Probabilità

Probability
of Simple
Events
vocabolario
Evento: risultato di un esperimento.
Spazio campionario omega Ω: insieme di tutti i
casi possibili di un esperimento.
Es: nel lancio di un dado: Ω={1,2,3,4,5,6}
Eventi incompatibili: non possono verificarsi
insieme. Sono disgiunti ( no casi comuni)
Eventi indipendenti: se il verificarsi del primo
evento non influenza il secondo.
Eventi complementari : “E” e “not E” sono
complementari se l’uno è la negazione all’altro.
Es: nel lancio dado: E=“n<3” notE=“n≥3”
NB: la loro unione forma lo spazio campionario .
La somma delle loro probabilità è 1
definizione classica di probabilità
E=evento
numero _ Casi _ Favorevoli C.F.
P(E) =
=
numero _ Casi _ Possibili C.P.
Si può applicare solo se lo spazio campionario Ω
soddisfa due ipotesi: Equiprobabile e Finito
Proprietà
P(E) è numero compreso fra 0 e 1
0 ! P(E) ! 1
La probabilità dell’evento certo è 1
P(Certo) = 1
La prob.dell’evento impossibile è 0
P(IMP) = 0
La probabilità dell’evento contrario “notE” è:
P(notE) = 1! P(E)
P(E)+ P(notE) = 1
Eventi complementari (contrari)
Due eventi E, notE sono complementari se sono
l’uno l’opposto dell’altro ( notE è contrario a E )
P(E)
E
P(NotE)
NotE
Not E
Es:E=“piove” notE=“non piove”
Poiché l’unione di E e not E
forma lo spazio campionario
La somma delle prob
di E e notE è 1
DA CUI:
La probabilità dell’evento contrario NotE è:
“1 MENO la probabilità dell’evento E ”
PROBABILITA’ CLASSICA
La probabilita’ di un evento può essere
espressa:
FRAZIONE :
1/4
Come PERCENTUALE UNITARIA
compresa fra 0 e 1:
0.25
come PERCENTUALE
compresa fra 0% e 100% :
25%
Come
LINEA DELLA PROBABILITA’
PROBABILITY LINE
0%
0
Impossible
25%
50%
75%
100%
¼ or .25
½ 0r .5
¾ or .75
1
Non molto
probabilii
ugualmente
probabili
molto
probabili
certo
Esercizi con
ESPERIMENTI CLASSICI
1) Lancio di una moneta
2) Lancio di un dado
3) Estrazione di una pallina da un’urna
4) Estrazione di una carta da un mazzo di
52 carte ( o 40 carte )
5) eventi complementari nel mazzo di carte
6) eventi complementari nel lancio di due
monete
1) LANCIO DI UNA MONETA
Qual è la probabilità che esca “TESTA”?
Ragiono così:
Ci sono 2 casi possibili ( TESTA o CROCE)
C’è un 1 caso favorevole ( TESTA)
La probabilità è 1 su 2 or 0.5 or 50%
1
P(TESTA) =
2
LA SOMMA
di tutte le probabilita’ è 1
2) LANCIO DI UN DADO
a) Qual è la probabilità di ottenere 4 ?
Ragiono: Quanti sono i Casi Possibili ?
Ω={1,2,3,4,5,6}
ci sono 6 casi Possibili
Quanti Casi Favorevoli? 1 Caso Fav = {4}
CF 1
P(4) =
= ! 0,17 = 17%
CP 6
b) un numero minore di 5 ?
Ragiono: 4 Casi Favorevoli { 1,2,3,4 } su 6 Casi Possibili
CF 4
P(n < 5) =
= ! 0, 67 = 67%
CP 6
2) LANCIO DI UN DADO
SPAZIO CAMPIONARIO Ω={1,2,3,4,5,6}
DIAGRAMMA AD ALBERO
NEI RAMI
SI SCRIVONO
LE PROBABILITA’
LA SOMMA di tutte le probabilita’ è =1
3)ESTRAZIONE DI UNA
PALLINA DA URNA
Un’urna contiene:5 palline Rosse,3 Verdi,2 Gialle.
Estraggo a caso una pallina.
Qual è la probabilità di ottenere :
a)Una pallina“Rossa”?
5
5 C.Favorevoli su 10
b)Una pallina“Verde”?
3 C.Favorevoli su 10
P(rossa) =
10
3
P(verde) =
10
c)Una pallina“NON Verde”? Evento contrario a
“Verde”
3 10 ! 3 7
P(NotVerde) = 1! P(Verde) = 1!
=
=
10
10
10
3)ESTRAZIONE PALLINA DA
URNA [5R,3V,2G]
Diagramma ad albero
La somma delle probabilità è 1 ( evento certo )
4) ESTRAZIONE DI UNA CARTA
DA UNA MAZZO DI 52 Carte
4 semi diversi: Fiori, Picche, Cuori e Quadri
10 carte numerate e 3 figure per ciascun seme
4) ESTRAZIONE DI UNA CARTA
DA UNA MAZZO DI 52 Carte
Qual è la probabilità di estrarre:
a) Una carta di “cuori”?
13
P(Cuori) =
52
b) Un “RE”?
4
P(RE) =
52
c) Una carta “rossa”?
26
P(Rossa) =
52
d) una carta“Non Cuori”?
Evento Contrario
a “Cuori”
13 52 !13 39
P(NotCuori) = 1! P(Cuori) = 1! =
=
52
52
52
5) Esempio con Eventi complementari
Estrai una carta dal mazzo di 52 carte.
a) Qual è la probabilita’ di estrarre
una figura?
12
P( figura) =
52
b)Qual è la probabilita’ di NON estrarre
una figura? Evento Contrario a “Figura”
12 52 ! 12 40
P(NotFigura) = 1! P(Figura) = 1! =
=
52
52
52
6) Esempio con Eventi complementari
LANCIO DUE MONETE
Trova la probabilità di ottenere:
a) mai TESTA ?
ragionamento: I CASI POSSIBILI sono 4:
TT TC CT CC
P(mai T) = P(CC) = 1 caso favorevole su 4
risposta : P(mai T)= 1/4
b) almeno una volta TESTA?
cioè (TT or CT or TC )
”almeno1voltaT” è Evento Contrario a “MaiT”
P(almeno1voltaT)=1 - P(MaiT) =1 - 1/4
= 3/4
PROBABILITA’
TOTALE
REGOLA DI ADDIZIONE
PROBABILITA’ DI “A O B”
1 caso REGOLA DI ADDIZIONE
Per EVENTI incompatibili (disgiunti)
Esempio guida
Estrazione di 1 carta da un mazzo di 52 carte.
Qual è la Probabilità di estrarre
un ASSO oppure un RE ?
Non hanno
casi
in comune !!!
P(ASSO or RE ) = P(Asso) + P(RE) =
= 4/52 + 4/52 = 8/52
1 caso REGOLA DI ADDIZIONE
Per EVENTI incompatibili (disgiunti)
regola
A
B
Non hanno
casi
in comune
SE DUE EVENTI A , B SONO INCOMPATIBILI
( DISGIUNTI) , LA PROBABILITA’ DI OTTENERE
“A OPPURE B” è LA SOMMA DELLE
PROBABILITA’ DEI SINGOLI EVENTI
.
P(A U B) = P(A) + P(B)
O = UNIONE
2 caso REGOLA DI ADDIZIONE
PER EVENTI compatibili (non disgiunti)
Esempio guida : Estraggo 1 carta da un mazzo di 52 carte
Qual è la Probabilità di estrarre
una carta di CUORI oppure un RE?
C’è 1 caso comune:
il “Re di Cuori”
Sommando P(Cuori)+P(Re) il“RE di Cuori” è contato
due volte pertanto devo toglierlo dalla somma.
P(C or R) = P(C) + P(R) - P(entrambi)=
=13/52 + 4/52 –1/52 = 16/52
2 caso: REGOLA DI ADDIZIONE
PER EVENTI compatibili (non disgiunti)
Se due eventi A , B sono COMPATIBILI
LA PROBABILITà DI “ A or B” ( UNIONE) è :
LA SOMMA delle probabilità di ciascuno
MENO la probabilità di entrambi.
O = UNIONE
E = INTERSEZIONE
P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
RIEPILOGO : REGOLA DI ADDIZIONE
Probabilita’ totale
1 caso
2 caso
EVENTI INCOMPATIBILI
disgiunti:no casi comuni
EVENTI COMPATIBILI
Hanno casi comuni
A∩B =
A
B
or
P(AUB) = P(A) + P(B)
P(A OR B) =
Somma delle probabilità di ciascuno
or
And
P(A U B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
P(A OR B) =
Somma delle probabilità di ciascuno
MENO
la probabilità di entrambi
TRY IT YOURSELF
TEST 1
Estraggo una carta di un mazzo di 52 carte.
Qual è la probabilità di estrarre:
1: un asso oppure una figura?
2: un asso oppure una carta Rossa?
3: una carta di picche oppure un fante?
AN
R
E
SW
1
TEST 1
P( Asso oppure una figura)?
P(Ace)=4/52
Figures
Aces
P(Figure)=12/52
 gli eventi sono disgiunti quindi non hanno casi
in comune
P(A U B) = P(A) + P(B)
OR
P(Asso OR Figura) = 4/52+12/52 = 16/52
A
W
S
N
ER
2
TEST 1
P( Asso oppure carta rossa)?
Aces
Red cards
P(Asso)=4/52
P(carta rossa)=26/52
 questi eventi NON SONO DISGIUNTI QUINDI
hanno casi in comune ( intersezione)= 2 assi rossi
P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
OR U unione
AND ∩ Intersezione
P(Asso OR C.rossa) = 4/52+26/52-2/52 = 28/52
SW
AN
ER
TEST 1
3
P(una carta di picche oppure un fante)?
fante
PICCHE
FANTI
P(Picche)=13/52
P(fante)=4/52
 questi eventi NON SONO DISGIUNTI QUINDI
hanno casi in comune ( intersezione)= 1 fante di
picche
P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
OR U unione
AND ∩ Intersezione
P(picche OR fante) = 13/52+4/52-1/52 = 16/52
TRY IT YOURSELF
TEST 2 -LANCIO DADO
Qual è la probabilità di estrarre:
1: un numero pari o un 5?
2: un numero pari o un numero maggiore di 3?
3: un numero pari oppure un multiplo di 3?
R
E
W
S
N
A
1
TEST 2 -LANCIO DADO
2-4-6
1: un numero pari o un 5?
Sono disgiunti? SI , sono incompatibili
P(A U B) = P(A) + P(B)
3 1 4
P( pari ! o ! 5) = + =
6 6 6
AN
R
E
SW
2
TEST 2 -LANCIO DADO
2-4-6
4-5-6
2: un numero pari o un numero maggiore di 3?
Sono disgiunti? NO : hanno 2 casi in comune
P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
3 3 2 4
P( pari _ OR _ N > 3) = + ! =
6 6 6 6
AN
R
E
SW
3
TEST 2 -LANCIO DADO
2-4-6
3-6
3: un numero pari oppure un multiplo di 3?
Sono disgiunti? NO : hanno 1 caso in comune
P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
3 2 1 4
P( pari _ OR _ multiplo3) = + ! =
6 6 6 6