Il lavoro del campo elettrico

Mathesis Roma 16 marzo 2016
Proposta di soluzione di Adriana Lanza
Il lavoro del Campo elettrico
Obiettivi
 Confrontare l’espressione classica dell’energia con quella relativistica
 Riconoscere la validità del principio di conservazione dell’Energia anche in ambito relativistico
 Passare dal registro grafico a quello analitico e viceversa
Qual è l’energia cinetica acquistata da una particella carica q , che parte dalla quiete in un campo elettrico
uniforme, quando si muove attraverso una d.d.p. ?
a)Se la particella è un elettrone e
, quale sarà il valore dell’energia cinetica dell’elettrone e
della sua velocità secondo la Fisica classica? E secondo la Relatività?
b) Nella figura seguente sono messi a confronto l’andamento del quadrato della velocità in funzione
dell’energia cinetica , secondo le previsioni della Fisica classica e della Fisica relativistica.
Sono riportati anche i dati sperimentali di un esperimento classico (MIT 1963)
Si commentino i due grafici.
Soluzione
Fisica classica
Mathesis Roma 16 marzo 2016
Proposta di soluzione di Adriana Lanza
Supponiamo che un elettrone , la cui carica è q= quella positiva B di un condensatore in cui la d.d.p =
, si muova dalla lastra negativa A a
Il lavoro del campo elettrico è positivo ed è uguale a
potenziale dell’elettrone.
essendo U l’energia
Essendo il campo elettrico conservativo, il lavoro L
su una carica q è sempre uguale alla
diminuzione di energia potenziale e all’aumento di energia cinetica della particella
se la particella parte dalla quiete
Se =
e q= -
allora
=
Relatività
E’ sempre valido il Principio di conservazione dell’Energia ma abbiamo una nuova espressione per l’energia
cinetica
b) Nell’ambito della Fisica classica la relazione tra l’energia cinetica e il quadrato della velocità è di tipo
lineare
essendo m costante
Nell’ambito della Relatività speciale si ha
Posto
la funzione
è definita per x<1,
Il suo grafico passa per l’origine degli assi , è crescente e ammette la retta x=1 come asintoto verticale.
Il grafico della funzione inversa ammette invece un asintoto orizzontale .
Mathesis Roma 16 marzo 2016
Proposta di soluzione di Adriana Lanza
Al crescere di K i valori della velocità crescono sempre più lentamente e il rapporto
tende
asintoticamente al valore 1.
Questi risultati sono coerenti con l’esistenza di una velocità limite, la velocità della luce.
Per valori bassi della velocità v ( nel grafico circa c/2) i due grafici possono essere considerati coincidenti,
cioè le formule della Meccanica classica ben approssimano quelle della Meccanica relativistica.
Per valori alti di v i grafici si discostano e i valori sperimentali sono vicini a quelli della formula relativistica
La relazione
non può essere valida in ambito relativistico.
A l crescere dell’energia, cioè della d.d.p . del campo elettrico che accelera le particelle, non si può avere
un aumento indefinito della velocità.
La relazione
dove
può essere interpretata nel modo seguente
è l’energia a riposo della particella, legata al valore della massa a riposo
.
Ricevendo energia dall’esterno, l’ energia totale della particella diventa
L’incremento di energia comporta un aumento dell’energia cinetica ma anche della massa e quindi
dell’inerzia della particella la cui velocità pertanto non può crescere indefinitamente.