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s Trigonometriali di una variabile reale
s Funzioni rea binatorio
s Calcolo com li di due o più variabili reali
s Funzioni rea probabilità e statistica
s Calcolo delle
SIMONE
EDIZIONI
Estratto della pubblicazione
Š
Gruppo Editoriale Esselibri - Simone
Copyright © 2007 Esselibri S.p.A.
Via F. Russo 33/D
80123 Napoli
Tutti i diritti riservati
È vietata la riproduzione anche parziale
e con qualsiasi mezzo senza l’autorizzazione
scritta dell’editore.
Per citazioni e illustrazioni di competenza altrui, riprodotte in questo libro,
l’editore è a disposizione degli aventi diritto. L’editore provvederà, altresì, alle
opportune correzioni nel caso di errori e/o omissioni a seguito della segnalazione degli interessati.
Prima edizione: ottobre 2007
PK21/2 - Prontuario di matematica… in tasca
ISBN 978-88-244-7166-4
Ristampe
8 7 6 5 4 3 2 1
2007
2008
2009
2010
Questo volume è stato stampato presso
Officina Grafica Iride
Via Prov.le Arzano-Casandrino, VII Trav., 24 - Arzano (NA)
Per informazioni, suggerimenti, proposte: [email protected]
Redazione:
Carla Iodice
Grafica e copertina:
Gianfranco De Angelis
Impaginazione e grafici:
Raffaella Molino
Presentazione
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Il Prontuario di matematica, destinato agli studenti degli istituti di
istruzione secondaria e a coloro che si preparano per la prova di maturità o per gli esami di Analisi matematica, contiene, non solo formule, grafici e tabelle, ma anche enunciati e teoremi. Il testo può, pertanto, essere utilizzato come:
— ripasso veloce della teoria;
— formulario di immediata consultazione nello svolgimento degli
esercizi.
Il volume si articola nelle seguenti parti:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Algebra
Geometria elementare
Geometria analitica
Trigonometria
Funzioni reali di una variabile reale
Calcolo combinatorio
Funzioni reali di due o più variabili reali
Calcolo delle probabilità e statistica
Per approfondire gli argomenti trattati nel Prontuario, consigliamo ai
lettori interessati la consultazione dei seguenti titoli editi dalla nostra
Casa editrice:
—
—
—
—
Matematica... in tasca.
Esercizi svolti di Analisi matematica... in tasca.
Geometria... in tasca (in preparazione).
Statistica... in tasca.
ALFABETO GRECO
Α
Β
Γ
Δ
Ε
Ζ
Η
Θ
α
β
γ
δ
ε
ζ
η
θϑ
alfa
beta
gamma
delta
epsilon
zeta
eta
theta
Ι
Κ
Λ
Μ
Ν
Ξ
Ο
Π
ι
κ
λ
μ
ν
ξ
ο
π
iota
kappa
lambda
mi
ni
xi
òmicron
pi
Ρ
Σ
Τ
Υ
Φ
Χ
Ψ
Ω
ρ
σ
τ
υ
ϕφ
χ
ψ
ω
rho
sigma
tau
ipsilon
phi
chi
psi
òmega
INDICE DEI SIMBOLI
>
<
≥
≤
≠
≅
±
∞
→
∃
∀
∈
∉
∅
∪
∩
⊂
⊆
⊄
⇒
⇔
N
Z
maggiore
minore
maggiore o uguale
minore o uguale
diverso da
circa uguale a
più o meno
infinito
tende a
esiste
per ogni
appartiene
non appartiene
insieme vuoto
unione tra insiemi
intersezione tra insiemi
sottoinsieme proprio
sottoinsieme
non è sottoinsieme
implicazione
doppia implicazione
insieme dei numeri naturali
insieme dei numeri relativi
Q
R
C
N\{0}
Z\{0}
R\{0}
n!
log (
ln (
e
lim
)
insieme dei numeri razionali
insieme dei numeri reali
insieme dei numeri complessi
insieme dei numeri naturali escluso lo 0
insieme dei numeri relativi escluso lo 0
insieme dei numeri reali escluso lo 0
n fattoriale
) logaritmo decimale
( )
f′ x
logaritmo neperiano
numero di Nepero
limite
derivata
∫
integrale
∑
sommatoria
Π
produttoria
{a }
successione
an
senα
cosα
tanα
cotanα
termine generico della successione
seno dell’angolo α
coseno dell’angolo α
tangente dell’angolo α
cotangente dell’angolo α
n
Estratto della pubblicazione
PARTE PRIMA
Algebra
1. Insiemistica
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
1) Insiemi
Quello di insieme è un concetto intuitivo basato su un processo mentale di astrazione che consiste nel pensare più oggetti o elementi in
un’unica entità, per cui ogni insieme è costituito da elementi per i
quali deve essere sempre possibile stabilire se appartengono o no
all’insieme considerato.
Generalmente, gli insiemi sono indicati con le lettere latine maiuscole
(A, B, C, …, X, Y, Z), mentre gli elementi sono indicati con le lettere
latine minuscole (a, b, c, …, x, y, z).
Simbologia
x ∈ A; x appartiene ad A
x ∉ A; x non appartiene ad A
Un insieme costituito dagli elementi a, b, c, …, è indicato con:
{a, b, c, …}
1.1 Nozione di uguaglianza
Se due elementi a e b di un insieme sono uguali si scrive:
a=b
1. Insiemistica
Se due insiemi A e B sono uguali si scrive:
A=B
5
Se i due elementi a e b non sono uguali si scrive:
a ≠b
Se due insiemi A e B non sono uguali si scrive:
A ≠B
1.2 Nozione d’inclusione
Siano A e B due insiemi, se ogni elemento di A è anche elemento di
B, si dice che A è contenuto (o incluso) in B o che A è un sottoinsieme di B:
A ⊆B
Se A ⊆ B ma A ≠ B si dice che A è incluso strettamente in B, o che
A è un sottoinsieme proprio di B, o, ancora, che A è una parte
propria di B:
A ⊂B
Se A non è strettamente incluso in B, si usa la notazione:
A ⊄B
Insieme vuoto
Con il simbolo ∅ si denota l’insieme vuoto, ossia l’insieme che non
è costituito da alcun elemento e che, per definizione, è incluso strettamente in ogni altro insieme.
Rappresentazioni grafiche degli insiemi
B
Parte Prima. Algebra
A
A ⊂ B
Le rappresentazioni grafiche degli insiemi
sono designate con l’espressione di diagrammi di Eulero - Venn; e sono delle porzioni di piano euclideo che consentono di
rilevare relazioni tra gli stessi.
6
Estratto della pubblicazione
1.3 Nozioni di implicazione e di equivalenza
Quando si vuole definire una data proprietà si stabilisce che essa è
definita in un dato insieme S, detto insieme ambiente. Gli elementi
di S per i quali è vera una data proprietà α costituiscono un sottoinsieme di S che si indica in questo modo:
{x ∈ S : α }
Sia data una proprietà α definita in un dato insieme S.
Quantificatore universale
La frase per ogni x che appartiene a S per cui è vera la proprietà α si
scrive usando la simbologia seguente:
∀x ∈S : α
∀ si chiama quantificatore universale, e si legge per ogni.
Quantificatore esistenziale
La frase esiste un x che appartiene a S per cui è vera la proprietà α
si scrive usando la simbologia seguente:
∃x ∈S : α
∃ si chiama quantificatore esistenziale, e si legge esiste.
Implicazione
Siano α e β due proprietà definite in un insieme S se, ogni volta che
α è vera per un elemento x di S, anche β è vera per quello stesso
elemento, allora, si dice che la proprietà α implica la proprietà β :
β ⇐α
1. Insiemistica
α ⇒ β;
dove ⇒ è il simbolo di implicazione.
7
Estratto della pubblicazione
Ciò vuol dire che:
{x ∈S : α } ⊆ {x ∈S : β }
Se esiste un elemento di S per il quale α è vera ma β è falsa, vale a
dire se la proprietà α non implica la proprietà β :
α ⇒β
Equivalenza
Siano α e β due proprietà definite in un insieme S, se α implica β
e nello stesso tempo β implica α , allora, si dice che le due proprietà
α e β sono equivalenti:
α ⇔β
dove ⇔ è il simbolo di equivalenza o doppia implicazione.
Se esiste un elemento di S per il quale una delle due proprietà è vera
mentre l’altra è falsa, in altre parole, se α e β non sono equivalenti:
α⇔
/ β
2) Operazioni sugli insiemi
Siano A e B due sottoinsiemi di un insieme ambiente S.
2.1 Unione
Parte Prima. Algebra
Si dice unione dei due insiemi A e B, e si denota con il simbolo:
A ∪B
l’insieme costituito dagli elementi che appartengono o ad A oppure
a B.
8
Estratto della pubblicazione
A
A
B
A ∪ B
B
A ∪ B
2.2 Negazione
Si dice negazione o complemento dell’insieme A rispetto all’insieme B e si denota con il simbolo:
B–A
l’insieme i cui elementi appartengono a B ma non ad A.
Se l’insieme B coincide con l’insieme ambiente S, allora l’insieme
S – A si denota semplicemente con A.
A
A
B
B–A
B
B – A = ∅ con B ⊆ A
Si dice intersezione dei due insiemi A e B, e si denota con il simbolo:
A ∩B
l’insieme costituito dagli elementi che appartengono e ad A e a B.
9
1. Insiemistica
2.3 Intersezione
B
B
A
A
A ∩B = ∅
A ∩ B = A con A ⊂ B
Due insiemi che non hanno elementi in comune si dice che sono
disgiunti o che hanno intersezione vuota.
Proprietà
Unione
Idempotenza
A ∪ A=A
A ∩ A=A
A ∪ ∅ =A
A ∩ S=A
Commutativa
A ∪ B=B ∪ A
A ∩ B=B ∩ A
Associativa
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B ) ∩ C = A ∩ (B ∩ C )
Distributiva
A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
Elemento neutro
Intersezione
A ∪ (B ∩ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C )
Uguaglianze di de Morgan
A ∪B = A ∩B
Parte Prima. Algebra
A ∩B = A ∪B
10
Estratto della pubblicazione
3) Prodotto cartesiano
Coppia ordinata
Siano dati due insiemi A e B, la coppia ordinata di primo elemento a
e di secondo elemento b (con a elemento di A e b elemento di B) si
denota con il simbolo:
(a, b)
Prodotto cartesiano
Si definisce prodotto cartesiano o prodotto combinatorio di due
insiemi non vuoti A e B l’insieme delle coppie ordinate (a, b) di elementi, con a ∈ A e b ∈ B:
A × B = {(a, b); a ∈ A, b ∈ B}
Il prodotto cartesiano non è commutativo nel senso che l’insieme
A × B è diverso dall’insieme B × A, escluso il caso in cui A = B,
dove il prodotto cartesiano A × A si denota con il simbolo A 2, e si
chiama quadrato cartesiano.
n-pla ordinata
Siano dati n insiemi A1, A2, …, An, considerati nell’ordine con cui sono
scritti, con il simbolo:
(a1, a2, …, an)
si denota la n - pla ordinata di elementi, avente per primo elemento
a1 ∈ A1, per secondo elemento a2 ∈ A2, …, per n - esimo elemento
an ∈ An. Analogamente, con il simbolo:
A1 × A2 × … × An
si denota l’insieme delle n-ple ordinate (a1, a2, …, an) di elementi, di
cui il primo appartiene a A1, il secondo a A2, …, l’n-esimo a An.
Sia A un insieme. Una partizione finita di A è una collezione di insiemi
A1, A2, . . . , An non vuoti e disgiunti a coppie tali che:
A = A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An
11
Estratto della pubblicazione
1. Insiemistica
Partizione di un insieme
Insieme delle parti di un insieme
Sia A un insieme. L’ insieme delle parti di A, denotato con ℘( A ), è
l’insieme i cui elementi sono i sottoinsiemi di A. Se A contiene n elementi, allora l’insieme delle parti di A contiene 2n elementi.
4) Relazioni tra insiemi
Si può definire una relazione ℜ da A a B un sottoinsieme di A × B. Si
dice che la coppia (a, b) appartiene a ℜ, in simboli (a, b) ∈ ℜ.
Considerata, quindi, una coppia ordinata (a, b) di elementi di S, per
indicare che a è nella relazione ℜ con b si usa la scrittura:
a ℜb
Se a non è nella relazione ℜ con b si usa la scrittura:
a ℜb
4.1 Relazione di equivalenza
Una relazione ℜ tra coppie ordinate di elementi di un insieme S si
dice relazione di equivalenza in S se gode delle seguenti proprietà:
riflessiva
simmetrica
aℜ a
∀a ∈S
transitiva
aℜ b e b ℜ c ⇒ aℜ c
aℜ b ⇒ b ℜ a
Parte Prima. Algebra
Classe di equivalenza
Il sottoinsieme di S costituito da quegli elementi che sono equivalenti
ad un elemento a si dice classe di equivalenza (rispetto a ℜ ) dell’elemento a, e si denota con il simbolo [a].
L’insieme di tutte le classi di equivalenza si dice insieme quoziente
di S (rispetto a ℜ ) e si denota con il simbolo S/ ℜ .
12
Estratto della pubblicazione
Gli elementi di S/ ℜ godono delle seguenti proprietà:
ogni classe è non vuota;
se [a] ≠ [a'] ⇒ [a] ∩ [a'] = ∅ ;
ogni elemento a di S appartiene ad una sola classe di equivalenza.
4.2 Relazione d’ordine
Una relazione ℜ tra coppie ordinate di elementi di un insieme S si
dice relazione d’ordine in S se gode delle seguenti proprietà:
riflessiva
aℜ a
transitiva
∀a ∈S
aℜ b e b ℜ c ⇒ aℜ c
asimmetrica
aℜ b e b ℜ a ⇒ a = b
L’insieme S si dice ordinato per mezzo di ℜ.
L’ordinamento è totale se ogni elemento a è confrontabile con ogni
elemento b, è, invece, parziale se ciò non si verifica.
5) Intervallo e intorno
Intervallo
Un intervallo I è un insieme bidimensionale ed è tale se, per ogni
coppia di numeri reali a e b con a < b, si ha che a I appartengono
tutte le x tali che:
a ≤ x ≤b
Dati i due numeri a e b, con a < b.
Intervallo limitato
intervallo chiuso
[a; b]
intervallo aperto a destra e a sinistra
(a; b) oppure
] a; b [
[a; b [ oppure [a; b)
] a; b ] oppure (a; b]
1. Insiemistica
intervallo aperto a destra
intervallo aperto a sinistra
13
Estratto della pubblicazione
Intervallo illimitato
intervallo illimitato chiuso a sinistra
intervallo illimitato aperto a sinistra
intervallo illimitato chiuso a destra
intervallo illimitato aperto a destra
[a;
(a;
+ ∞[ oppure [a;+∞ )
+ ∞ ) oppure ]a; + ∞[
]−∞; b ]
oppure ( −∞; b ]
( −∞; b ) oppure ]−∞; b [
Il simbolo ∞ si legge infinito.
Intorno
Si dice intorno di raggio δ del punto x0 l’intervallo ( x 0 − δ ; x 0 + δ ) .
x0
x0 – δ
x0 + δ
Maggiorante e minorante di un insieme
Dato un insieme A ∈R , se x0 è un suo elemento, x0 si dirà:
— maggiorante dell’insieme A se x ≤ x 0 ∀x ∈A ;
— minorante dell’insieme A se x ≥ x 0 ∀x ∈A .
Parte Prima. Algebra
Estremo superiore e estremo inferiore di un insieme
Dato un insieme A:
— tutti i maggioranti formano un insieme il cui minimo si dice estremo superiore di A e si indica con SupA;
— tutti i minoranti formano un insieme il cui massimo si dice estremo inferiore di A e si indica con InfA.
14
Estratto della pubblicazione
Massimo e minimo di un insieme
Dato un insieme A, se:
— l’estremo superiore appartiene all’insieme, allora:
SupA = punto di massimo dell’insieme = max
— l’estremo inferiore appartiene all’insieme, allora:
InfA = punto di minimo dell’insieme = min
Punto limite o di accumulazione
Un punto x0 è un punto limite o di accumulazione per un insieme A
se, ogni suo intorno, per quanto piccolo, contiene sempre almeno un
punto dell’insieme A che sia distinto da x0.
Teorema di Bolzano-Weierstrass
Se un insieme infinito di numeri reali è limitato, ammette sempre un
punto di accumulazione.
Punto isolato
Un punto x0 appartenente all’insieme A si dice isolato se esiste un
intorno di x0 non contenente altri punti di A diversi da x0.
6) Corrispondenze e funzioni
6.1 Corrispondenza o relazione tra insiemi
Dati i due insiemi A {x 1; x 2; x 3;...} e B { y 1; y 2; y 3;...}, se tra essi è possibile stabilire una relazione che associ gli elementi del primo a quelli del secondo si dice che i due insiemi sono legati da una corrispondenza o relazione.
Tra due insiemi A e B vi è una corrispondenza univoca ϕ da A in B
quando a ogni elemento a di A corrisponde uno e un solo elemento
b di B, detto immagine:
ϕ :A→B
15
Estratto della pubblicazione
1. Insiemistica
Corrispondenza univoca
Corrispondenza biunivoca
Tra due insiemi A e B vi è una corrispondenza biunivoca o biiezione o trasformazione quando a ogni elemento a ∈A corrisponde
uno e un solo elemento b ∈B e viceversa.
6.2 Funzione
Dati due insiemi X e Y si dice funzione o applicazione:
y = f(x) ;
f : X →Y ;
X ⎯f⎯
→Y
una relazione binaria che associa a ogni elemento del dominio una e
una sola immagine del codominio.
Esiste una corrispondenza univoca tra dominio e codominio della
funzione.
x ∈ X è l’argomento della funzione ed è detta variabile indipendente;
y ∈Y è il risultato e prende il nome di variabile dipendente;
X è il dominio o campo di esistenza o insieme di definizione
della funzione;
Im f = f ( X ) è l’insieme delle immagini di tutti gli elementi di X ed
è detto codominio o insieme immagine e si ha f ( X ) ⊆ Y .
Grafico di una funzione
Il grafico di una funzione f : X →Y è il sottoinsieme G del prodotto
cartesiano X ×Y definito da:
Parte Prima. Algebra
G = {( x , y ) : y = f ( x ), x ∈X }
16
Funzione iniettiva
Una funzione f di X in Y si dice iniettiva se elementi distinti del dominio hanno immagini distinte:
∀x 1, x 2 ∈X , x 1 ≠ x 2 ⇒ f ( x 1 ) ≠ f ( x 2 )
x1
y1
x2
y2
x3
y3
y4
Funzione iniettiva
Funzione suriettiva
Una funzione f di X in Y si dice suriettiva se f(X) = Y, ossia se tutti gli
elementi di Y sono immagini di almeno un elemento di X:
∀y ∈Y , ∃x ∈X : f ( x ) = y
x1
y1
x2
y2
x3
y3
y4
Funzione biiettiva
Una funzione iniettiva e suriettiva si dice biiettiva o corrispondenza biunivoca.
17
Estratto della pubblicazione
1. Insiemistica
Funzione suriettiva
x1
y1
x2
y2
xn
yn
Funzione inversa
Sia f : X →Y una funzione biiettiva, la funzione inversa di f è
−1
f −1 :Y → X ed è tale che ogni y in Y ha per immagine x = f ( y ) in X.
X
Y
f
x
y
f–1
Funzione composta
Date due funzioni f : X →Y e g :Y → Z , la funzione composta mediante f e g associa a ogni elemento di X un elemento di Z nel seguente modo:
— all’elemento x ∈X corrisponde, mediante f, l’elemento f (x )∈Y ,
Parte Prima. Algebra
— all’elemento f (x )∈Y (che diventa dominio della g) corrisponde,
mediante g, l’elemento g (f (x ))∈Z .
18
La funzione composta viene indicata con g f oppure con y = g (f ( x ))
ed è tale che:
g f : X → Z
g
f
x∈X
Z
Y
y = f(x) ∈ Y
z = g(y) =
= g (f(x))
z = (g f) (x)
1. Insiemistica
X
19
2. Insiemi numerici
○
○
○
○
○
○
○
○
Naturali N
○
○
○
○
Relativi
Z
○
○
○
○
○
○
○
Razionali
○
○
○
○
Reali
Q
R
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
Complessi
C
N ⊂ Z ⊂Q ⊂R ⊂C
1) Numeri naturali
L’insieme dei numeri naturali:
N = {0, 1, 2, 3, …}
è l’insieme base dei numeri; esso è legato alla operazione del contare la quantità degli elementi di un insieme finito, ne rappresenta, cioè,
la potenza.
Parte Prima. Algebra
Nell’insieme considerato sono definite:
la relazione d’ordine totale ≤ ;
le operazioni di addizione e moltiplicazione con le loro proprietà.
Dati due numeri naturali a e b, le operazioni di sottrazione e di divisione, indicate, rispettivamente, con a – b e a / b sono definite solo se,
per la prima a > b, per la seconda a : b è con resto 0.
20
Estratto della pubblicazione
Operazioni con i numeri naturali
Dati i numeri a, b e c con a ∈N , b ∈N , c ∈N si definiscono le quattro operazioni fondamentali:
Operazioni
fondamentali
Addizione
a + b ∈N
Proprietà
commutativa
associativa
dissociativa
esistenza e unicità
dell’elemento neutro
a+b=b+a
(a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c
a + b = (c + d) + b con a = c + d
a+0=a
invariantiva
a − b = (a ± c ) − (b ± c )
Sottrazione
a − b ∈N
se a > b
Moltiplicazione
commutativa
a ⋅ b ∈N
a ⋅b = b ⋅a
associativa
(a ⋅ b ) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c ) = a ⋅ b ⋅ c
dissociativa
a ⋅ b = (c ⋅d ) ⋅ b con a = c ⋅d
distributiva rispetto
all’addizione e alla
sottrazione
a ⋅ (b ± c ) = a ⋅ b ± a ⋅ c
esistenza e unicità
dell’elemento neutro
a ⋅1= a
a : b ∈N solo
invariantiva
a : b = (a ⋅ c ) : (b ⋅ c ) = (a : c ) : (b : c )
se b ≠ 0 e a
multiplo di b
distributiva rispetto
all’addizione e alla
sottrazione
(a ± b ) : c = (a : c ) ± (b : c )
2. Insiemi numerici
Divisione
21
Divisibilità
Dati due numeri naturali a e b, si dice che a è divisibile per b se la
divisione a : b è esatta, cioè con resto 0. In questo caso si dice che b
è un divisore di a.
Se un numero a è divisibile per b, allora a è multiplo di b.
I sottomultipli di un numero sono quei numeri tali che la divisione tra
il numero dato e un suo sottomultiplo dà un quoziente esatto.
Criteri di divisibilità
Divisibilità per 2
l’ultima cifra del numero deve essere pari
Divisibilità per 3
la somma delle cifre del numero (reiterata fino a ottenere un numero di 1 cifra)
deve essere divisibile per 3
Divisibilità per 4
le sue ultime due cifre sono o due zeri o
un multiplo di 4
Divisibilità per 5
l’ultima cifra deve essere 0 oppure 5
Divisibilità per 6
deve essere divisibile per 2 e per 3
Divisibilità per 8
deve essere divisibile per 8 il numero formato dalle ultime tre cifre
Divisibilità per 9
deve essere divisibile per 9 la somma
delle sue cifre
Divisibilità per 10, 100, 1000... deve terminare per 1, 2, 3... zeri, rispettivamente
Parte Prima. Algebra
Divisibilità per 11
se la differenza fra la somma delle cifre
di posto dispari e la somma di quelle di
posto pari è divisibile per 11 o è 0
Numeri primi e numeri composti
Un numero naturale maggiore di 1 si dice primo solo se è divisibile
per se stesso e per l’unità, in caso contrario si dice composto.
22
Estratto della pubblicazione
Massimo comun divisore (M.C.D.)
Il massimo comun divisore di due o più numeri naturali, diversi da
zero, è il numero naturale più grande per il quale possono essere
divisi entrambi, ossia è il più grande dei divisori comuni.
Per calcolare il M.C.D. di due o più numeri li si scompone in fattori
primi, quindi si moltiplicano tra loro i fattori primi comuni, ciascuno
preso una volta sola con il minimo esponente con cui figura.
Due numeri naturali si dicono primi tra loro o coprimi se il loro M.C.D.
è l’unità.
Minimo comune multiplo (m.c.m.)
Il minimo comune multiplo di due o più numeri interi è il più piccolo tra
i loro multipli comuni.
Per calcolare il m.c.m. di due o più numeri li si scompone in fattori
primi, quindi si moltiplicano tra loro i fattori primi comuni e non comuni, ciascuno preso una volta sola con il massimo esponente con
cui figura.
Potenze
La potenza di un numero naturale a (base) con esponente intero n è
il prodotto di n fattori uguali a n:
a n = a
⋅ a
⋅...
⋅a
n volte
Casi particolari
a0 = 1
a1 = a
0n = 0 ∀n
2. Insiemi numerici
1n = 1
23
Estratto della pubblicazione
Operazioni con le potenze
a m ⋅ a n = a m +n
prodotto di potenze aventi la stessa base
m
a
= a m −n
an
(a ) = a
m
n
quoziente di potenze aventi la stessa base
potenza di potenza
m ⋅n
(a ⋅b ) = a ⋅b
n
n
potenza di un prodotto
n
an
⎛a⎞
⎜⎝ ⎟⎠ = n
b
b
potenza di un quoziente
Potenze a esponente negativo
⎛ a⎞
⎜⎝ ⎟⎠
b
−n
n
1
⎛b⎞
−n
= ⎜ ⎟ se b = 1 allora a = n
⎝ a⎠
a
2) Numeri relativi
Nell’insieme degli interi relativi, indicati con la simbologia:
Z = {…, –3, –2, –1, 0, +1, +2, +3, …}
sono definite:
la relazione d’ordine totale ≤;
le operazioni di addizione e moltiplicazione, con le loro proprietà;
l’operazione di sottrazione, in quanto esiste lo zero e l’opposto di
ogni elemento.
Parte Prima. Algebra
2.1 Operazioni con numeri relativi
Numeri concordi e numeri discordi
Due numeri interi, diversi dallo zero, si dicono concordi se sono preceduti dallo stesso segno.
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Estratto della pubblicazione