BREVI APPUNTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITA` E GIOCHI D

BREVI APPUNTI
DI CALCOLO DELLE PROBABILITA’
E GIOCHI D’AZZARDO
a cura di M.Tonutti
• Lanciamo un dado: qual è la probabilità che venga due?
E’ 1/6, perché la
casi favorevoli
probabilità = ----------------------------casi possibili
Perciò la probabilità che venga un numero pari è p = 3/6 = 1/2
• Lanciamo due dadi: qual è la probabilità fare 4 ?
Valuto i casi favorevoli:
I dado
II dado
totale
1
3
4
2
2
4
3
1
4
Sono tre, quelli possibili sono 36, infatti dobbiamo contare tutte le possibili coppie
formate dalle 6 facce del primo dado combinate con le 6 facce del secondo dado:
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) …. (2,1) (2,2) … (3,1) ( 3,2) … (4,1) (4,2) … (5,1)
(5,2) … (6,1) (6,2) … (6,6)
C (6 facce, 2 dadi) = 62
p = 3/36
• Estraggo due carte da 2 mazzi da 40: quale probabilità ho di ottenere 2 donne?
Coppie a favore: (donna picche, donna picche)
(donna picche,donna cuori)
(donna picche,donna denari)
(donna picche,donna fiori)
(donna cuori,donna picche)
.
.
.
(donna denari,donna picche)
.
.
.
(donna fiori, donna picche)
.
.
(donna fiori,donna fiori)
sono 16 coppie.
Coppie possibili : 40 carte e 2 mazzi danno: 402 = 1600
P = 16/1600 = 1/100
OSSERVA:
la probabilità è un numero compreso tra 0 e 1, calcolata in percentuale è compresa tra
0 e 100
0 = probabilità dell’evento impossibile
1 = probabilità dell’evento certo
• Estraiamo una carta dal mazzo da 40:
probabilità che sia una figura: 12/40
probabilità che non sia una figura: 28/40
probabilità che sia una figura di cuori: 3/40
probabilità che sia una donna di cuori: 1/40
Se la carta viene rimessa nel mazzo, gli eventi considerati sono indipendenti tra loro,
questo significa che il verificarsi dell’uno non altera la probabilità del verificarsi
degli altri.
• Giochiamo a tombola: quale probabilità ho di estrarre un numero da 1 a 90?
Naturalmente 1/90. E se è da tanto tempo che non esce? Ancora 1/90!
Ricorda che nel gioco del lotto vengono reimbussolati tutti i numeri prima della
successiva estrazione, come d’altra parte al Bingo.
• Estraggo da due mazzi da 40 una carta per ciascun mazzo.
Qual è la probabilità p che la prima sia un asso e che la seconda sia una figura?
I due eventi sono indipendenti, passo = 40 , pfigura = 12/40
p = 4/40 * 12/40 = 3/100
• Estraggo una carta da un mazzo di 52: qual è la probabilità p che sia figura o
quadri?
I due eventi non sono incompatibili :
pfigura = 12/52 , p quadri = 13/52 , pfigura di quadri = 3/52 allora
p = 12/52 + 13/52 - 3/52 = 11/26
Frequenza relativa
E’ importante non confondere la probabilità con la frequenza relativa: su 400 lanci di
un dado è comparso 71 volte il numero 3.
La sua frequenza relativa è 71 /400 = 0,1775
Su 400 lanci qual è la probabilità che compaia il numero tre?
P = 1/6 = 0,1(6)
Si è portati a pensare che più il numero delle prove aumenta più f tende ad essere
uguale a p ( è la Legge dei grandi numeri), ma non vi è certezza.
Giochi di sorte
• Scommetto 20 euro sull’uscita del 6 nel lancio di un dado. Chiamo speranza
matematica il prodotto 20 * p = 20 * 1/6 euro = 1.25 euro
• Lancio due dadi . ricevo 90 euro quando esce 12, 20 euro quando esce 4 e
perdo 3 euro negli altri casi: la mia speranza matematica è
1/36 + 20 * 3/36 - 3 * 32/36 = 1,5 euro
La speranza matematica rappresenta la vincita media che il giocatore avrebbe per
partita nel caso nel caso ne facesse tante.
Giochi equi
Un gioco tra due persone è equo quando la speranza matematica è nulla, cioè quando
effettuando un gran numero di partite , il giocatore chiude senza perdite né guadagni
• Ad un giocatore viene proposto questo gioco. Estraendo una carta dal mazzo
da 40 carte egli vince 2 euro se la carta è inferiore a al 5, vince 5 euro se la
carta è un 5, perde 3 euro in ogni altro caso. Il gioco gli conviene?
Calcoliamo la speranza matematica in euro del giocatore:
2 * 16/40 + 5 * 4/40 - 3 * 20 /40 = -0.2
è negativa, il gioco non gli conviene.
• In un gioco di sorte si conviene che un giocatore vinca 10 euro se l’esito del
gioco gli è favorevole e perda 4 euro in caso contrario.
Sapendo che la probabilità di vincere del giocatore è 2/7, stabiliamo
se il gioco è equo
La probabilità di perdere è 1-2/7 = 5/7, la speranza matematica è
10 * 2/7 - 4 * 5/7 = 0
il gioco è equo.
Giocare alle lotterie può essere divertente, ma bisogna sapere che tutte le lotterie e i
giochi d’azzardo non sono mai equi.
Per esempio nel SuperEnalotto la probabilità di fare 6 è1/622.614.630 , quindi il
gioco sarebbe equo se il primo premio raggiungesse la cifra di 311.307.315 euro ( più
di 300 milioni!). In realtà i premi raggiungono cifre nell’ordine della decina di
milioni di euro.
Anche in un casinò le vincite non sono calcolate in modo equo. E’ chiaro che chi
organizza il gioco fissa le vincite tenendo conto del calcolo delle probabilità e fa in
modo che la speranza matematica del giocatore sia negativa.
Su un grande numero di giocate è molto probabile una perdita dei giocatori
sufficiente a coprire le spese a garantire un profitto.