elettrostatica – esercizio n. 1 - Digilander

elettrostatica – esercizio n. 1
Tre cariche uguali, q = 0,2 C, si trovano ai vertici di un triangolo equilatero ABC di
lato L = 15 cm. Calcolare:
a. Il campo elettrico in M, punto medio di AB.
b. La d.d.p. tra M e D (punto simmetrico di C rispetto ad AB nel piano del triangolo).
c. L’energia cinetica, acquistata in M da un elettrone che parte da D, con velocità
iniziale nulla ( e = 1,6·10–9 C).
R.: 1,07·1011 V/m ; 3,09·1010 V ; 4,24·10–9 J ;
A
C
M
D
B
a. Calcolo del campo elettrico in M, punto medio di AB.
Poiché le cariche poste in A ed in B hanno lo stesso valore e poiché il punto M è mediano
tra A e B, allora il campo elettrico generato in M dalla carica posta in A sarà uguale in
modulo, ma di verso opposto, al campo elettrico generato in M dalla carica posta in B.
Il valore del campo elettrico presente nel punto M sarà pertanto generato dalla sola carica
posta in C.
EC = k ⋅
q
2
CM
=k⋅
q
0,2
V
= 8,99 ⋅ 109 ⋅
= 1,07 ⋅ 1011
2
2
−2
(L ⋅ sen 60°)
(15 ⋅ 10 ⋅ sen 60°)
m
b. Calcolo della d.d.p. tra M e D.
c.
⎡ ⎛ q
q
q
q
⎞⎤ ⎡ ⎛ q q
⎞⎤
+
+
− ⎢k ⋅ ⎜ + +
VMD = VM − VD = ⎢k ⋅ ⎜
⎟
⎟⎥ =
⎥
⎣ ⎝ L / 2 L / 2 L ⋅ sen 60° ⎠ ⎦ ⎣ ⎝ L L 2 ⋅ L ⋅ sen 60° ⎠ ⎦
⎡k ⋅ q ⎛
2 ⎞⎤ ⎡ k ⋅ q ⎛
1 ⎞⎤ k ⋅ q ⎛
2
1 ⎞ k ⋅q ⎛
1 ⎞
=⎢
⋅⎜2 + 2 +
⋅ ⎜1+ 1+
⋅⎜4 +
−2−
=
⋅⎜2 +
⎥−⎢
⎥=
⎟
⎟
⎟
⎟=
L ⎝
L ⎝
3 ⎠⎦ ⎣ L ⎝
3 ⎠⎦
3
3⎠
3⎠
⎣ L ⎝
8,99 ⋅ 109 ⋅ 0,2 ⎛
1 ⎞
= 3,09 ⋅ 1010 V
=
⋅⎜2 +
⎟
−2
15 ⋅ 10
3⎠
⎝
c. Calcolo dell’energia cinetica, acquistata in M da un elettrone che parte da D, con
velocità iniziale nulla ( e = 1,6·10–9 C).
Ricordiamo che in ogni punto del campo, per qualsiasi carica in esso presente, l’energia
totale (somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale) deve rimanere costante,
pertanto si avrà:
Nel punto D:
Utotale D = Upotenziale D + Ucinetica D = e ⋅ VD + 0 = e ⋅ VD
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elettrostatica – esercizio n. 1
Nel punto M:
Utotale M = Upotenziale M + Ucinetica M = e ⋅ VM + Ucinetica M
Dall’eguaglianza tra le due si ha:
Utotale D = Utotale M
e ⋅ VD = e ⋅ VM + Ucinetica M
Ucinetica M = e ⋅ VM − e ⋅ VM = e ⋅ (VM − VD ) = 1,6 ⋅ 10−19 ⋅ 3,09 ⋅ 1010 = 4,94 ⋅ 10 −9 J
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