Secondo foglio di esercizi di Algebra
Congruenze
Esercizio 1. Siano a, b, c, d ∈ Z e n > 1 intero. Provare che se a ≡ b mod n e c ≡ d mod n
allora a + c ≡ b + d mod n e ac ≡ bd mod n.
Esercizio 2. Determinare, se esistono, tutte le soluzioni intere delle congruenze lineari
(1) 49x ≡ 24 mod 22;
(2) 15x ≡ 5 mod 18;
(3) 15x ≡ 10 mod 20.
Permutazioni
Esercizio 3. Determinare tutti gli interi k tali che (1, 2, 3, 4, 5, 6)k = (1, 5, 3)(2, 6, 4) in S6 .
Esercizio 4. Si consideri l’elemento σ ∈ S10 :
1 2 3 4 5
σ=
3 8 1 4 10
6 7 8 9
9 2 7 5
10
6
Scrivere σ come prodotto di cicli disgiunti, determinarne ordine e parità. Dire quante sono le
potenze distinte di σ ed elencarle.
Esercizio 5. Si consideri l’elemento σ ∈ S13 :
1 2 3 4 5 6 7
σ=
3 9 7 6 1 2 11
8
12
9 10
4 10
11
5
12
13
13
8
Scrivere σ come prodotto di cicli disgiunti, determinarne ordine e parità. Determinare tutti gli
interi k tali che σ k = (2, 4)(6, 9).
Gruppi
Esercizio 6. Si consideri il gruppo Z/18Z rispetto alla somma di classi di resto. Si determini,
per ciascun elemento, l’ordine e il sottogruppo ciclico che esso genera.
Esercizio 7. Siano a, b ∈ Z. Descrivere il sottogruppo di (Z, +), hai ∩ hbi.
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