Università degli Studi di Catania
Facoltà di Ingegneria
A.A. 2008/09 – Corsi di Laurea in
Ing. delle Telecomunicazioni ed Ing. Informatica (R–Z) – (N.mo O.)
Programma di Analisi Matematica II
Docente: G.Arena
• Successioni e serie di Funzioni.
Convergenza puntuale ed uniforme di una successione di funzioni. Definizioni e caratterizzazioni. Proprietà della convergenza uniforme: Teorema di
continuità, scambio del limite e derivabilità, passaggio al limite sotto segno
di integrale. Esempi. Serie di funzioni. Convergenza puntuale, assoluta e
uniforme di una serie di funzioni. Definizioni e caratterizzazioni. Test di
Weierstrass sulla convergenza assoluta e uniforme di una serie di funzioni.
Teoremi di continuità, derivabilità e integrazione per serie (S) . Serie di Potenze. Definizione di raggio di convergenza di una serie di potenze. Lemma
e Teorema del raggio. Teorema di Abel, criteri per la determinazione del
raggio di convergenza (S) . Derivabilità della funzione somma per le serie
di potenze e integrazione per serie (S) . Principio d’identità per le serie di
potenze. Sviluppi di Taylor. Definizione di funzione analitica, condizioni
sufficienti per la sviluppabilità in serie di Taylor. Sviluppi notevoli. Esempi
ed esrcizi. Serie di Fourier. Funzioni periodiche, polinomio e serie trigonometrica. Coefficienti di una serie di Fourier uniformemente convergente.
Convergenza in media quadratica di una serie di Fourier, uguaglianza di
Parseval(S). Convergenza puntuale: condizioni di Dirichlet (S) . Condizioni
sufficienti per la convergenza uniforme (S) . Forma complessa, o esponenziale, di una serie di Fourier. Esempi ed esercizi.
• Funzioni negli spazi euclidei n-dimensionali.
Lo spazio vettoriale Rn : prodotto scalare, norma, distanza, norme equivalenti. Richiami di topologia di base negli spazi euclidei. Intorni di un punto,
insiemi aperti, chiusi, punti di accumulazione, punti isolati e frontiera di
un insieme. Esempi ed esercizi. Funzioni vettoriali di più variabili: grafico,
operazioni tra funzioni, simmetrie, funzione composta e inversa. Limiti in
Rn . Definizioni e caratterizzazioni. Limiti per componenti e per successioni. Esempi ed esercizi. Funzioni continue. Operazioni tra funzioni continue,
composta di funzioni continue, continuità per successioni (S) . Continuità
e connessione: curve continue e insiemi connessi per archi. Esempi. Teorema di esistenza degli zeri. Continuità e compattezza. Insiemi compatti:
definizioni e carattrizzazioni. Teorema di Weierstrass per funzioni continue
in Rn . Funzioni uniformemente continue e Lipschitz continue. Teorema di
Cantor per funzioni uniformemente continue in Rn . Esempi ed esercizi.
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• Calcolo differenziale ed ottimizzazione libera.
Derivate direzionali per funzioni reali di n variabili. Relazione tra continuità
ed esistenza delle derivate direzionali. Esempi. Definizione di differenziabilità per funzioni reali di n variabili. Relazioni tra continuità, esistenza
delle derivate direzionali e differenziabilità. Esempi. Rappresentazione del
differenziale tramite il gradiente. Interpretazione grafica dell’esistenza del
differenziale. Spazio delle funzioni C 1 (A). Teorema del differenziale totale
(S)
. Derivate direzionali e differenziale per funzioni vettoriali di n variabili. Rappresentazione del differenziale: matrice Jacobiana. Differenziabilità
di funzioni composte. Formula del differenziale di funzioni composte (S) .
Esempi. Differenziale secondo per una funzione reale di n variabili. Spazio
delle funzioni C 2 (A). Rappresentazione del differenziale secondo: matrice
Hessiana. Teorema di Schwarz (S) . Teorema di Lagrange per funzioni di n
variabili. Formula di Taylor al secondo ordine con resto di Lagrange e Peano. Esempi ed esercizi. Definizione di forma qudratica su Rn . Studio del
segno di una forma quadratica. Estremi relativi liberi in Rn . Teorema di
Fermat. Ricerca degli estremi liberi tramite lo studio del segno della forma
qudratica Hessiana. Caratterizzazioni nei casi n = 2 ed n = 3. Esempi ed
esercizi. Differenziale di ordine k per funzioni di n variabili. Spazio delle
funzioni C k (A). Formula di Taylor fino all’ordine k (S) .
• Funzioni Implicite ed Estremi Vincolati.
Definizione ed esempi di funzioni implicite. Teorema di Dini, caso scalare. Regolarità della funzione implicita. Teorema di Dini, caso n variabili e
caso vettoriale (S) . Calcolo del polonomio di Taylor fino all’ordine due di
funzioni implicite scalari e calcolo del vettore tangente di funzioni implicite
vettoriali. Estremi relativi vincolati. Moltiplicatore di Lagrange. Teorema
di Lagrange (S) . Studio di estremi relativi con vincoli espressi da equazioni
e disequazioni. Esempi ed esercizi.
• Integrazione secondo Riemann in Rn .
Integrazione di funzioni reali di n variabili limitate, su rettangoli di Rn .
Integrabilità delle funzioni continue. Misura del grafico e sottografico di
una funzione integrabile su un rettangolo. Misura di Peano-Jordan di insiemi limitati di Rn . Insiemi trascurabili. Esempi. Proprietà degli insiemi
misurabili (S) . Integrazione di funzioni reali di n variabili limitate su insiemi limitati e misurabili di Rn . Integrabilità delle funzioni continue quasi
ovunque (S) . Proprietà dell’integrale multiplo (S) . Metodo di riduzione per
il calcolo degli integrali multipli (S) . Caso n = 2: integrazione su domini
normali rispetto agli assi coordinati. Caso n = 3: integrazione per fili e per
strati. Esempi ed esercizi. Cambiamento di variabili negli integrali multipli
(S)
. Proprietà di inversione locale. Coordinate polari nel piano e nello spazio. Coordinate cilindriche. Volume dei solidi di rotazione. Primo Teorema
di Guldino. Cenni di teoria delle curve regolari e superfici regolari orientate. Integrazione di funzioni di n variabili limitate su archi regolari a tratti.
Area di una calotta regolare. Integrazione di funzioni limitate in R3 su calotte regolari. Area di superficie dei solidi di rotazione. Secondo Teorema di
Guldino. Integrazione di campi vettoriali continui in Rn su archi regolari a
tratti. Teorema di Gauss-Green. Applicazione del teorema di Gauss-Green
al calcolo dell’area di domini piani con bordo regolare a tratti. Integrazione
di campi vettoriali continui in R3 su calotte regolari. Esempi ed esercizi.
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Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie regolare. Teorema di Stokes (S) . Teorema di Gauss (o della divergenza) (S) . Esempi ed
esercizi. Campi vettoriali conservativi. Caratterizzazioni (S) . Esempi. Forme differenziali esatte. Campi irrotazionali. Insiemi aperti semplicemente
connessi in R2 ed R3 . Condizioni affinchè un campo irrotazionale sia conservativo (S) . Metodi per il calcolo del potenziale di un campo conservativo.
• Equazioni differenziali ordinarie
Equazioni differenziali ordinarie di ordine n. Problema di Cauchy. Esempi. Sistemi differenziali del primo ordine in forma normale. Teorema di
esistenza e unicità locale del problema di Cauchy (S) . Metodi risolutivi.
Equazioni a variabili separabili. Equazioni omogenee. Equazioni lineari del
primo ordine. Teorema di struttura dell’integrale generale. Soluzione del
problema di Cauchy. Equazioni di Bernoulli. Equazioni lineari del secondo
ordine. Teorema di struttura dell’integrale generale. Metodi risolutivi per
le equazioni omogenee a coefficienti costanti. Oscillatori armonici. Metodi
risolutivi per le equazioni non omogenee a coefficienti costanti. Metodo di
somiglianza e delle variazioni delle costanti.
Testi di riferimento per la teoria:
1) G.Di Fazio-P.Zamboni, Analisi Matematica Due, Monduzzi Editore, Bologna, 2008;
2) A.Bacciotti-F.Ricci, Lezioni di Analisi Matematica 2, Editrice Levrotto &
Bella, Torino, 1991, Seconda Edizione Riveduta;
3) C.D.Pagani-S.Salsa, Analisi Matematica, Volume 1, Zanichelli, Milano, 2007;
4) C.D.Pagani-S.Salsa, Analisi Matematica, Volume 2, Zanichelli, Milano, 2007;
5) M.Bramanti-C.D.Pagani-S.Salsa, MATEMATICA - Calcolo Infinitesimale
ed Algebra Lineare, Seconda Edizione, Zanichelli, Milano, 2008.
Testi di riferimento per gli esercizi:
6) S.Salsa-A.Squellati, Esercizi di Analisi Matematica 2, Parte Prima, Funzioni di pi variabili ed ottimizzazione. Serie numeriche e di funzioni, Zanichelli, Milano, 2002;
7) S.Salsa-A.Squellati, Esercizi di Analisi Matematica 2, Parte Seconda, Integrazione, Zanichelli, Milano, 2002;
8) S.Salsa-A.Squellati, Esercizi di Analisi Matematica 2, Parte Terza, Equazioni differenziali ordinarie, Zanichelli, Milano, 2002.
NOTA BENE: Il simbolo (S) =“Senza Dimostrazione” indica che non verrà
chiesta la dimostrazione ma solamente l’enunciato ed eventuali applicazioni. Ove
non specificato si intende che la dimostrazione va fatta.
