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5.2.1 Le equazioni di primo grado e i sistemi
Talvolta le quantità da trovare sono due, e verranno indicate con `x` ed `y`. Per determinare due quantità incognite `x`
ed `y` è necessario disporre di due equazioni. Il grado di un sistema è il prodotto dei gradi delle equazioni che lo
compongono, pertanto il sistema è di primo grado se sono di primo grado tutte e due le equazioni che lo compongono.
Un sistema avrà come numero massimo di soluzioni il grado del sistema.
Per risolvere i sistemi di primo grado si possono utilizzare quattro metodi, i quali portano allo stesso risultato. I metodi
sono detti di sostituzione, di confronto, di riduzione e metodo di Cramer. In questo paragrafo si mostrerà il metodo di
risoluzione per sostituzione, che è il più utilizzato.
5.2.1.1 Metodo di risoluzione per sostituzione
• Si ricava il valore di una lettera da una delle due equazioni.
• Si sostituisce il valore trovato nell'altra equazione.
• Si ricava il valore dell'altra lettera dall'altra equazione.
• Si sostituisce il valore trovato nella prima equazione utilizzata.
5.2.1.2 Esempio
`{{:(2x+y-3=0),(3x-2y+13=0):}`
La scelta della lettera di cui per prima determinare il valore è importante perché se si sceglie una lettera ‘scomoda' i
calcoli si allungano. In questo caso la scelta migliore è determinare la `y` dalla prima equazione (perché il coefficiente
della lettera `y` nella prima equazione è uno).
`{{:(y=-2x+3),(3x-2(-2x+3)+13=0):}`
Si lascia la `y` da sola a primo membro e si sostituisce ciò che si è trovato nella seconda equazione.
Ora si cerca `x` dalla seconda equazione.
`{{:(y=-2x+3),(3x+4x-6+13=0):}` `{{:(y=-2x+3),(7x+7=0):}` `{{:(y=-2x3),(7x=-7):}` `{{:(y=-2x3),(7x=-7/7=-1):}`
Avendo trovato `x=-1` si sostituisce tale valore nella equazione di partenza.
`{{:(y=-2(-1)+3),(x=-1):}` `{{:(y=2+3),(x=-1):}` `{{:(y=5),(x=-1):}`
Il risultato del sistema è quindi (-1,+5).
(Si scrive così: prima la `x` e poi la `y`, separati da virgola o punto e virgola, tra parentesi tonde)
Nel paragrafo precedente si è parlato di Diofanto. Egli è conosciuto principalmente per le equazioni diofantee, ossia
equazioni che ammettono come soluzioni esclusivamente numeri interi, alle quali egli si dedicò nei suoi anni di studi
matematici. Tale branca della matematica è detta oggi teoria dei numeri, ed è, al contrario di ciò che si potrebbe
immaginare, una delle branche più complesse della matematica. Per rendersi conto della difficoltà che intervengono
nella soluzione delle equazioni diofantee si consideri il seguente semplice problema.
5.2.1.3 Esercizio
Un contadino compra delle piante da frutta a 40 euro l'una e delle piante ornamentali a 25 euro l'una. In tutto paga 405
euro. Quante piante da frutta e ornamentali ha comprato?
Nonostante il problema sia apparentemente semplice si consideri che le soluzioni devono essere necessariamente
numeri interi. Il problema si traduce in algebra simbolica come:
`40x+25y=405`
La maggior parte degli studenti direbbe: il problema non è risolubile perché ci sono due incognite e una sola
equazione, e per risolvere il problema servono due equazioni. Infatti `40x+25y=405` rappresenta una retta sul piano e
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su questa retta ci sono infiniti punti.
Tale osservazione è sbagliata, infatti di questi infiniti punti ci interessano esclusivamente quello (o quelli) che hanno
entrambe le coordinate che siano numeri interi, e (se ci sono) non è affatto detto che siano infiniti. La mancanza di un
metodo risolutivo (per chi non ha studiato la teoria dei numeri) rende particolarmente difficoltoso trovare le soluzioni del
problema se non per tentativi (proviamo delle coppie di numeri interi e speriamo bene). Beh, il metodo per tentativi va
benissimo, e non c'è assolutamente nulla di male a congetturare qualcosa e poi verificarlo. Un modo di risolvere il
problema potrebbe quindi essere quello di scrivere il problema come
`405-40x=25y`,
e poi compilare la seguente tabella, nella quale inseriamo nella prima riga i valori interi della `x`, nella seconda colonna
i valori di `405-40x` e nella terza i valori della `y`. Si indicano in grassetto le soluzioni.
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
405-4x 365 325 285 245 205 165 125 85 45 5
y 73/5 13 57/5 49/5 41/5 33/5 5 17/5 9/5 1/5
Le soluzioni sono dunque 2, la coppia (2, 13) e la coppia (7, 5).
Ci sono altri modi di risolvere il problema che non sono per tentativi, uno è detto metodo delle ridotte di una frazione
continua, un altro si basa sull'algoritmo euclideo per il calcolo del MCD, un altro è detto metodo di Eulero. Si mostra qui
di seguito il metodo di soluzione basato sull'algoritmo euclideo.
L'algoritmo euclideo, noto già a Eudosso di Cnido (375 a.c.) per il calcolo del MCD è il seguente, e non richiede la
scomposizione in fattori dei due numeri:
• Dati due numeri naturali a e b, si controlla se b è zero. Se lo è, a è il MCD.
• Se b non è zero, si effettua la divisione a/b e sia r il resto della divisione.
• Se r=0 allora b è il MCD cercato
• Se r`!=`0 si ripete il procedimento assegnando a=b e b=r.
5.2.1.4 Esempio
Si trovi il MCD di 38 e 14. Sia a=38 e b=14. b non è zero, quindi si effettua la divisione 38/14 il cui resto è 10. Il resto
non è zero, dunque sia a=14 e b=10 e si effettui la divisione 14/10 il cui resto è 4. Il resto non è zero quindi sia a=10,
b=4 e si effettui la divisione 10/4 il cui resto è 2. Il resto non è zero, quindi sia a=4, b=2 e si effettui la divisione 4/2 il cui
resto è zero. Dunque b=2 è il MCD di 38 e 14.
Data l'equazione diofantea generica di primo grado `ax+by=c` per prima cosa si dividano ambo i membri per lo stesso
numero in modo che a e b siano primi tra loro, ossia il loro MCD sia 1. Per mezzo dell'esempio che segue si mostra
come si fa a utilizzare l'algoritmo euclideo per determinare dapprima una soluzione particolare dell'equazione e poi la
soluzione generale.
5.2.1.5 Esempio
Si risolva l'equazione diofantea `35x+20y=125`con `x` e `y` interi positivi.
Per prima cosa si divide tutto per 5, ottenendo `7x+4y=25`. Ora sia a=7 e b=4.
7 diviso 4 dà risultato 1 con il resto di 3, ossia 7=4·1+3.
4 diviso 3 dà risultato 1 con il resto di 1, ossia 4=3·1+1.
Il resto è 1, quindi ci si ferma.
Si riscrivono le due eguaglianze trovate come segue:
1=4-3·1
3=7-4·1
Si va a ritroso come segue:
1=4-3=4-(7-4)=4-7+4=4·2-7=-1·7+2·4
Da -1·7+2·4 si ricava che (-1,2) è una soluzione dell'equazione diofantea `7x+4y=1`.
Moltiplicando tutto per 25 si ricava una soluzione dell'equazione diofantea `7x+4y=25`, quindi una soluzione
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dell'equazione `7x+4y=25` è (-25,50).
La soluzione generica dell'equazione diofantea si ottiene assegnando a t tutti i valori interi desiderati nel sistema che
segue:
`x=-25-4t`
`y=50+7t`.
In particolare per t=-7 si ottiene la soluzione `x=3`, `y=1`, che è l'unica soluzione con `x` e `y` interi positivi.
Per chi vuole approfondire le equazioni diofantee sono un argomento molto interessante…
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In questa unità
Testo: Storia delle idee
Autore: Marcello Ciancio
Curatore: Maurizio Châtel
Metaredazione: Rosanna Lo Piccolo
Editore: BBN
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