Esame di Stato Liceo Scientifico PNI
Prova di Matematica PNI - 22 giugno 2006
Soluzione del QUESTIONARIO
a cura di Luigi Tomasi ([email protected])
QUESITO 5
n
Si dimostri che la somma dei coefficienti dello sviluppo di (a + b ) è uguale a 2 n per ogni n ∈ N .
Questa proposizione è una immediata conseguenza della formula del binomio di Newton:
n
n
n
n
n
n
n
(a + b )n = ⎛⎜⎜ ⎞⎟⎟a n + ⎛⎜⎜ ⎞⎟⎟a n−1b + ⎛⎜⎜ ⎞⎟⎟a n−2b 2 + .... + ⎛⎜⎜ ⎞⎟⎟ab n−1 + ⎛⎜⎜ ⎞⎟⎟b n = ⎛⎜⎜ ⎞⎟⎟a n−k b k
k
⎝0⎠
⎝1 ⎠
⎝2⎠
⎝ n − 1⎠
⎝n⎠
0 ⎝ ⎠
∑
Se si pone a = b = 1 , si ottiene:
⎛ n⎞ ⎛ n⎞ ⎛ n⎞
⎛n ⎞ ⎛n⎞
n
⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ .
2 n = (1 + 1) = ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ + .... + ⎜⎜
⎝ 0 ⎠ ⎝1 ⎠ ⎝ 2 ⎠
⎝ n − 1⎠ ⎝ n ⎠
In altre parole, nella riga n-esima del triangolo di Tartaglia, la somma dei coefficienti è 2 n .
