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1.2 Gli insiemi numerici: da Z a Q
L’insieme `ZZ` introdotto precedentemente non è chiuso rispetto all’operazione di divisione, in quanto il risultato di una
operazione di divisione può non essere un numero intero relativo.
Esempio 1.2.1
Se si effettua la divisione tra numeri interi 6:2 si ottiene 3 che è un numero intero. Perché l’insieme `ZZ` sia chiuso
rispetto all’operazione di divisione deve però accadere che per ogni coppia di numeri il risultato sia un numero intero.
7:2 non dà come risultato un numero intero, quindi l’insieme `ZZ` non è chiuso rispetto all’operazione di divisione.
Per trovare il risultato di ogni possibile divisione di numeri interi relativi è necessario ampliare tale insieme numerico, e
vengono pertanto introdotti i numeri razionali, ossia gli elementi dell’insieme
`QQ={a/b: a,b in ZZ, b!=0}`
L’insieme `QQ` risulta essere chiuso rispetto alle operazioni di addizione, moltiplicazione, sottrazione e divisione per un
numero diverso da zero.
Per quanto riguarda la divisione per zero invece è un altro paio di maniche… Non è possibile effettuare divisioni per
zero, in quanto la scrittura a/0 perde di significato.
I numeri razionali possono essere scritti in notazione decimale come finiti o periodici. Come si è già visto alle scuole
medie il numero razionale `11/4=2.75` è un numero decimale finito, mentre il numero razionale `3/7=0.bar(428571)` è un
numero decimale periodico. In entrambi i casi per scrivere un numero razionale in forma decimale è bastato utilizzare un
numero finito di cifre. Questo è un concetto importante che spesso non viene adeguatamente compreso dagli studenti
delle scuole medie, pertanto lo si vuole puntualizzare ulteriormente:
Un numero razionale può essere scritto in forma decimale in maniera esatta (quindi non approssimata) utilizzando un
numero finito di cifre.
Da ciò segue che se un numero non può essere espresso in maniera decimale con un numero finito di cifre allora esso
non è un numero razionale.
L’insieme dei numeri interi relativi è discreto, in quanto tra due numeri interi relativi consecutivi non ci sono altri numeri
interi relativi. Al contrario l’insieme dei numeri razionali è denso, ossia dati due numeri razionali a e b ce n’è senz’altro
almeno uno compreso tra essi. Le definizioni esatte di insiemi densi e discreti richiedono conoscenze di livello superiore,
che qui non daremo.
Per capire adeguatamente il concetto, pur senza formalizzarlo in maniera rigorosa, si consideri che in `NN` o `ZZ` ogni
elemento ha il suo successore, ossia l’elemento che lo segue immediatamente, e non ci sono altri numeri tra un numero
e un suo successore, e quindi tali insiemi sono discreti. Ad esempio il successore di -3 è -2, mentre il successore di 14 è
15. In `QQ` non è possibile definire il successore di un numero come dimostra il seguente teorema:
Teorema 1.2.2
In `QQ` ogni numero non ha un successore.
Dimostrazione
Per assurdo si supponga che esista il successore `y` di un numero `x` in `QQ`. Tale successore sarà più grande di `x`,
e sarà dunque possibile esprimerlo come `y=x+epsilon`, dove `epsilon` è un numero positivo piccolo a piacere. Si calcoli
il numero `z=(x+y)/2`.
Esso vale `z=(x+y)/2=(x+x+epsilon)/2=(2x+epsilon)/2=x+epsilon/2`. Il numero `z` ha la proprietà di essere maggiore di
`x`, in quanto `z=x+epsilon/2`, ma è anche minore di `y`, in quanto `z=x+epsilon/2 lt x +epsilon=y`. Da ciò segue che `x
lt z lt y`, dunque esiste un numero compreso tra `x`, e `y`, e quindi `y` non può essere il successore di `x`. Non lo è
neanche `z`, perché esiste il numero `x+epsilon/4` che è compreso tra `x` e `z`. Il ragionamento può essere ripetuto un
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numero di volte a piacere e pertanto in `QQ` ogni numero non ha un successore.
`QQ` è dunque un insieme denso, ma attenzione al significato di questa parola. Il fatto che `QQ` sia denso significa
che vicino a ogni numero razionale se ne addensano infiniti, vicini quanto si vuole, non che essi occupano tutta la retta
nella quale possiamo rappresentarli. Infatti non è proprio per nulla così: si vedrà successivamente che esistono numeri
appartenenti alla retta orientata, nella quale è stata introdotta una unità di misura, che però non sono numeri razionali.
Così come si è partiti da `NN`, lo si è ampliato fino ad ottenere `ZZ` e poi `QQ`, quest’ultima osservazione ci porterà ad
ampliare anche l’insieme `QQ` fino ad ottenere un insieme, detto insieme dei numeri reali e che verrà indicato con `RR`,
che sarà in corrispondenza biunivoca con i punti della retta.
Come si è visto nella precedente dimostrazione affermare l’esistenza di un numero compreso tra due numeri razionali
qualsiasi implica che tra essi ce ne siano infiniti. Tale infinito potenziale è contenuto in una zona limitata (ad esempio i
numeri razionali compresi tra zero e uno). Si parla anche in questo caso di infinito potenziale perché i greci non
affermavano che tra due punti ne fossero compresi infiniti ma solamente che si può andare avanti quanto si vuole a
trovarne sempre uno in più di quelli già trovati fino a qual momento.
L’infinito è solo potenzialmente realizzabile, ma in pratica non è mai raggiunto, quindi gli antichi greci ritenevano che
l’infinito fosse solo potenziale e mai in atto.
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In questa unità
Testo: Storia delle idee
Autore: Marcello Ciancio
Curatore: Maurizio Châtel
Metaredazione: Rosanna Lo Piccolo
Editore: BBN
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