Dispense

Progetto lauree scientifiche - Unione Matematica Italiana
Progetto Olimpiadi della Matematica
Incontri Olimpici 2012
Stage per insegnanti su argomenti di Matematica Olimpica
Grand Hotel San Michele
Cetraro (CS) - 7-10 Ottobre 2012
µ ¶
r
(a + b)!
r!
Un coefficiente binomiale
può essere scritto nella forma
=
k
(r − k)!k!
a!b!
dopo un opportuno cambio di variabili; questo un coefficiente trinomiale, che
nasce nel ‘teorema trinomiale’:
n
(x + y + z) =
X
0≤a,b,c,≤n
¶
¶µ
µ
a+b+c b+c a b c
x y z
c
b+c
(1)
µ ¶µ ¶
r
m
Perciò
è in realtà un coefficiente trinomiale camuffato. I coefficienti trim
k
nomiali si presentano occasionalmente nelle applicazioni, per comodità possiamo
scriverli come:
µ
¶
a+b+c
(a + b + c)!
=
a!b!c!
a, b, c
per mettere in evidenza la simmetria che è presente in essi.
I coefficienti binomiali e trinomiali si generalizzano ai coefficienti multinomiali
che sono sempre esprimibili come prodotti di coefficienti binomiali:
µ
¶
a1 + a2 + · + am
=
a1 , a2 , ·, am
(a1 + a2 + · + am )!
a1 !a2 ! · am !
µ
¶ µ
¶
a1 + a2 + · + am
am−1 + · + am
=
·
a1 + a2 + · + am
am
(2)
(3)
Dunque, quando ci troviamo di fronte ad un mostro come questo possiamo applicare le nostre tecniche standard.
La tabella seguente elenca le identità che costituiscono le più importanti tecniche standard; sono quelle su cui fare affidamento quando occorre lottare con
Incontri Olimpici 2012
2
una somma che contiene un prodotto di coefficienti binomiali. Ognuna di queste
è una somma su k con k che compare una volta in ogni coefficiente binomiale.
Ognuna di queste identità è una somma su k, con k che compare una volta in
ogni coefficiente binomiale: vi sono anche quattro parametri quasi indipendenti,
chiamati m, n, r, eccetera, uno in ogni indice. Sorgono diversi casi a seconda che
k compaia nell’indice superiore o inferiore e che abbia segno più o meno; talvolta
è presente un altro fattore (−1)k necessario perchè i termini siano sommabili in
forma chiusa.
E’ veramente troppo complicata!! Non può essere memorizzata, dovrebbe essere
usata come riferimento. La prima identità è però la più importante, è quella
che dovrebbe essere ricordata meglio. Essa stabilisce che la somma (su tutti gli
interi k) dei prodotti dei due coefficienti binomiali, nei quali gli indici superiori
siano costanti e quelli inferiori abbiano una somma costante per tutti i k sia il
coefficiente binomiale ottenuto sommando gli indici superiori e inferiori; è nota
come convoluzione di Vandermonde, perchè Alexandre Vandermonde (Parigi, 28
2 1735 - Parigi 1 1 1796) scrisse un articolo significativo al riguardo; comunque
era già nota a Chu Shih - Chieh (1280 - 1303) in Cina addirittura all’inizio del
XIV secolo!!
Tutte le altre identità possono essere ottenute dalla convoluzione di Vandermonde
negando gli indici superiori o applicando le proprietà di simmetrie o con procedimenti di questo tipo, con un poco di attenzione; la convoluzione di Vandermonde
è in assoluto quella fondamentale!
Incontri Olimpici 2012
Somme di prodotti di coefficienti binomiali:
X µ r ¶µ s ¶ µ r + s ¶
=
m+n
n−k
m+k
k
¶
¶
µ
¶µ
µ
X
l+s
s
l
=
l−m+n
n+k
m+k
k
µ
¶µ
¶
µ
¶
X
l
s+k
k
l+m s − m
(−1) = (−1)
m+k
n
n−l
k
µ
¶µ
µ
¶
¶
X l−k
s
k
l+m s − m − l
(−1) = (−1)
m
k−n
l−m−n
k≥l
µ
¶µ
¶
µ
¶
X l−k
q+k
l+q+1
=
m
n
m+n+1
3
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
0≤k≤l
Alexandre Vandermonde scrisse un significativo articolo al riguardo, nel lontano
1700; comunque questo risultato era già noto a Chu Shih-Chieh in Cina addirittura nel 1303. Tutte le altre identità binomiali possono essere ottenute dalla
convoluzione di Vandermonde negando gli indici superiori o applicando la proprietà di simmetria o con procedimenti di questo tipo, con un poco di attenzione;
la convoluzione di Vandermonde è in assoluto quella fondamentale.
Possiamo dimostrare questa fondamentale identità dandole una simpatica interpretazione combinatoria: se sostituiamo k con k − m e n con n − m possiamo
assumere che m = 0, quindi l’identità da dimostare è:
X µ r ¶µ s ¶ µr + s¶
n intero.
=
n
n−k
k
(9)
k
Inizialmente supponiamo r e s interi non negativi; il caso generale seguirà poi
¶
µ
r+s
è il numero di modi per scegliere
dall’argomento polinomiale. A destra,
n
n persone tra r uomini e s donne; a sinistra ogni termine della somma rappresenta il numero di modi per scegliere k uomini e n − k donne; se sommiamo su k
contiamo ogni possibilità esattamente una volta.
Consideriamo le dimostrazioni di altre due indentità per esempio della seconda.
E’ facile dimostrarla, tutto ci che dobbiamo fare è sostituire il primo coefficien-
Incontri Olimpici 2012
4
te binomiale con ll − m − k, poi applicare la convoluzione di Vandermonde. La
successiva è un poco più difficile; possiamo ridurla alla convoluzione di Wandermonde con una sequenza di trasformazioni. ma ugualmente facile dimostrarla
ricorrendo alla vecchia fidata tecnica dell’induzione matematica. L’induzione è la
prima tecnica da utilizzare quando non sappiamo che altro fare, e in questo caso,
l’induzione su l funziona!!
Per il passo iniziale l = 0 è sufficiente osservare che tutti i termini sono nulli tranne
¡
¢
quando k = −m, perciò entrambi i membri dell’ugualglianza sono (−1)m s−m
n ;
ora supponiamo che l’identità valga per tutti i valori di un valore fissato l do¡ l ¢
ve l > 0, possiamo utilizzare la formula di addizione per sostituire m+k
con
¡ l−1 ¢
m+k−1 , adesso la somma di partenza si spezza in due somme, ognuna delle
quali può essere calcolata, grazie all’ipotesi di induzione:
X µ l − 1 ¶µs + k ¶
X µ l − 1 ¶µs + k ¶
(−1)k +
(−1)k =
m+k
n
m+k−1
n
k
k
µ
¶
µ
¶
s
−
m
s−m
l−1+m
l−1+m
(−1)
+ (−1)
+
n−l+1
n−l+1
µ
¶
s−m+1
(−1)l+m
.
n−l+1
E questo permette di semplificare la parte destra di (6) se applichiamo la formula
di addizione ancora una volta.
In questo procedimento di deduzione due cose sono degne di nota: la prima
è che ci rendiamo conto ancora una volta quanto sia conveniente sommare su
tutti gli interi k, non soltanto su un certo intervallo, perchè non c’ bisogno di
occuparsi delle condizioni agli estremi; la seconda è che la formula di addizione
funziona bene con l’induzione matematica, perchè è una ricorrenza per coefficienti
binomiali. Un coefficiente binomiale il cui indice superiore è l viene espresso in
termini di due i cui indici superiori sono l − 1 e questo è esattamente ciò di cui
abbiamo bisogno per applicare l’ipotesi di induzione.
5
Incontri Olimpici 2012
Analoghi discorsi potrebbero essere fatti per somme con tre o più coefficienti
binomiali.
Le dieci più importanti identità sui
µ ¶
n
n!
=
k
k!(n − k)!
µ ¶ µ
¶
n
n
=
k
n−k
µ
¶
µ ¶
r
r r−1
=
k k−1
k
X µr ¶
xk y r−k = (x + y)r
k
k
X µr + k ¶ µr + n + 1¶
=
k
n
k≤n
µ
¶
µ
¶
X
k
n+1
=
m
m+1
0≤k≤n
¶
¶
µ
¶µ
µ
X r
r+s
s
=
n
n−k
k
coefficienti binomiali:
Sviluppo fattoriale
Simmetria
Assorbimento/estrazione
teorema binomiale
sommatoria parallela
sommatoria superiore
convoluzione di Vandermonde
k
Esempio 1. Una somma di rapporti
Ci piacerebbe avere una formula chiusa per:
m µ ¶ µ ¶
X
n
m
:
k
k
k=0
A prima vista questa somma provoca il panico perché non abbiamo visto nessuna
identità che contenga un quoziente di coefficienti binomiali. Comunque, proprio
come possiamo utilizzare le rappresentazioni fattoriali per esprimere un prodotto
di coefficienti binomiali come un nuovo prodotto possiamo fare lo stesso con un
quoziente; in effetti possiamo evitare le noiose rappresentazioni fattoriali ponendo
µ ¶µ ¶ µ ¶µ
¶
r
m
r
r−k
r = n e dividendo entrambi i membri dell’uguaglianza
=
m
k
k
m−k
µ ¶µ ¶
n
n
; otteniamo:
per
m
k
¶ µ ¶
µ ¶ µ ¶ µ
n
n−k
n
m
:
=
:
m
m−k
k
k
6
Incontri Olimpici 2012
Perciò possiamo sostituire il quozaiente di sinistra, che compare nella nostra
somma, con quello di destra: la somma diventa:
¶ µ ¶
m µ
X
n−k
n
:
.
m−k
m
k=0
Abbiamo ancora un quoziente, ma il coefficiente binomiale che sta al denominatore non contiene l’indice di sommatoria k, perciò possiamo eliminarlo dalla
somma, rimettendolo al proprio posto più tardi. Possiamo anche semplificare le
condizioni agli estremi sommando su tutti i k ≥ 0; i termini per k > m sono nulli
e la somma che ne risulta non ci fa più tanta paura:
Xµn − k¶
.
m−k
k≥0
Il prossimo passo dovrebbe essere ovvio: esiste solo una cosa sensata da fare:
Xµn − k¶
k≥0
m−k
X µ n − (m − k) ¶
=
m − (m − k)
m−k≥0
µ
X n − m + k¶
=
k
k≤m
Ora sfruttando l’identità della sommatoria parallela
X µn − m + k ¶ µ(n − m) + m + 1¶ µn + 1¶
=
=
k
m
m
k≥m
µ ¶
n
che in precedenza avevamo tolto poi
Infine, rimettiamo al denominatore
m
applichiamo la proprietà di assorbimento/estrazione e otteniamo la formula chiusa
desiderata:
µ
¶ µ ¶
n
n+1
n+1
.
=
:
n+1−m
m
m
Questa deduzione in realtà funziona per qualsiasi valore reale di n, a meno che
non si presenti una divisione per 0, vale a dire purchè n non sia uno degli interi
0, 1, . . . , m − 1.
7
Incontri Olimpici 2012
Quanto più complicata è la deduzione tanto più importante è verificarne la risposta: questa non era troppo complicata.
Nel caso m = 2 e n = 4 abbiamo:
µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶
4
1 1
2
4
2
4
2
5
=1+ + =
/
+
/
+
/
2
2
1
1
0
0
2 6
3
che si accorda perfettamente con la nostra forma chiusa (4 + 1)/(4 + 1 − 2)
1
Le Funzioni generatrici
Eccoci ora al concetto pi importante di tutto il libro, la nozione di funzione
generatrice.
Una successione infinita {a0 .a1 , a2 , . . . } pu essere rappresentata
convenientemente come una serie di potenze in una variabile ausiliaria z:
A(z) = a0 + a1 z + a2 z 2 + · =
X
ak z k .
(10)
k≥0
Le funzioni generatrici ci forniscono un potente metodo per scoprire e/o dimostrare delle identità; per esempio il teorema binomiale ci dice che (1 + z)r è la
½µ ¶ µ ¶ µ ¶
¾
r
r
r
funzione generatrice per la successione
,
,
, ... :
0
1
2
X µr ¶
(1 + z) =
zk
k
r
k≥0
Similmente
s
(1 + z) =
X µs¶
k≥0
k
zk
Se moltiplichiamo queste due espressioni, otteniamo un’altra funzione generatrice:
(1 + z)r (1 + z)s = (1 + z)r+s
8
Incontri Olimpici 2012
E ora arriviamo al punto: se ugualgliamo i coefficienti di z n nei due membri di
questa equazione otteniamo:
¶
¶ µ
n µ ¶µ
X
r+s
s
r
=
n
n−k
k
k=0
Abbiamo scoperto la convoluzione di Vandermonde!!!
Facciamo un altro esempio. Questa volta ci serviremo di (1 − z)r , che è la funzione
¾
½
µ ¶¾ ½µ ¶ µ ¶ µ ¶
r
r
r
n r
, . . . . Molti,
,−
generatrice per la successione (−1)
=
2
1
0
n
plicando per (1 + z)r otteniamo un’altra funzione generatrice di cui conosciamo
i coefficienti:
¢r
¡
(1 − z)r (1 + z)r = 1 − z 2 .
Uguagliando i coefficienti di z n otteniamo ora l’equazione:
¶
µ
¶
n µ ¶µ
X
r
r
r
(−1)k = (−1)n/2
k
n−k
n/2
n pari
(11)
k=0
Dovremmo verificare questa equazione in uno o due casi semplici: quando n = 3,
per esempio il risultato è:
µ ¶µ ¶ µ ¶µ ¶ µ ¶µ ¶ µ ¶µ ¶
r
r
r
r
r
r
r
r
−
+
−
=0
0 3
1 2
2 1
3 0
Ogni termime positivo è cancellato da un corrispondente termine negativo; la
stessa cosa capita ogni volta che n dispari, per cui in questo caso la somma non
è molto interessante. Quando n è pari, però per esempio n = 2, otteniamo una
somma non banale che è diversa dalla convoluzione di Vandermonde:
µ ¶µ ¶ µ ¶µ ¶ µ ¶µ ¶
µ ¶
r
r
r
r
r
r
r
−
+
=2
− r2 = −r
0 2
1 1
2 0
2
Dunque è verificato per n = 2.
I coefficienti binomiali si presentano anche in altre funzioni generatrici, in particolare nelle seguenti importanti identità in cui l’indice inferiore è fisso e l’indice
9
Incontri Olimpici 2012
superiore varia:
X µn + k ¶
1
zk
=
n
(1 − z)n+1
k≥0
n
X µk ¶
z
=
zk
n
(1 − z)n+1
n intero non negativo
(12)
n intero non negativo
(13)
k≥0
La seconda identità non è altro che la prima moltiplicata per z n , ossia spostata
a destra di n posti; la prima identità è soltanto un caso particolare del teorema
binomiale, un poco camuffato: se sviluppiamo (1 − z)−n−1 il coefficiente di z k
µ
¶
µ
¶ µ
¶
−n − 1
k+n
n+k
k
è
(−1) , che può essere reiscritto come
o
, negando
k
k
n
l’indice superiore. Questi casi particolari sono degni di nota perchè si presentano
spesso nelle applicazioni.
Quando n = 0 otteniamo un caso particolare di un altro caso particolare, la serie
geometrica:
X
1
= 1 + z + z2 + z3 + · · · =
zk .
1−z
k≥0
Questa è la funzione generatrice per la successione {1, 1, 1, . . . }, ed è particolare utile perchè la convoluzione di qualunque altra successione con essa è una
successione di somme: quando bk = 1 per tutti i k si riduce a:
cn =
n
X
ak
k=0
Perciò se A(z) è la funzione generatrice per gli addendi {a0 , a1 , a2 , . . . },allora
A(z)/(1 − z) è la funzione generatrice per le somme {c0 , c1 , c2 , . . . }.
2
Risoluzioni delle ricorrenze
Ora focalizziamo la nostra attenzione su una delle più importanti applicazioni
delle funzioni generatrici: la risoluzione delle relazioni di ricorrenza.
10
Incontri Olimpici 2012
Data una successione {gn } che soddisfa una ricorrenza data, cerchiamo una forma
chiusa per gn in termini di n. La determinazione di una soluzione questo problema
tramite le funzioni generatrici avviene in quattro passi, pressochè meccanici, tali
da consentire anche la loro programmazione su un computer.
1. Scriviamo una singola equazione che esprima {gn } in termini degli altri
elementi della successione; assumendo che g−1 = g−2 = · · · = 0, questa
equazione dovrebbe valere per tutti gli interi n.
2. Moltiplichiamo entrambi i membri dell’equazione per z n e sommiamo su
X
gn z n ,
tutti gli n; questo procedimento fornisce, a sinistra, la somma
n
che è la funzione generatrice G(z). Il membro di destra dovrebbe essere
manipolato in modo che diventi un’altra espressione contenente G(z).
3. Risolvendo l’equazione risultante otteniamo una forma chiusa per G(z).
4. Sviluppiamo G(z) in serie di potenze e consideriamo i coefficienti di z n ,
questi ultimi sono una forma chiusa per gn .
Questo metodo funziona perchè la singola funzione G(z) rappresenta l’intera
successione {gn } in un modo per cui sono possibili manipolazioni.
Esempio 2. Esaminiamo il procedimento con il quale si possono ricavare i numeri
di Fibonacci, con sistematicità!!
La ricorrenza è data da:



0
se n ≤ 0



gn =
1
se n = 1




 gn−1 + gn−2 se n > 1
11
Incontri Olimpici 2012
ma questo è barare, il passo 1 in realtà richiede una formula che non coinvolga
una costruzione con diversi casi. L’equazione singola:
gn = gn−1 + gn−2
è valida per n ≥ 2 e anche quando n ≥ 0 (poichè abbiamo posto g0 = 0 e
gnegativo = 0); quando n = 1 però otteniamo 1 a sinistra e 0 a destra. Fortunatamente il problema si aggiusta facilmente, perchè possiamo sommare [n = 1]
a desta; cioè sommiamo 1 quando n = 1 e non sommiano nulla quando n 6= 1.
Otteniamo perciò
gn = gn−1 + gn−2 + [n = 1]
e questa è l’equazione richiesta per il passo 1.
Il passo 2 ora richiede di trasformare l’equazione per {gn } in una equazione per
X
gn z n ; non è difficile:
G(z) =
n=0
G(z) =
X
gn z n =
X
=
X
n
gn−1 z n +
n
X
gn−2 z n +
n
gn z
n+1
n
+
X
X
[n = 1] z n
n
gn z
n+2
+z
n
= zG(z) + z 2 G(z) + z.
Anche il passo 3 in questo caso è semplice, abbiamo:
G(z) =
z
1 − z − z2
risolvendo una equazione di I grado in G(z). Il passo 4 è quello conclusivo,
procediamo lentamente e con sicurezza!!
Quanto vale:
[z n ]
1
1 − z − z2
cioè il coefficiente di z n quando G(z) è sviluppato in serie di potenze?
Procediamo con una generalizzazione: se abbiamo una qualsiasi funzione razio-
12
Incontri Olimpici 2012
nale:
R(z) =
P (z)
Q(z)
dove P e Q sono polinomi, quanto vale il coefficiente [z n ]R(z)?
Esiste un tipo di funzione razionale i cui coefficienti sono particolarmente graziosi,
vale a dire:
X µm + n¶
a
=
aρn z n
m
(1 − ρz)m+1 n ≥ 0
(14)
Una somma finita di funzioni come:
S(z) =
a2
a1
a1
m1 +1 +
m2 +1 + · · · +
(1 − ρ1 z)
(1 − ρ2 z)
(1 − ρ1 z)m1 +1
(15)
ha anch’essa coefficienti particolarmente simpatici:
µ
µ
¶
¶
m1 + n n
m2 + n n
[z ]S(z) = a1
ρ1 + a2
ρ2 +
m1
m2
µ
¶
ml + n n
ρl
+ · · · + al
ml
n
(16)
(17)
Possiamo dimostrare che ogni funzione R(z) tale che R(0) 6= ∞ può essere
espresso nella forma:
R(z) = S(z) + T (z)
(18)
dove S(z) ha la formula (15) e T (z) è un polinomio; dunque esiste una forma
chiusa per il coefficiente [z n ] R(z). Trovare S(z) e T (z) è equivalente a determinare lo sviluppo in fratti semplici di R(z). Osserviamo che S(z) = ∞ quando z
assume i valori 1/ρ1 , . . . 1/ρt , perciò i numeri ρk richiesti per riuscire a esprimere
R(z) nella forma desiderata S(z) + T (z), devono essere i reciproci dei numeri αk
tali che Q (αk ) = 0. Supponiamo che Q(z) abbia la forma:
Q(z) = q0 + q1 z + · · · + qm z m
dove q0 6= 0, qm 6== 0.
13
Incontri Olimpici 2012
Il polinomio riflesso
QR (z) = q0 (z − ρ1 ) . . . (z − ρm ))
ha una importante relazione con Q(z):
QR (z) = q0 (z − ρ1 ) . . . (z − ρm )
⇐⇒ Q(z) = q0 (1 − ρ1 z) . . . (1 − ρm z)
Allora le radici di QR sono i reciproci delle radici di Q e viceversa; possiamo
perciò trovare i numeri ρk che stiamo cercando fattorizzando il polinomio riflesso
QR (z). Per esempio nel caso di Fibonacci abbiamo:
Q(z) = 1 − z − z 2
QR (z) = z 2 − z − 1
Le radici di QR possono essere trovate ponendo (a, b, c) = (1, −1, −1) nella
³
´
√
formula quadratica −b ± b2 − 4ac /2a, dalla quale otteniamo
√
√
1− 5
1+ 5
e Φ̂ =
Φ=
2
2
³
´
³
´
Perciò QR (z) = (z − Φ) z − Φ̂ e Q(z) = (z − Φz) z − Φ̂z . Una volta trovati
i ρk , possiamo procedere per trovare lo sviluppo in fratti semplici.
Esempio 3 (Una ricorrenza più o meno casuale).
Ora che abbiamo visto il metodo generale, proviamo ad affrontare un nuovo
problema. Tentiamo di trovare una formula chiusa per la ricorrenza:

 g0 = g1 = 1
 g =g
+ 2g
+ (−1)n per n > 1
n
n−1
n−2
E’ sempre una buona idea costruire innanzitutto una tabella dei casi semplici, e
la ricorrenza ci consente di farlo semplicemente:
14
Incontri Olimpici 2012
n
0
1
2
3
4
5
6
7
(−1)n
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
gn
1
1
4
5
14
23
52
97
Nessuna forma chiusa è evidente, perciò se vogliamo trovare la soluzione dobbiamo
adottare il procedimento a quattro passi.
Il passo 1 è facile, perchè dobbiamo soltanto inserire dei fattori di correzione per
sistemare le cosa quando n < 2; l’uguaglianza:
gn = gn−1 + 2gn−2 + (−1)n + [n ≥ 0] + [n = 1]
vale per tutti gli interi n. Procediamo con il passo 2:
G(z) =
X
gn z n =
n
X
gn−1 z n + 2
n
X
gn−2 z n +
n
X
(−1)n z n +
n≥0
X
zn
n=1
1
= zG(z) + 2z 2 G(z) +
+z
1+z
Il passo 3 è soltanto algebra elementare e conduce a:
G(z) =
1 + z(1 + z)
1 + z + z2
=
(1 + z)(1 − z − z 2 )
(1 − 2z)(1 + z)2
A questo punto dobbiamo applicare il passo 4.
Il fattore quadrato al denominatore è un poco più complicato perchè le radici
multiple sono più difficili da trattare, però c’è.
Il teorema dello sviluppo generale
1
1
ci dice che:
Teorema dello sviluppo razionale per radici distine: Se R(z) = P (z)/Q(z) dove
Q(z) = q0 (1 − ρz ) . . . (1 − ρl zZ) e i numeri (ρ1 , . . . , ρl ) sono distinti, e se P (z) è un polinomio
di grado minore di l, allora:
n
[z n ] R(z) = a1 ρn
1 + · · · + al ρl
dove ak =
−ρk P (1/ρk )
Q′ (1/ρk )
Teorema dello sviluppo razionale per funzioni generatrici razionali: Se R(z) =
P (z)/Q(z) dove Q(z) = q0 (1 − ρ1z )d1 . . . (1 − ρl z)dl e i numeri (ρ1 , . . . , ρl ) sono distinti, e
15
Incontri Olimpici 2012
gn = a1 2n + (a2 n + c) (−1)n
dove c è una costante e:
a1 =
1 + 1/2 + 1/4
7
=
2
9
(1 + 1/2)
a2 =
1−1+1
1
=
1 − 2/(−1)
3
Se inseriamo n = 0 vediamo che il valore della costante c che rimane sarebbe
dovuto essere 2/9, quindi la nostra risposta è:
7
gn = 2n +
9
µ
1
2
n+
3
9
¶
(−1)n
Non sarà male controllare i casi n = 1 e 2, soltanto per essere sicuri di non aver
commesso errori; forse sarebbe opportuno controllare anche n = 3 perchè questa
formula appare davvero strana; ma è corretta e quindi va tutto bene.
se P (z) è un polinomio di grado minore di d1 + d2 + . . . dl , allora:
n
[z n ] R(z) = f1 (n)ρn
1 + · · · + fl (n)ρl
per tutti gli n ≥ 0