Il teorema di Wilson: Un tentativo di generalizzazione

Il teorema di Wilson: Un tentativo di
generalizzazione
Tiziano Binda
I: I gruppi abeliani sono i gruppi che più spesso ci capita di incontrare nella
nostra vita matematica e di tutti i giorni.
Non per nulla stanno alla
base della denizione di anello e quindi di campo, così da descrivere le
strutture usuali per somma e prodotto. Incuriosito dal teorema di Wilson
si è cercato di applicare il famoso Rasoio di Okkam nel tentativo di
generalizzarlo il più possibile e vedere dove si riesce ad arrivare. In questa
dissertazione si considereranno solo gruppi abeliani, a meno che non sia
espressamente dichiarato.
0.1. L'ENUNCIATO
3
0.1. L'enunciato
Dato un numero primo
p
si consideri il gruppo dei resti modulo
p
diversi da 0
e la moltiplicazione usuale. Allora il prodotto di tutti gli elementi dati è congruo a
-1 modulo
p 1.
A = {1, 2, .., p − 1}, p ∈ P =⇒ (p − 1)! ≡ −1
mod p
Cominciamo con un lemma che poi si risulterà estremamente utile.
Lemma 0.1.1. Nel gruppo A, ogni elemento diverso da 1 e -1 modulo p ha un
inverso che è diverso da sè stesso:
∀x ∈ A, x 6= 1, x 6= −1 =⇒ x−1 6= x
x ∈ A, x 6= 1, x 6= −1, x−1 = x. Allora x ∗ x ≡ 1
mod p =⇒ x − 1 ≡ 0 mod p =⇒ p|x2 − 1 =⇒ p|(x − 1)(x + 1). Dall'ultima
uguaglianza segue che o p|x − 1 =⇒ x ≡ 1 mod p oppure p|x + 1 =⇒ x ≡ −1
mod p , contro l'ipotesi e si conclude.
Dimostrazione. Per assurdo,
2
Nel prodotto dell'enunciato allora possiamo, grazie alla commutatività, spostare
l'ordine delle moltiplicazioni, così da rendere consecutivo (o antecedente) a ogni elemento il proprio inverso. Si elimineranno quindi tutti gli elementi che hanno inverso
diverso da sè stessi, lasciando quindi solo 1 e
fra loro sono equivalenti a
−1 mod p,
p − 1 ≡ −1 mod p
che moltiplicati
che conclude la dimostrazione del teorema
di Wilson.
Da notare che il teorema si può invertire, ovvero soltanto per i numeri primi
è vero che
p
(p − 1)! ≡ −1 mod p.
Dimostrazione. Sia infatti n = pq, 1 < p < q < n tale che (n − 1)! ≡ −1
mod n =⇒ (n − 1)! + 1 ≡ 0 mod n =⇒ n|(n − 1)! + 1 . Allora p|(n − 1)! dato
che ne è uno dei fattori, ma p|n|(n − 1)! + 1 quindi p|1 =⇒ p = 1 contro l'ipotesi
2
che p sia un fattore proprio di n e si conclude.
Ora, volendone dare un enunciato più generale, viene da pensare se il teorema
di Wilson sia valido solo per il gruppo moltiplicativo degli interi modulo p oppure
no.
In un gruppo abeliano generico, bisogna chiedersi il signicato di -1.
Esso
è un elemento che moltiplicato per sè stesso dà 1, ovvero è inverso di sè stesso.
Andiamo allora a caccia, in un generico gruppo abeliano nito, degli elementi che
sono inversi di sè stessi. Chiamiamo
atamente che
I 6= φ
I
l'insieme di questi elementi. Si nota immedi-
dato che almeno l'elemento neutro vi appartiene. Indicheremo
d'ora innanzi l'elemento neutro con il simbolo
generica
1
e consideremo come operazione la
moltiplicazione.
Lemma 0.1.2.
L'insieme I è un sottogruppo di A.
Dimostrazione. Siano
(ab)−1 = b−1 a−1 = ba = ab
a, b ∈ I .
Consideriamo
ab
e cerchiamo il suo inverso.
dove nell'ultima uguaglianza si è usata la commuta-
tività dell'operazione e nella penultima uguaglianza il fatto che
1
Da notare che −1
a = a−1 ; b = b−1 .
mod p ≡ p − 1 mod p
Una dimostrazione alternativa sta nell'osservare che p e q sono entrambi fattori contenuti
in (n-1)!, (ovvero p|(n − 1)! e q|(n − 1)!) che porta a concludere pq|(n − 1)! =⇒ n|(n − 1)! =⇒
(n − 1)! ≡ 0 mod n 6= −1 e si conclude. (Dimostrazione direttamente dal Libro, come avrebbe
detto Erdos)
2
0.3. L'ORDINE DI
Stando così le cose, ed essendo
I
I
4
nito e chiuso rispetto all'operazione data, con-
tenendo l'elemento neutro e l'inverso di ciascun elemento,
I
è sottogruppo di
A
rispetto alla medesima operazione.
Ora cerchiamo di capire che cosa otteniamo se computiamo tutti gli elementi di
A fra loro una volta sola. Da notare che gli elementi di A possono essere classicati
c
come appartenenti ad I oppure non appartenenti ad I (diciamo questo insieme I ).
Gli elementi di
Ic
sono tutti a coppie: ognuno con il suo inverso. Quindi il prodotto
di tutti gli elementi di
Ic
, stante la commutatività, deve dare l'elemento neutro.
c
Lemma 0.1.3. I contiene solo coppie di elementi, quindi ha cardinalità pari.
Q
Inoltre Il prodotto di tutti gli elementi di I c è uguale a 1, ovvero ∀a∈I c a = 1.
Dimostrazione.
ti gli elementi di
Ic
è:
1
−1
−1
I c = {a1 , a2 , .., a−1
1 , a2 , ..}, ∀i, ai 6= ai . Il prodotto di tut−1 −1
−1
−1
−1
a1 a2 ..ai ..a1 a2 ..ai .. = a1 a1 a2 a2 ..ai a−1
i .. = 1 1 .. 1 .. =
Ora possiamo concludere che
Q
Q
a = ∀i∈I i 1 = ∀i∈I i cioè
coincide con il prodotto di tutti e soli gli elementi di I .
Q
D'ora in avanti deniremo π =
∀i∈I i . In due casi, quasi, banali possiamo
già dire quanto vale π .
Se l'ordine di I è 1, allora I = {1} e quindi π = 1.
2
Se l'ordine di I è 2, allora I = {1, i} e quindi π = 1 ∗ i = i. Ma i ∗ i = i = 1
Theorem 0.1.4.
π=
Q
∀a∈A
a=
Q
∀i∈I
i
Q
∀a∈I c
ed ecco che allora abbiamo trovato l'anaologo del teorema di Wilson.
0.2. I gruppi di ordine 2n+1
Fra tutti i gruppi, notiamo immediatamenre che quelli di ordine dispari non
possono avere un sottogruppo di ordine 2, per il teorema di Lagrange per gruppi
niti. Questo non ci mette ancora al sicuro per arrivare alla conclusione che
per i gruppi di ordine dispari, dato che dobbiamo provare che l'ordine di
divida quello di
A.
0.3. L'ordine di
Theorem 0.3.1.
3
π=1
I
non
I
L'ordine del sottogruppo I è una potenza di 2. o(I) = 2k , k ∈
N ∪ {0}
Dimostrazione. Se
I
contiene 1 o 2 elementi distinti, non c'è nulla da di-
I = {1, i1 , i2 } ora,
i1 i2 ∈ I quindi o i1 i2 = i1 che, per la legge di cancellazione, porterebbe a concludere i2 = 1 contraddicendo il fatto che i 3 elementi
di I siano distinti; oppure i1 i2 = i2 che, per la legge di cancellazione, porterebbe a
concludere i1 = 1 contraddicendo ancora il fatto che i 3 elementi di I siano distinti;
−1
oppure i1 i2 = 1 che porterebbe a concludere che i1 = i2
= i2 6= i1 di nuovo una
contraddizione. L'esistenza di i2 porta quindi a concludere l'esistenza di i3 = i1 i2
tale che i1 6= i3 6= i2 e che quindi I ha quattro elementi.
mostrare.
essendo
I
Allora immaginiamo che ne contenga 3 distinti:
sottogruppo, allora
3
D'ora in avanti si userà la notazione di Herstein. o(I) rappresenterà quindi l'ordine del
gruppo, o sottogruppo, nito I .
0.5. I GRUPPI DI ORDINE DISPARI
5
I = {1, i1 , i2 , i3 } allora
I . Nella
fattispecie deniremo Ik = {1, ik } : ik ∈ I e allora I = I1 × I2 = I1 × I3 = I2 × I3 :=
I1,2 . Ora, se esistesse i4 ∈ I : i4 ∈
/ I1,2 allora potrei computare I1,2,4 = I1,2 × I4 che
quindi dovrà contenere 8 elementi. 4 in I1,2 = {1, i1 , i2 , i3 } e gli altri 4 che saranno
I1,2 × i4 = {1 i4 , i1 i4 , i2 i4 , i3 i4 } tutti fra loro distinti e distinti dagli elementi in
I1,2 . Se quindi esistesse un nono elemento i8 allora potrei generarne altri 7 distinti
e distinti dai primi 8 e così via. Ciò detto conclude che se I comprende esattamente
Generalizziamo. Se
possiamo esprimere
k
I
I
contiene solo 4 elementi, diciamo
come somma diretta di altri due sottogruppi di
elementi diversi da 1, ciascuno dei quali non fattorizzabile come prodotto degli
altri k-1, come dire che sono indipendenti, allora l'ordine di
0.4. Sul valore di
Come detto alla sezione 1, abbiamo che se
2 =⇒ π = i, i ∈ I, i 6= 1.
Sia o(I) = 4 quindi I = {1, i1 , i2 , i3 }
i1 i2 i1 i2 = i1 i1 i2 i2 = 1 ∗ 1 = 1.
Theorem 0.4.1.
con
I
deve essere
2k .
π
o(I) = 1 =⇒ π = 1.
i3 = i1 i2 .
Allora
Se
o(I) =
π = i1 i2 i3 =
Se l'ordine di I è diverso da 2 allora π = 1
I è somma diretta dei k Ij come visto
I si può scomporre in modo unico come prodotto
a1 a2 ak
delle potenze di ih ovvero ∀i ∈ I =⇒ i = i1 i2 ..ik dove ∀h ∈ {1, 2, .., k}, ah ∈
4
{0, 1}. E' ovvio che quindi ci saranno la metà dei valori di i che conterranno ih
e l'altra metà no. E che questo vale per ogni fattore ij . Quindi se la metà degli
elementi di I è un multiplo di 2, il prodotto di tutti gli i conterrà un numero pari
di ogni fattore ih che quindi si elideranno tutti lasciando 1 come unico risultato.
Questo sarà certo vero se l'ordine di I è maggiore o uguale a 4 e per o(I) = 1 come
già visto.
Dimostrazione. Grazie al fatto che
precedentemente, ogni elemento di
Ne discende che quindi
Corollary 0.4.2.
π = i 6= 1 se e solo se o(I) = 2. Altrimenti π = 1.
0.5. I gruppi di ordine dispari
Perfetto, ora, grazie al teorema appena dimostrato, possiamo stabilire che per
TUTTI i gruppi abeliani niti di ordine dispari, l'ordine del sottogruppo delle radici
quadrate
5
delle unità (cioè
I)
deve essere 1, dato che 1 è l'unica potenza di 2 che
divide un numero dispari. Ma quindi il
π
di questi gruppi vale 1.
Questo indipendentemente che l'ordine sia primo o no. In un gruppo di ordine
dispari quindi l'elemento neutro (1) non ha nessuna radice quadrata eccetto quella
banale.
4
Si pensi al prodotto diretto visto prima. Si raggruppino tutti gli i in modo che prima si
mettano quelli che non contengono ik e poi tutti quelli che invece lo contengono. Le due classi
di elementi hanno la stessa cardinalità, che quindi è la metà di quella di I . Il ragionamento è
indipendente dal generico ik scelto e si conclude.
5
D'ora in avanti indicherò I come il sottogruppo delle radici quadrate dell'unità, ovviamente
per sottolineare che ∀i ∈ I =⇒ i ∗ i = i2 = 1.
0.7. CASI PARTICOLARI: I GRUPPI DI ORDINE 4
6
0.6. I gruppi di ordine pari
0.6.1. L'ordine sia pari ma non multiplo di 4. Sia l'ordine di
intero del tipo
l'ordine di
I
4n+2 = o , ovvero 2|o ma 4 - o .
A un numero
Da notare che in un gruppo siatto,
può quindi essere solo 1 o 2, a seconda che esista oppure no
i (il pedice
è in questo caso superuo).
Lemma 0.6.1. In un gruppo abeliano di ordine o = 2n, n ∈ N esiste sempre un
elemento diverso da 1 e inverso di sè stesso.
Dimostrazione. Come prima, consideriamo gli insiemi
I
e
Ic
. Questi due
insiemi ripartiscono completamente il gruppo e sono disgiunti, quindi la cardinalità
di A, l'insieme a supporto del gruppo di partenza, è uguale alla somma fra le
cardinalità di
I
e
Ic
.
Ma la cardinalità di A è pari per ipotesi.
precedenza (lemma 0.1.3) la cardinalità di
#I c =⇒ 2|#I
Ic
è pari. Ora,
. Quindi anche la cardinalità di
Quindi è almeno 2. Quindi
Lemma 0.6.2.
è unico.
I
Come visto in
2|o, 2|#I c =⇒ 2|o −
è pari e quindi non può essere 1.
∃i ∈ I : i 6= 1.
In un gruppo abeliano di ordine o = 4n + 2, n ∈ N l'elemento i
Dimostrazione. L'ordine di
I
è una potenza di 2 e l'unica potenza di 2,
positiva non nulla, che divide l'ordine del gruppo è 2. Quindi
I = {1, i}.
Theorem 0.6.3. In un gruppo abeliano di ordine 4n + 2 il prodotto di tutti gli
elementi, π , è uguale all'unica radice quadrata dell'unità: π = i.
Dimostrazione. Dal teorema 0.1.4 sappiamo che
soli gli elementi di
I.
π
è il prodotto di tutti e
Quindi per quanto appena detto nei due lemmi precedenti si
conclude.
Da notare che non si è mai fatto riferimento al fatto che
o = p − 1, p ∈ ℘.
0.6.2. L'ordine è multiplo di 4. In questo caso non si può escludere il fatto
4|o(I), e quindi, a meno di non conoscere altro sul gruppo, non si può dire nulla
π.
che
su
0.7. Casi particolari: I gruppi di ordine 4
Si considerino i seguenti gruppi abeliani dei quali è fornita la tabella di moltiplicazione per semplicità:
Gruppo A:
*
1
1
1
a
a
b
a
b
c
1
c
b
a
1
b
c
c
a
Gruppo B:
*
1
1
1
a
b
c
a
b
a
b
c
1
c
b
1
c
a
1
0.8. CONCLUSIONI
Il gruppo
gruppo
B
A
7
ha una sola radice quadrata di 1 non banale: l'elemento
A,
questo fatto sono interessanti: In un gruppo come il gruppo
l'equazione
se ammette una soluzione, allora ne ammette una seconda diversa.
x : x2 = k ;
che contraddice il lemma (0.6.1).
distinte, ovvero
x =k
x2 = k
Infatti sia
i l'altra radice quadrata di 1, ix : (ix)2 = i2 x2 = 1x2 = k .
x=
6 ix perchè se fossero uguali, per la legge di cancellazione,
Con ragionamento analogo, in un gruppo del tipo
2
Nel
allora detto
E' quindi ovvio che
i=1
a.
invece tutti gli elementi sono anche inversi di sè stessi. Le implicazioni di
I = {1, i1 , i2 , i3 }
e analogamente anche per
x2 = k
i2 e i3 .
e
Si nota subito che ogni elemento
z
B
allora anche
invece ci saranno 4 radici
y = i1 x : y 2 = (i1 x)2 =
si può scrivere come prodotto di
x,
ovvero
x2 = k e anche z 2 = k , ovvero z è un'altra soluzione
2
2
dell'equazione quadratica, allora x = k = z
=⇒ x2 = z 2 = (lx)2 = l2 x2 =⇒
2
l = 1 per la legge di cancellazione, e quindi l ∈ I e z appartiene al laterale Ix.
z = lx
per qualche l. Ma se
Tutto questo porta a dimostrare che
2
Theorem 0.7.1. In un generico gruppo abeliano nito, se l'equazione x =
k ammette soluzioni, allora esistono esattamente tante soluzioni distinte per ogni
elemento di I . Ovvero l'equazione x2 = k o non ha nessuna soluzione o ne ha
esattamente o(I).
Allo stesso tempo, l'esistenza del Gruppo
che se
4|o(A)
non c'è alcuna garanzia che
A e del gruppo B
4|o(I)
o
4 - o(I)
porta a concludere
anche se è probabile
cercare qualche altra conferma in gruppi di ordine 8 per vericare se eettivamente
si possono costruire gruppi in cui
o(I) = 2, 4, 8
senza problemi.
0.8. Conclusioni
Rimarrebbe forse da investigare quale sia la connessione fra il sottogruppo
fatto che il gruppo di partenza
A
I
e il
sia o meno ciclico. Quello che è però interessante
far notare sono le seguenti 3 indicazioni:
(1) Un gruppo abeliano di ordine dispari non ha radici quadrate dell'unità
non banali.
Quindi il prodotto di tutti i suoi elementi è sempre pari
all'elemento neutro.
(2) Un gruppo di ordine pari ma non multiplo di 4, anche se non nella forma
o(A) = p − 1, p ∈ ℘
, è tale che ammette una e una sola radice non banale
dell'elemento neutro. Quindi il prodotto di tutti i suoi elementi è pari a i.
(3) Negli altri casi dobbiamo aggiungere delle informazioni sul gruppo per
poterne inferire qualcosa sul suo
π
associato.
Si fa notare che per esempio il teorema di Wilson vale per
p = 17,
ovvero per un
gruppo di 16 elementi. E' comunque facile costruire un gruppo di 16 elementi in cui
tutti e 15 gli elementi diversi da 1 hanno ordine 2. Si prendano infatti 4 elementi
di ordine due ciascuno non fattorizzabile come prodotto degli altri 3. Il prodotto
diretto dei 4 sottogruppi di ordine 2 così ottenibili genera un gruppo di ordine 16
che è proprio il gruppo cercato.
Chissà che non ci sia una intima relazione fra i primi di Gauss (quelli nella
forma
4n + 3
che sono anche elementi primi nell'anello degli interi di Gauss) e
queste conclusioni. Si noti, per amore di chiacchiera, che i numeri primi che per
tradizione sono buoni (o fortunati) sono della forma
4n + 3 (come il 3 della trinità
che il 7 hanno valenze magiche un po' in tutte le culture). Quelli cattivi, per esempio
0.8. CONCLUSIONI
il 13 e il 17, sono di forma
segnalare.
4n + 1.
8
Certo è solo un caso, ma un caso divertente da