Programma dettagliato del corso.

Corso di laurea in C.T.F
Anno accademico 2009-2010
C.Borelli
Propedeuticità consigliate: nessuna.
Lingua di insegnamento: italiano.
Prerequisiti
Simboli e operazioni insiemistiche. Applicazioni fra insiemi. Insiemi numerici N, Z,
Q e relative operazioni. Numeri reali (corrispondenza fra R e la retta reale)
Valore assoluto
Radici n-esima assoluta e con segno
Polinomi. prodotti notevoli e scomposizione
Coordinate cartesiane nel piano
Equazione della retta, della parabola, della circonferenza
Equazioni e disequazioni di I e II secondo grado
Disequazioni fratte
Programma
Insiemi
Concetto di insieme. Operazioni fra insiemi e loro proprieta’ Implicazioni
logiche,logica degli enunciati e dei predicati. Proposizione diretta inversa e
contronominale. Applicazioni fra insiemi: dominio e codominio. Applicazioni
inettive, suriettive e biunivoche.
Numeri Reali
Insieme dei numeri naturali, interi, razionali. Principio di induzione. Definizione di
numero reale. Discontinuita’ e densita’ di Q. Radice ennesima assoluta e con segno.
Estremo superiore e inferiore: teorema relativo. Intorni di un punto in R e R*.
Definizione di punto interno, esterno, isolato, di frontiera e di accumulazione. Insiemi
aperti ,chiusi .(*) Teorema di Bolzano Weierstrass.
Funzioni reali di variabile reale
Funzioni composte e funzioni inverse. Funzioni monotone in senso globale, locale,
funzioni convesse su un intervallo. Definizione di estremi relativi e assoluti. Funzioni
periodiche, pari, dispari. Funzioni trigonometriche e loro inverse.,esponenziali e
logaritmiche.
Limiti
Definizione topologica e metrica di limite.(*) Teorema dell’unicita’, confronto,
permanenza del segno. Teorema dell’esistenza del limite per le funzioni monotone.
Algebra dei limiti e forme di indecisione. Limiti fondamentali e desunti da questi.
Infiniti e infinitesimi. (*)Teorema relativo al confronto fra infiniti e infinitesimi.
Simbolo di ‘o’ e sue proprieta’.
Funzioni continue
Continuita di una funzione in senso puntuale e globale. Punti di discontinuita’ e loro
classificazione. Proprieta’ delle funzioni continue.(*)Teorema degli zeri e di
Darboux. Classe delle funzioni continue. Continuita’ della funzione composta
(*)della inversa.
Calcolo differenziale
Nozione di derivata e suo significato geometrico.(*) Relazione fra continuita’ e
derivabilita’. Regole di derivazione. Derivata della funzione composta e (*) inversa.
Condizione sufficiente di derivabilita’. Differenziale e suo significato geometrico. (*)
Teorema di Rolle, Lagrange e suoi corollari., Cauchy, (*) dell’Hospital per le forme
di indecisione (0/0) ( / ).(*) Formula di Taylor col resto secondo Peano.(*)
Condizione necessaria per l’esistenza di un estremante, (*) condizione sufficiente per
l’esistenza di un estremante. Condizione necessaria e sufficiente per la convessita’ di
una funzione su un intervallo. Punti di flesso. Asintoti di una funzione. Condizione
necessaria sufficiente per l’esistenza di asintoti obliqui.
Teoria dell’integrazione
Definizione di integrale secondo Riemann. Condizioni sufficienti di integrabilita’(*)
Teorema della media,(*)teorema fondamentale del calcolo integrale. Primitiva di una
funzione. Integrazione per parti e sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali.
Integrali generalizzati di I e II specie. Condizioni sufficienti per la convergenza e la
divergenza.
Statistica
Distribuzioni statistiche: classificazione dei dati. Frequenze relative e assolute.
Variabili statistiche discrete, continue per intervalli ,continue e loro rappresentazione;
funzione di densità di frequenza e funzione di ripartizione. Media aritmetica e sue
proprietà, mediana, moda, deviazione standard, varianza e sue proprietà. Variabili
bidimensionali discrete; distribuzioni congiunte, marginali e subordinate.
Indipendenza, covarianza sue proprietà, incorrelazione.
Probabilità
Spazio campionario. Funzione di probabilità e sue proprietà. Probabilità subordinata
e indipendenza. Teorema delle probabilità totali e di Bayes. Variabili
unidimensionali: valori attesi e varianza. Distribuzione di Bernoulli, binomiale,
Poisson, uniforme, esponenziale, normale. Teorema del limite centrale
(approssimazione della binomiale con la normale).
Testi di riferimento
A. Guerraggio ‘Matematica generale’ Bollati Boringhieri
Ist. Di Metodi Quantitativi ‘Elementi di Statistica descrittiva’ Univ. Bocconi
G.Cichitelli ‘Probabilità e Statistica ‘ Maggioli