Relazioni fra gli Enti Geometrici

LA GEOMETRIA NEL PRIMO BIENNIO
della Scuola Secondaria di Primo Grado
Relazioni fra gli Enti Geometrici
(… e oltre)
attraverso l’esame dei libri di testo
Presentazione di Giuseppina Crivelli
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[Gli enti, e più in generale le figure geometriche, si caratterizzano attraverso le reciproche
relazioni che li definiscono in modo implicito.
La matematica, e in particolare la geometria, è un mondo di relazioni e noi cercheremo di
condurre i ragazzi ad evidenziare le principali.
Tra gli obiettivi poniamo anche quello di far apprezzare i legami tra la geometria del piano e dello
spazio in un percorso circolare dallo spazio al piano e … ritorno.
Come metodo per questa indagine, utilizzeremo ancora l'esame dei libri di testo.
Le prime relazioni tra gli enti, in particolare le relazioni di appartenenza tra punti e rette, fra punti
e piani e fra rette e piani e le relazioni d'ordine fra i punti di una retta, si trovano già fra gli
assiomi e le prime proprietà da essi derivate. Si possono opportunamente introdurre le definizioni
di semiretta, segmento, semipiano, fascio di rette, fascio e stelle di piani. Si vedano in proposito gli
appunti delle lezioni del Prof. Ferrari e il capitolo 4 del Quaderno di aggiornamento n. 2
“Geometria” del CRD “Morin”.
Analizzeremo in particolare le relazioni fra rette complanari: le relazioni di incidenza, tra cui la
perpendicolarità, e la relazione di parallelismo, proponendo in modo sintetico definizioni e
proprietà e accennando alle conseguenze sia sul piano teorico che didattico.]
Dal testo “Numeri Figure Formule” – Geometria A – di C. Romeni, D. Paola, M. Boffa – Le
Monnier 2005.
Relazione di perpendicolarità fra due rette
Due rette r e s si dicono perpendicolari quando, incontrandosi, formano quattro angoli retti.
Per indicare che due rette r e s sono perpendicolari, si scrive r ┴ s.
Distanza e proiezioni
La distanza fra due punti A e B è il cammino più breve che unisce i due punti: il segmento AB.
La distanza di un punto P da una retta r è il cammino più breve che unisce il punto dato alla retta.
Si dice distanza di un punto da una retta il segmento di perpendicolare che unisce il punto alla retta
Il piede della perpendicolare condotta per P a r si dice anche proiezione di P su r.
Si dice proiezione di un segmento AB su una retta r il segmento A’B’ avente per estremi le
proiezioni A’ di A e B’ di B su r.
Asse di un segmento
Si dice asse di un segmento la retta perpendicolare al segmento passante per il suo punto medio.
Relazione di parallelismo fra rette
Se due rette del piano non sono incidenti, allora può essere che le due rette:

abbiano più di un punto in comune;

non abbiano alcun punto in comune
Due rette si dicono parallele se non sono incidenti.
Per indicare che due rette r e s sono parallele si scrive r // s.
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La parte di piano compresa tra due rette parallele si dice striscia.
r e s non hanno punti in comune: sono rette parallele, cioè r // s
striscia
Rette parallele tagliate da una trasversale
Quando due rette r e s sono tagliate da una terza retta t, si formano gli otto angoli indicati con
altrettanti numeri:
Si dicono:
alterni interni gli angoli 2 e 8 e gli angoli 3 e 5;
alterni esterni gli angoli 1 e 7 e gli angoli 4 e 6;
coniugati interni gli angoli 2 e 5 e gli angoli 3 e 8;
coniugati esterni gli angoli 1 e 6 e gli angoli 4 e 7;
corrispondenti gli angoli 1 e 5, gli angoli 2 e 6, gli angoli 3 e 7 e gli angoli 4 e 8.
Considerare gli angoli formati da due rette tagliate da una trasversale è importante perché vale la
seguente proprietà:
Se due rette tagliate da una trasversale formano angoli alterni interni congruenti, allora le due rette
sono parallele.
Abbiamo quindi un criterio per stabilire se due rette sono parallele: basta verificare che, tagliate da
una trasversale, formino angoli alterni interni congruenti.
[Analoghe proprietà valgono per le coppie di angoli alterni esterni o corrispondenti, mentre coppie
di angoli coniugati interni o esterni risultano supplementari.]
Viceversa: se due rette sono parallele, allora formano con una trasversale angoli alterni interni
congruenti.
[Questa proprietà equivale al V postulato di Euclide o postulato delle parallele che è espresso
proprio in termini di relazioni angolari:
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E che, se una retta venendo a cadere su due rette forma gli angoli interni e dalla stessa parte
minore di due retti, le due rette prolungate illimitatamente verranno ad incontrarsi da quella parte
in cui sono gli angoli minori di due retti.]
[La forma più comune in cui viene proposta questa proprietà è però espressa come segue:]
ASSIOMA 7
Per un punto P esterno a una retta r si può tracciare una sola retta s tale che s // r.
[Dal punto di vista didattico, in riferimento alle definizioni e proprietà elencate, è solo il caso di
ricordare l'importanza delle verifiche “pratiche” con l'uso delle isometrie, in particolare le
simmetrie assiali e le costruzioni con riga, squadra e compasso che giustificano l'esistenza di
perpendicolari e di parallele.
Inoltre le relazioni geometriche offrono l'opportunità di applicare le proprietà generali delle
relazioni di ordine, di equivalenza e non… e di insistere sull'importanza dell'uso corretto del
linguaggio nella scelta delle definizioni più opportune riferite al contesto, esempio rette parallele, e
della distinzione fra linguaggio geometrico e linguaggio abituale (es: aggettivi locativi:
orizzontale-verticale-obliquo).
È appena il caso di accennare che variando l'ambiente della geometria, per esempio passando dal
piano alla superficie sferica, alcune proprietà vanno modificate, es: l'esistenza e unicità delle
parallele e di conseguenza la proprietà, riferita ai triangoli, che la somma degli angoli interni vale
un angolo piatto. Su una superficie sferica si possono costruire triangoli bi e trirettangoli!
Il confronto fra il piano e lo spazio può essere realizzato con notevole economia di pensiero.
Ricordiamo il principio di dualità che in geometria proiettiva consente di costruire da un enunciato
vero un altro enunciato, anch’esso vero, semplicemente sostituendo nella sua formulazione il nome
di un oggetto con quello dell’oggetto duale (punto con retta sulla geometria del piano, punto con
piano nella geometria dello spazio, lasciando invariata la parola “retta” che nello spazio è duale
di se stessa, è autoduale). Così ad esempio:
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Due punti “distinti” individuano una
retta che appartiene ad entrambi.
Due piani “distinti” individuano una
retta che appartiene ad entrambi.
Una retta e un punto che non si
appartengono individuano un piano che
appartiene ad entrambi.
Una retta e un piano che non si
appartengono individuano un punto che
appartiene ad entrambi.
Tre punti non appartenenti alla stessa
retta appartengono ad uno ed un sol
piano
…..
Tre piani non appartenenti alla stessa
retta appartengono ad uno ed un sol
punto
…..
Ma, più semplicemente, riprendendo da Euclide i legami fra punti, linee, superfici e solidi
conveniamo che: estremi di una linea sono punti; estremi di una superficie sono linee; limite di un
solido è la superficie e quindi, ribaltando l’ordine di presentazione, possiamo proporre uno schema
del tipo:
SOLIDI
(dimensione 3)
La freccia
significa
“hanno per contorno”
SUPERFICI
(dimensione 2)
LINEE
(dimensione 1)
La freccia
significa
“movendosi tracciano”
PUNTI
(dimensione 0)
(tratto da F. Speranza: La Matematica: Parole Cose Numeri Figure – vol.1 – Zanichelli, 1984)
Allora diventa immediato passare da semirette a semipiani, a semispazi; da angoli piani ad angoli
diedri; da rette perpendicolari a piani perpendicolari; da fasci di rette a fasci di piani; da poligoni
a poliedri…….]
Dal testo “Numeri Figure Formule” – Geometria A – di C. Romeni, D. Paola, M. Boffa – Le
Monnier 2005.
Semispazi
Si dice semispazio ciascuna delle due opposte regioni in cui un piano divide lo spazio.
[Ricordiamo:
Si dice semiretta ciascuna delle due parti in cui una retta viene divisa da un punto preso su di
essa.]
Tale piano si dice origine dei due semispazi che genera.
[Tale punto si dice origine di ciascuna delle due semirette.]
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Posizioni reciproche di una retta e di un piano nello spazio
Si dice che una retta appartiene a un piano se tutti i punti della retta appartengono al piano.
Si dice che una retta è parallela a un piano se nessun punto della retta appartiene al piano.
Si dice che una retta è incidente a un piano se interseca il piano in uno e un solo punto.
Un caso particolare di incidenza è quello della retta perpendicolare al piano, cioè della retta
incidente che forma un angolo di 90° con ogni retta del piano passante per il punto di incidenza.
Tale punto viene detto piede della perpendicolare.
Posizioni reciproche di due rette nello spazio
Due rette nello spazio si dicono complanari se appartengono allo stesso piano.
In tal caso si dicono, come già sappiamo:

incidenti se hanno uno e un solo punto in comune;

parallele se non sono incidenti
Due rette si dicono sghembe se non sono complanari.
Posizioni reciproche di due piani nello spazio
Due piani si dicono incidenti se hanno in comune una e una sola retta, ossia se si intersecano lungo
una retta.
Due piani si dicono paralleli se non sono incidenti.
Angoli diedri
Si dice diedro ciascuna delle due parti in cui lo spazio è suddiviso da due semipiani che hanno come
origine una stessa retta.
[Ricordiamo:
Si dice angolo ciascuna delle due regioni in cui il piano è diviso da due semirette aventi l’origine in
comune.]
I due semipiani si dicono facce del diedro, mentre l’origine comune si dice spigolo.
[Le due semirette si dicono lati dell’angolo e l’origine comune si dice vertice dell’angolo.]
Angoloidi
Si dice angoloide la parte di spazio formata dall’unione di tutte le semirette che congiungono un
punto V non appartenente a un poligono P con tutti i punti del poligono.
[Meglio sarebbe dire:… non appartenente al piano del poligono…]
La somma delle ampiezze delle facce di un angoloide è sempre minore di un angolo giro.
[Dalla condizione di esistenza di un angoloide si può sviluppare una vasta attività di
approfondimento e di indagine sui poliedri regolari cioè poliedri le cui facce sono poligoni regolari
tutti fra loro congruenti e tali che in ogni vertice concorra lo stesso numero di facce. Si possono
definire anche tramite le isometrie: un poliedro è regolare se esiste una isometria che trasforma
una qualunque faccia in un'altra, associando ad uno spigolo della prima un fissato spigolo della
seconda.
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Si può costruire una tabella che giustifichi l'esistenza di cinque soli poliedri regolari, in relazione
alla somma degli angoli delle facce concorrenti nello stesso vertice.
È interessante spiegare anche le valenze storiche e filosofiche di questi “solidi Platonici” e
documentare la loro presenza oltre che nella storia della filosofia e della matematica, anche in
quella dell'arte: da Leonardo, a Keplero, a Fisher, a Salvador Dalì.
Per l'osservazione e la manipolazione si possano anche introdurre i poliedri semiregolari o
archimedei: si tratta di poliedri che hanno come facce poligoni regolari, che hanno vertici in cui
concorrere un ugual numero di spigoli, ma le facce non sono poligoni tutti dello stesso tipo.
Esistono tredici diversi tipi di tali poliedri.]
Dal testo: A.M. Arpinati – M. Musini, “Pianeta Matematica (Geometria), Zanichelli 1994
Immagina di partire da un tetraedro regolare, cioè una piramide delimitata da quattro triangoli
equilateri. Immagina di tagliarla con un piano parallelo ad una delle facce, presa come base, distante
dalla stessa base di una quantità uguale a due terzi dell'altezza. Al posto del vertice che viene
“tagliato via” si forma una nuova faccia che è ancora un triangolo equilatero.
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Il lato di questo triangolo è un terzo dello spigolo del tetraedro di partenza. Immagina adesso di
ripetere questa operazione su ciascuno dei tre restanti vertici.
Il solido così “smussato” viene ad avere quattro facce, che sono triangoli equilateri, al posto di
ciascun vertice che è stato portato via, mentre le quattro facce del tetraedro che erano triangoli
equilateri sono diventate esagoni regolari.
In definitiva, hai ottenuto un solido con 8 facce, delle quali quattro sono esagoni regolari, e 4
triangoli regolari, cioè equilateri.
[Le esperienze sui poliedri offrono l’opportunità di descriverli in termini di vertici, spigoli, facce,
per cui non è difficile ricavarne le reciproche relazioni, in particolare la relazione di Eulero:
F+V=S+2
che si ricollega anche alle proprietà sulle reti geometriche in termini di nodi, archi e regioni.
(Tratto dal testo: H. M. Enzensberger “Il mago
dei numeri”, Einaudi 2001)
Dopo aver introdotto gli assiomi di ordinamento sulla retta e il concetto di distanza, si può
stabilire, fissata un’origine e un’opportuna unità di misura, un sistema di coordinate (ascisse) sulla
retta che realizza una corrispondenza biunivoca tra i punti della retta e i numeri reali. Tale
corrispondenza può essere costruita “per gradi” man mano che gli alunni scoprono i diversi
insiemi numerici fino a “popolare” completamente la retta stessa.
(Si veda il capitolo 4 del Quaderno di aggiornamento n. 2 “Geometria” del CRD “Morin”).
Introdotte le relazioni fra rette (incidenza, perpendicolarità e parallelismo) si possono presentare i
sistemi di riferimento cartesiano nel piano e nello spazio.
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A proposito dei riferimenti nello spazio è forse opportuno insistere sulle rappresentazioni grafiche,
da quelle spontanee a quelle prospettiche (ricavate ad esempio dalle ombre di “scheletri” di solidi
proiettati su uno schermo da una sorgente di luce “puntiforme” – lampadina -) a quelle
assonometriche (ottenute ad esempio, sempre con i metodo delle “ombre”, quando la sorgente di
luce è posta a distanza “infinita” – sole –). Nella rappresentazione assonometrica vengono
conservate le relazioni di parallelismo fra le rette. Di solito quando si utilizzano i sistemi di
riferimento cartesiano nello spazio si ricorre alla assonometria cavaliera, ma spesso gli alunni
nelle esercitazioni di disegno tecnico fanno uso anche di altre rappresentazioni assonometriche, ad
esempio la monometrica e la isometrica, che è utilizzata anche su libri di testo di geometria
(esempio A. M. Arpinati e M. Musini) con l’ausilio delle cosiddette carte isometriche (a maglie
triangolari) che facilitano le rappresentazioni anche variando i punti di vista, perché si
mantengono inalterate le distanze sui diversi piani.
E’ bene sviluppare un’adeguata attività grafica fin dal primo anno della scuola secondaria, magari
in accordo con il collega di tecnologia, proprio per costruire una buona capacità di “controllare”
lo spazio.]
Concludiamo con due problemi tratti da “Giochi a squadre 2001” – Università Bocconi:
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Bibliografia
Hans M. Enzensberger, Il mago dei numeri, Einaudi
Edwin A. Abbott, Flatlandia, Adelphi
C. Romeni-D. Paola-M. Boffa,Numeri Figure Formule (Geometria A-C), Le Monnier
A.M. Arpinati-M. Musiani, Pianeta Matematica (Geometria), Zanichelli
A.M. Arpinati-M. Musiani, Quaderno di lavoro: Geometria, Zanichelli
R. Rinaldi Carini, Matematica 3, Zanichelli
Francesco Speranza, La matematica Parole Cose Numeri Figure Vol 3, Zanichelli
Sitografia
http://utenti.quipo.it/base5/poliedri/poliedriarchi.htm
http://www2.dm.unito.it/paginepersonali/ferrarese/sito%20mostra/4-poliedri/approfondimstoria%20dei%20poliedri.pdf
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