).
Spiegazione fisica dell’andamento delle righe
Per farlo e’ necessario ricorrere alla meccanica statistica. Vale a dire non possiamo
seguire l’andamento di ciascuna particella di un gas ma possiamo determinare alcune
proprieta’ del gas nel suo insieme come pressione, densita’ e temperatura.
Dato un gas in equilibrio termico si ha la distribuzione di velocita’ di Maxwell-Boltzmann che
fornisce la densita’ di particelle per unita’ di volume aventi velocita’ nell’intervallo
v e v+dv per un gas di particelle di massa m alla temperatura T:
Distribuzione di Maxwell-Boltzmann
Ha un picco (velocita’ di massima
probabilita’ vmp) per:
ma la distribuzione non e’ simmetrica
Intorno a vmp e quindi ha una valore
quadratico medio pari a:
Atomo di Bohr
Fin qui niente di strano ma Bohr quantizza il momento angolare:
riscrivendo la formula per l’energia:
Possiamo risolvere per il raggio orbitale che risulta anch’esso quantizzato:
Solo multipli del raggio di Bohr:
Ad ogni orbita corrisponde una energia:
Se un fotone viene assorbito questo corrisponde ad una transizione ad un’orbita maggiore.
La conservazione dell’energia stabilisce che:
Atomo di Bohr
Eccitazione, Diseccitazione, Ionizzazione e Ricombinazione
Quando un elettrone salta da un livello a bassa energia ad uno ad energia piu’ elevata (da piccoli
n a grandi n), l’atomo si dice essere eccitato ed il processo e’ chiamato eccitazione.
Dell’energia deve essere ceduta all’atomo perche’ avvenga questo salto tra orbite.
Vi sono due vie perche’ l’atomo venga eccitato:
1- Se l’atomo subisce una collisione questo puo’ causare che un elettrone salti da uno stato ad
energia piu’ bassa ad uno ad energia piu’ alta. Questo processo e’ chiamato eccitazione
collisionale.
2- Se un elettrone cattura un fotone di energia hn corrispondente alla differenza tra due livelli
energetici e quindi salta da uno stato ad energia piu’ bassa ad uno ad energia piu’ alta. Questo
processo e’ chiamato eccitazione radiativa.
Analogamente ci sono anche I due processi inversi di diseccitazione collisionale e diseccitazione
radiativa. Nell’ultimo caso vi e’ una transizione spontanea, cioe’ senza intervento esterno.
Oltre a questi processi c’e’ la possibilita’ che l’elettrone salti completamente fuori dall’atomo
(ionizzazione) o che un elettrone libero venga catturato in un livello energetico
(ricombinazione).
Righe Spettrali: Serie di Balmer e Ionizzazione
La serie di Balmer e’ costituita da transizioni da/verso il livello n=2 dell’atomo di idrogeno
neutro. Ci aspettiamo che le righe di Balmer nello spettro siano piu’ evidenti quando una
grande quantita’ di atomi hanno elettroni nel livello 2. Questo avviene se abbiamo una
temperatura elevata del gas. D’altra parte se la temperatura e’ troppo elevata l’atomo puo’
rimanere ionizzato.
Richiamiamo la seguente notazione di ionizzazione:
H I = Idrogeno
H II = Idrogeno ionizzato
He I = Elio neutro
He II = Elio ionizzato una volta
He III = Elio ionizzato due volte.
Questi sono chiamati livelli di ionizzazione.
Per capire l’andamento della profondita’ delle righe in funzione della temperatura dobbiamo
rispondere alle seguenti domande:
- Come la popolazione dei livelli dipende da T ?
- Come la ionizzazione dipende da T ?
Distribuzione di Maxwell-Boltzmann
Ha un picco (velocita’ di massima
probabilita’ vmp) per:
ma la distribuzione non e’ simmetrica
Intorno a vmp e quindi ha una valore
quadratico medio pari a:
Equazione di Boltzmann
Quando gli atomi collidono, I loro elettroni possono trasferirsi a livelli energetici piu’
alti se gli atomi in collisione hanno sufficiente energia (eccitazione collisionale).
L’elettrone puo’ anche essere completamene strappato (ionizzazione).
Guardando al problema da un punto di vista statistico, la probabilita che un atomo sia
In uno stato energetico sa e’ proporzionale a:
Mentre allo stesso modo la probabilita’ di uno stato sb:
Dove Ea ed Eb sono le energie degli stati (ad esempio E=-13.6 eV per il livello base
dell’atomo di idrogeno). Il rapporto tra queste probabilita’ e’ dato da:
Equazione di Boltzmann
Il termine esponenziale e’ detto fattore di Boltzmann.
Ora supponiamo che Eb>Ea.
Per temperature molto basse (T che tende a zero) l’esponenziale tende a zero perche’
l’esponente tende a meno infinito.
Quindi gli stati ad energie superiori tendono ad essere meno popolati rispetto agli stati
ad energie inferiori.
Per temperature molto alte abbiamo che la probabilita’ tende a 1.
Quindi tutti gli stati sono ugualmente popolati.
Stati Quantistici e Degenerazioni
E’ importante pero’ notare che ad uno stesso
Livello energetico possono corrispondere
Piu’ stati quantistici.
Ad esempio, nell’orbita fondamentale dell’atomo
di idrogeno io posso avere due gradi di liberta’
dovuti allo spin.
Nel caso con n=2 io posso avere ancora piu’
stati quantistici considerando il numero
quantico orbitale l (che va da 0 a n-1), il
numero quantico magnetico (che va da –l a l)
e lo spin.
Se non ci sono campi magnetici (non c’e’
Effetto Zeeman) questi hanno tutti la stessa
Energia. Per l’atomo di idrogeno ho che per
un valore di energia n ho 2n^2 stati con la
stessa energia.
Equazione di Boltzmann
Dobbiamo quindi tener conto delle degenerazioni quando vogliamo sapere quando
confrontiamo la probabilita di avere un certo livello energetico invece di uno stato
quantistico. Quindi contiamo le degenerazioni in un numero g che conta i gradi di
liberta’ :
Dato che il numero di atomi N ad un dato livello energetico e’ proporzionale alla
probabilita’ abbiamo l’equazione di Boltzmann:
Enorme !!!!
Se usiamo questa formula pero’ sembra che il livello di Balmer e’ popolato per
temperature sempre piu’ elevate. Come mai non osserviamo pero’ le righe dell’idrogeno
nelle stelle piu’ calde di classe O ?
Dobbiamo considerare anche la ionizzazione.
Equazione di Saha
Per avere un elettrone nell’atomo di Idrogeno al livello 2 e necessaria una collisione
con almeno 10.2 eV di energia. D’altra parte, una volta che stiamo a livello 2, bastano
3.4 eV di energia per rimuoverlo completamente dall’atomo. Quindi il primo stato
eccitato e’ una posizione assai precaria per l’elettrone !
Il vero numero di atomi a livello 2 sara’ quindi un bilancio tra le collisioni che eccitano
l’atomo e le collisioni che lo ionizzano.
Definiamo come ci il potenziale di ionizzazione per il livello i-simo. Questa e’ la quantita’
di energia necessaria per rimuovere un elettrone dal suo stato fondamentale.
Per lo stato H I, ad esempio, e’ 13.6 eV. Per lo stato He I e’ 24.6 ev, mentre per He II
e’ 54.4 eV . Possiamo assumere che il numero di atomi in un certo stato di ionizzazione
rispetto ad un altro sia dato da:
Equazione di Saha
Dobbiamo pero’ tener conto che la ionizzazione puo’ avvenire a partire da diversi
livelli energetici (non solo da quello fondamentale !).
Si introduce quindi la funzione di partizione Z:
Tenendo conto di questo la formula corretta e’ l’equazione di Saha:
Esempio: calcolo per l’idrogeno
Funzione di partizione:
Per l’idrogeno ionizzato H II (protone) si ha (nessuna degenerazione):
Z II  1

Z I   2n e
Si ha:
2 13.6 eV (1 / n 2 1) / kT
n 1
Se quindi consideriamo temperature intorno intorno ai 10000 K allora l’unico
termine che sopravvive nella somma ha n=1, dato che E2-E1=10.2 eV quindi:
ZI  2
Esempio: calcolo per l’idrogeno
L’equazione di Saha:
Per l’idrogeno ionizzato diventa:
N II
2  2me kT 



2
N I 2ne  h

3/ 2
e
13.6 eV
kT
kT  2me kT 



2
Pe  h

N II
N II
N II / N I


N Tot N II  N I N II / N I  1
3/ 2
e
13.6 eV
kT
Esempio: calcolo per la serie di Balmer
Boltzmann:
Per l’idrogeno abbiamo tra n=2 e n=1:

N 2 22  13.6 eV 1/ 41/ kT

e
 4e
2
N1 21
2
N2
N2
N 2 / N1


N Tot N1  N 2 1  N 2 / N1
10.2 eV
kT
Esempio: calcolo per la serie di Balmer
Per sapere quanti atomi di idrogeno ho in n=2 dovro’ considerare:
N2
N2 NI
N2
NI


N Tot N I N Tot N1  N 2 N I  N II
Saha
Boltzmann
Esempio: stimare la profondita’ relativa delle righe nel Sole
per l’Idrogeno e il Calcio
Temperatura e pressione elettronica nel Sole:
Te  5777 K
N
Pe  1.5 2
m
Con questi parametri si ha:
Vale a dire che tutto l’idrogeno e’ NEUTRO e che pochissimo idrogeno e’ eccitato a
n=2.
Esempio: stimare la profondita’ relativa delle righe nel Sole
per l’Idrogeno e il Calcio
Il Calcio ha una energia di ionizzazione di 6.11 eV. Questo cambia moltissimo le cose
Perche’ a T=5777 K si ha (le funzioni di partizione sono tabulate):
Quindi tutto il Calcio e’ ionizzato. Consideriamo quanti sono al livello fondamentale,
Che appunto produce le righe di assorbimento K e H del Ca II.
Considerando solo la riga K a 393.3 nm (la trattazione per H a 396.8 nm e’ molto simile),
si ha che il primo stato eccitato necessita di 3.12 eV.
Si ha quindi:
Vale a dire buona parte del Ca II e’ allo stato fondamentale.
Esempio: stimare la profondita’ relativa delle righe nel Sole
per l’Idrogeno e il Calcio
In pratica nella atmosfera del Sole tutto il calcio e’ ionizzato e si trova al livello
Fondamentale. Quindi e’ tutto disponibile per assorbire le righe H e K.
Nell’atmosfera del Sole abbiamo 500.000 atomi di Idrogeno ogni singolo atomo di
Calcio. Tuttavia le righe H e K del Calcio sono molto piu’ evidenti perche tutto
l’Idrogeno e’ neutro nello stato fondamentale e quindi non assorbe come Balmer.
Altri spettri: notare come il picco di corpo nero si sposti verso frequenze minori diminuendo
La classe. Le righe dell’idrogeno della serie di Balmer (656.2 nm, 486.1 nm, 434.0 nm, 410.2 nm)
incrementano da O a A e poi decrescono. Gli spettri per ultimi tipi (K) hanno righe un po’
Dovunque caratteristiche della presenza di molecole.