Il sistema formale per l’aritmetica elementare Ogni teoria matematica usa una teoria degli insiemi ed una teoria dei numeri. La teoria dei numeri si può trattare all’interno della teoria degli insiemi oppure come sistema formale. Un primo tentativo risale a Peano e Dedekind, che hanno dimostrato che la teoria dei numeri si può sviluppare, almeno per l’aritmetica elementare, partendo dai seguenti simboli ed assiomi: Segni logici: , , che si leggono rispettivamente “implica”, “appartiene”, “uguale”. Termini non definiti: zero, successore, numero; N per la totalità dei numeri naturali, “0” per il termine zero, “ ´ ” per il successore, “x N” per “x è un numero”. Allora il successore di 0 è 0´ , il successore di 0´ è (0´)´ e così via. Assiomi: P1. 0 N “0 è un numero” P2. x N x N “il successore di ogni numero è un numero” P3. x 0 “ lo zero non è successore di alcun numero” P4. x y x y “numeri diversi hanno successori diversi” P5. ((0 K) (x N)( x K x K )) ( N K ) “Se una classe K contiene 0 e se dal contenere x si deduce che contiene x, allora K contiene N” L’assioma P5 è noto come principio di induzione. Si osservi che, in particolare, se K è la classe degli oggetti che godono di una certa proprietà Q, si ha: “se 0 ha la proprietà Q e se dalla validità di Q per x si deduce la validità di Q per il successore x, allora Q vale per ogni numero naturale.” Esso si applica per dimostrare formule per i numeri naturali: ne diamo un esempio. Con questi assiomi si riesce a definire tutte le operazioni tra numeri, usufruendo della teoria degli insiemi. La teoria di Peano non è però così semplice come appare, poiché richiede mezzi logici non tanto elementari della teoria degli insiemi. Sulla falsariga degli assiomi di Peano, si può elaborare una teoria formale dei numeri.