Lezione 10

Lezione 10
La Statistica Inferenziale
Filosofia della scienza
Secondo Aristotele, vi sono due vie attraverso
le quali riusciamo a formare le nostre
conoscenze:
(1) la deduzione
(2) l’induzione.
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Problema dell’induzione
Tutte le inferenze tratte dall’esperienza
suppongono, come loro fondamento, che il
futuro rassomiglierà al passato e che poteri
simili saranno uniti a simili qualità sensibili.
Se ci fosse qualche sospetto che il corso
della natura potesse cambiare e che il
passato non servisse di regola per il futuro,
ogni esperienza diverrebbe inutile e non
potrebbe dare origine ad alcuna inferenza o
conclusione.
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Teoria della Falsificazione
Popper afferma che il metodo che consente
agli scienziati di trovare le teorie vere è:
falsificare le teorie false sulla base delle
evidenze empiriche.
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Falsificazionismo e inferenza
statistica
L’approccio “falsificazionista” di Popper viene usato
nella statistica per formulare delle inferenze che,
sulla base delle informazioni fornite da un campione
di osservazioni, ci consentono di descrivere le
caratteristiche della popolazione da cui quel
campione è stato tratto.
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Soluzione pragmatica al problema
dell’induzione
Ovviamente, si può cercare di superare questo problema cercando
di mostrare che non è vero che le inferenze induttive siano
ingiustificate. La soluzione moderna a questo problema è la
concezione probabilistica dell’induzione. Quando un certo
carattere ricorre in una certa proporzione di osservazioni, si può
assumere che questa proporzione valga per tutti gli altri esempi
del caso, salvo prova contraria.
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Esempio 1
Il responsabile controllo qualità di un’azienda
che produce bibite, sospetta che il
macchinario di riempimento delle lattine, sia
fuori taratura, immette cioè maggior prodotto
di quanto riportato sulla etichetta.
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Esempio 2
Il proprietario di un’azienda vinicola, sospetta
che alcune bottiglie siano state chiuse male e
che quindi il sapore del vino di queste
bottiglie sia alterato….
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Alcune definizioni
Eventi incompatibili
Dati due eventi A e B, sono detti incompatibili se il verificarsi dell’uno
esclude l’altro
Lancio di una moneta
Evento A: Testa
Evento B: Croce
La probabilità del verificarsi dell’uno O dell’altro evento è data dalla somma
delle probabilità dei singoli eventi:
P(A U B)= P(A) + P(B) (principio delle probabilità totali)
La probabilità del verificarsi dell’uno E dell’altro evento:
P(A ∩ B)= P(A) ∩P(B)=0
E’ possibile generalizzare questi risultati ad n eventi
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Eventi Incompatibili
P(A)
Eventi Compatibili
P(B)
P(A)
P(B)
Si estrae una carta da un mazzo francese (52 carte, 4 semi)
Evento A=carta di cuori
Evento B= sette
P(AUB)=P(A)+P(B)
13/52
4/52
Conteggiamo l’evento comune due volte
Quindi per eventi compatibili
P(A U B)=P(A)+P(B)-P(A ∩B)
P(Cuori o Sette)= P(Cuori)+P(Sette)-P(Sette di Cuori)=
=4/13
1/4 + 1/13 1/52
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ESERCIZIO
Prendendo un mazzo di carte francesi ben mescolato e
pescando a caso da questo, si valutino le
seguenti probabilità:
a) di ottenere l’asso di quadri;
b) di ottenere un asso;
c) di ottenere un asso come seconda carta, ammesso di
avere già pescato una figura (senza
reintrodurla nel mazzo);
d) di ottenere tre figure (sempre senza reimmissione delle
carte estratte nel mazzo).
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Probabilità condizionata
Dati due eventi A e B appartenenti allo spazio campionario Ω,
compatibili tra di loro.
La probabilità che l’evento A si verifichi, una volta verificatosi
l’evento B, o in altri termini , la probabilità condizionata di A dato
B, è pari a :
P( A | B) =
Ω
B
P( A ∩ B)
P( B)
P(A ∩B)
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A
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Esempio
Si lanci una coppia di dadi. Se la somma è 6 (evento B), si calcoli la
probabilità che uno dei due dadi abbia dato l’esito 2.
B = {somma = 6} = {(1,5) , ( 2, 4 ) , ( 3,3) , ( 4, 2 ) , ( 5,1)}
A= un 2 su un dado
{( ) ( )}
(A ∩B)= 2, 4 , 4, 2
Poiche lo spazio campionario è costituito da 36 elementi
P(A ∩B)=2/36
P(B)=5/36
2
P( A ∩ B)
2
36
=
=
P( A | B) =
5
P( B)
5
36
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Nel caso in cui siano indipendenti (e non mutualmente
escludentesi)
P ( A | B) = P( A)
Poiché
P( A ∩ B) = P( A) P ( B )
In modo analogo
P ( A | B ) = P ( A)
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Differente utilizzo delle probabilità
condizionate
P( A ∩ B)
P( A | B) =
P( B)
P ( A ∩ B ) = P( B) P( A | B) = P( A) P( B | A)
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Diagrammi ad Albero
Uno strumento efficace e di facile costruzione per calcolare le
probabilità di ogni evento è rappresentato dal diagramma ad
albero.
Esempio
Una moneta,modificata in modo che P(T)=2/3 e P(C)=1/3,
Viene lanciata. Se si presenta croce, viene scelto a caso un numero
tra 1 e 5, se si presenta testa, viene scelto un numero a caso tra
1 e 9.
Si determini la probabilità che venga scelto un numero pari.
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Teorema di Bayes
Siano H1, H2 ,…,Hn una partizione dello spazio campionario Ω, cioè
che gli eventi Ai siano incompatibili e che la loro unione sia Ω.
La probabilità condizionata che si verifichi l’evento Hi dato l’evento A
è pari a
P( H i ) P( A | H i )
P( H i | A) =
P ( H1 ) P ( A | H1 ) + L + P ( H n ) P ( A | H n )
P(Hi|A) probabilità a posteriori
P(Hi) probabilità a priori
P(A|Hi) probabilità probativa
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Esempio
Dei ragazzi fanno uno scherzo ad un amico, accompagnandolo ad
una festa a tema dove tutti, uomini e donne sono vestiti da donne
e sono indistinguibili a vista.
Alla festa partecipa il 20% di donne
Il 40% delle donne ed il 70% degli uomini sono favorevoli ad una
love story.
Il ragazzo mentre balla con un partecipante alla festa
(uomo/donna??), lo invita a bere qualcosa e si appartano nel
privé del locale.
All’uscita della festa, gli amici gli raccontano dello scherzo. Il
ragazzo, preoccupato si rivolge ad uno statistico e gli chiede: “
Qual è la probabilità che, dato che abbia avuto una relazione con
questa persona, sia donna?”
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