Domande e problemi

Domande e problemi
1) Perché nella trattazione dell’atomo a un elettrone vengono fuori tre numeri quantici?
2) Come sarebbero le funzioni d’onda angolari se il potenziale V fosse radiale ma non andasse
come 1/r? Come ci aspettiamo che cambi la degenerazione dei livelli rispetto al caso dell’atomo
di idrogeno?
3) Si spieghi perché * è molto piccolo vicino a r=0 a meno che =0
4) Stimare la dimensione dell’atomo di idrogeno nello stato fondamentale e la sua energia dal
principio di indeterminazione e confrontare il risultato con quello ottenuto dall’equazione di
Shroedinger.
5) Determinare il valore di aspettazione di r e il valore più probabile di r nello stato n=2 =1
dell’atomo di idrogeno.
6) Si calcolino le energie dei livelli n=1, 2, 3 nel caso nel caso di atomi di H, D, He+
7) Il muone - ha carica –e e massa m=207me. Calcolare i livelli energetici del sistema muone
protone (- p+) e il raggio dell’orbita (definito distanza in cui la probabilità di trovare il muone è
massima). Si consideri poi il sistema formato da un nucleo di carica Ze e massa A=2Z u.m.a ed
un muone - . Sapendo che il raggio del nucleo è dato da RN=R0A1/3 con R0= 1.210-13 cm,
stimare il valore di Z per il quale l’orbita del - sarà interna al nucleo.
8) Calcolare la correzione al primo ordine da apportare all’energia del livello fondamentale di un
atomo idrogenoide tenendo conto delle dimensioni finite del nucleo approssimato come una
sfera uniformemente carica di raggio RN=R0(2Z)1/3 con R0=1.210-13 cm.
9) Ogni regione dello spazio in cui l’energia cinetica di una particella dovrebbe diventare negativa
è vietato nel caso classico. Per l’atomo di idrogeno nello stato fondamentale E1s=-13.6 eV
a) determinare la regione classicamente proibita
b) usando la funzione d’onda dello stato fondamentale 1s(r) calcolare la probabilità di trovare
un elettrone in questa regione.
10) Si consideri un atomo di idrogeno la cui funzione d’onda al tempo t=0 è data da una
sovrapposizione di autostati nlm
1
(r,t=0)=
(2100-3200+322)
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a) è questa funzione un autostato dell’operatore di parità?
b) Quale è la probabilità di trovare il sistema nello stato 100, nello stato 200, nello stato 322?
In un altro autostato?
c) Quale è il valore di aspettazione dell’energia? Dell’operatore L2? Di Lz?
11) Calcolare il valore di aspettazione <V> dell’energia potenziale nello stato fondamentale
dell’atomo di idrogeno e mostrare che E=<V>/2 dove E è l’energia totale. Si usi la relazione
E=K+V per calcolare il valore di aspettazione <K> dell’energia cinetica nello stato
fondamentale e mostrare che <K>=-<V>/2. Queste relazioni valgono per qualunque stato n  m
e sono note come teorema del viriale.
12) Si dimostri nel caso di =2, che la somma m=-| Ym(,)|2 ha simmetria sferica.