Corso di Matematica Generale M-Z Dipartimento di Economia Universitá degli Studi di Foggia FUNZIONI ELEMENTARI Giovanni Villani FUNZIONI ELEMENTARI ∗ Funzione potenza con esponente n ∈ N Si definisce funzione potenza con esponente n ∈ N la funzione: f (x) = xn = x · x · x · · · · x n volte Caso n pari: • D = R; f (D) = [0, +∞[; • f é pari; • f é strettamente decrescente in ] − ∞, 0] e strettamente crescente in [0, +∞[; • f é strettamente convessa. ∗ Appunti Mat.Gen M-Z - Villani Giovanni 1 Osservazione 1 Tale funzione non é biunivoca, ma ristretta a [0, +∞[ é strettamente crescente ed é invertibile. La sua inversa si definisce radice n-esima. Caso n dispari: • D = R; f (D) = R; • f é dispari; • f é strettamente crescente (quindi invertibile); • f é strettamente concava in ] − ∞, 0] e strettamente convessa in [0, +∞[. Osservazione 2 Tale funzione é strettamente crescente e la sua inversa si definisce radice n-esima. Funzione potenza con esponente −n 1 −n Si consideri la funzione f (x) = x = n. x Caso n pari: • D = R − {0}; f (D) =]0, +∞[; • f é pari; • f é strettamente crescente in ] − ∞, 0[ e strettamente decrescente in ]0, +∞[; • f é strettamente convessa in ] − ∞, 0[ e in ]0, +∞[. Caso n dispari: • D = R − {0}; f (D) = R − {0}; • f é dispari; • f é strettamente decrescente in ] − ∞, 0[ e in ]0, +∞[; • f é strettamente concava in ] − ∞, 0[ e strettamente convessa in ]0, +∞[. Funzione Valore Assoluto Definiamo la funzione f (x) = |x| dove: ( |x| = • D = R; x se x ≥ 0 −x se x < 0 f (D) = [0, +∞[; • f é pari; • f é strettamente decrescente in ] − ∞, 0[ e strettamete crescente in ]0, +∞[; • f é convessa. Siano x, y, z ∈ R: • |x| ≥ 0 e |x| = 0 ⇐⇒ x = 0; • |x| = | − x|; • ∀a ≥ 0 : |x| ≤ a ⇐⇒ −a ≤ x ≤ a; • ∀a ≥ 0 : |x| ≥ a ⇐⇒ x ≥ a ∪ x ≤ −a; • |x + y| ≤ |x| + |y|; • |x · y| = |x| · |y|; x |x| • Se y = 6 0: = . y |y| 1 Funzione potenza con esponente n Caso n pari Se n é pari, la funzione potenza xn non é invertibile, ma ristretta a [0, +∞[ é invertibile. Si definisce radice n-esima l’inversa della funzione potenza (vedi Osservazione 1). 1 √ Poniamo con f (x) = x n = n x. • D = [0, +∞[; • f (D) = [0, +∞[; • f é strettamente crescente; • f é strettamente concava Caso n dispari • D = R; • f (D) = R; • f é dispari; • f é strettamente crescente; • f é strettamente convessa in ] − ∞, 0] e strettamente concava in [0, +∞[ Osservazione 3 Si osservi che: √ n n x = |x| se n é pari; √ n xn = x se n é dispari; Funzione esponenziale Sia a > 0 e a 6= 1. Definiamo come la funzione esponenziale di base a: h(x) : x ∈ R → ax ∈ ]0, +∞[ con x ∈ R Caso con a > 1: • D = R; • f (D) =]0, +∞[; • f é strettamente crescente; • f é strettamente convessa; Caso con 0 < a < 1: • D = R; • f (D) =]0, +∞[; • f é strettamente decrescente; • f é strettamente convessa; Funzione logaritmo di base a La funzione esponenziale risulta essere bigettiva e quindi invertibile. L’inversa della funzione esponenziale di base a si definisce funzione logaritmo di base a e di indica con f (x) = loga x. loga(x) : x ∈ ]0, +∞[ → loga(x) ∈ R Quindi risulta che ∀ a > 0 e a 6= 1: loga y = x ⇐⇒ ax = y Quindi si ottiene che: loga ax = x; aloga x = x Caso a > 1: • D =]0, +∞[; • f (D) = R; • f é strettamente crescente; • f é strettamente concava. Caso 0 < a < 1 • D =]0, +∞[; • f (D) = R; • f é strettamente decrescente; • f é strettamente convessa. Proprietá della funzione logaritmo: 1. loga (x · y) = loga x + loga y; 2. loga xα = α loga x; 3. loga xy = loga x − log y; a x; 4. logb x = log loga b 5. loga 1 = 0; 6. loga a = 1. Equazione di una retta Fissati nel piano due punti distrinti P1 = (x1, y1) e P2 = (x2, y2), consideriamo la retta r passante per i P1 e P2. La distanza tra i punti P1 e P2 é: d(P1, P2) = q (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 Il coefficiente angolare della retta r é: y − y1 m= 2 x2 − x1 Se x1 6= x2 e y1 6= y2, l’equazione della retta passante per P1 e P2 é: y − y1 y − y1 = 2 x − x1 x2 − x1 Quindi y = m(x − x1) + y1 → y = mx + q dove q é l’ordinata all’origine (o intercetta) della retta r. Se x1 = x2, l’equazione della retta r sará x = x1; tale retta é parallela all’asse y. Se y1 = y2, l’equazione della retta r sará y = y1; tale retta é parallela all’asse x. Due rette r e r0 sono parallele se mr = mr 0 Due rette r e r0 sono perpendicolari se mr = − 1 mr 0 FUNZIONI PERIODICHE† Sia f : X −→ R, ω ∈ ]0, +∞[ e ∀ x ∈ X : x + kω ∈ X, ∀k ∈ Z. Definizione 1 Si dice che f é ω-periodica (o periodica di periodo ω) se: f (x + kω) = f (x), ∀x ∈ X, ∀ k ∈ Z. Funzioni trigonometriche. Denotiamo con Γ la circonferenza di centro (0, 0) e di raggio 1 nel piano R2. • Si definisce coseno di x, e si denota con cos x, l’ascissa del punto P su Γ. • Si definisce seno di x, e si denota con sin x, l’ordinata del punto P su Γ. † Appunti Mat.Gen M-Z - Villani Giovanni Possiamo riportare in una tabella i valori che il seno e il coseno assumono in alcuni punti: 0 π 2 π 3π 2 sin 0 1 0 −1 cos 1 0 −1 0 π 6 1 √2 3 2 π √4 2 √2 2 2 π √3 3 2 1 2 Funzione Seno e Coseno La funzione f (x) = sin x e la funzione f (x) = cos x sono periodiche di periodo 2π: sin(x) = sin(x + 2kπ); ∀ x ∈ R; ∀k ∈ Z cos(x) = cos(x + 2kπ); ∀ x ∈ R; ∀k ∈ Z Inoltre sia f (x) = sin x. Risulta: • D = R; • f (D) = [−1, +1]; • f é periodica di periodo 2π; • f é dispari. Sia f (x) = cos x. Risulta: • D = R; • f (D) = [−1, +1]; • f é periodica di periodo 2π; • f é pari. Osservazione 4 sin2 x + cos2 x = 1 Funzione Tangente e Cotangente Definizione 2 Si definisce funzione Tangente e si denote con il simbolo tan la funzione: [ π sin x tan : x ∈ R − + kπ → tan x = ∈R 2 cos x k∈Z Definizione 3 Si definisce funzione Cotangente e si denote con il simbolo cotg la funzione: cotg : x ∈ R − [ {kπ} → cotgx = k∈Z cos x ∈R sin x Quindi, considerando i valori che il seno e coseno possono assumere nei diversi punti, si ottiene: 0 tan 0 cotan 6∃ π √6 3 √3 3 π 4 1 1 π √3 π 2 3 6∃ 3 3 0 √ Proprietá delle funzioni tangente e cotangente • Il codominio delle funzioni tangente e cotangente é R. • Le funzioni tangente e cotangente sono funzioni dispari. • Le funzioni tangente e cotangente sono periodiche di periodo π. Infatti ∀k ∈ Z : tan(x) = tan(x+kπ); cotg(x) = cotg(x+kπ); • La funzione tangente ristretta all’intervallo ] − π2 , π2 [ è strettamente crescente; • La funzione cotangente ristretta all’intervallo ]0, π[ è strettamente decrescente; • La funzione tangente volge la concavità verso l’alto nell’intervallo [0, π2 [ e volge la concavità verso il basso nell’intervallo ] − π2 , 0] • La funzione cotangente volge la concavità π verso l’alto nell’intervallo ]0, [ e volge la 2 concavità verso il basso nell’intervallo [ π2 , π[ FUNZIONI TRIGONOMETRICHE INVERSE‡ Osservazione 5 La hfunzione f (x) = sin x rii stretta all’intervallo − π2 , π2 è una funzione bigettiva e quindi invertibile: π π sin/[− π , π ] : x ∈ − , → sin x ∈ [−1, 1] 2 2 2 2 Definizione 4 La funzione inversa della funh i zione seno ristretta all’intervallo − π2 , π2 si chiama funzione arcoseno e si denota con arcsin x: π π arcsin : x ∈ [−1, 1] → arcsin x ∈ − , 2 2 Proprietà della funzione arcoseno • Il dominio della funzione harcoseno è : [−1, 1] , i mentre il codominio è: − π2 , π2 ‡ Appunti Mat.Gen M-Z - Villani Giovanni • La funzione arcoseno è una funzione strettamente crescente in [−1, 1] poichè è l’inversa di una funzione strettamente crescente. • La funzione arcsin x ha la concavità verso l’alto in [0, 1] e la concavità verso il basso in [−1, 0]. Osservazione 6 La funzione f (x) = cos x ristretta all’intervallo [0, π] è una funzione bigettiva e quindi invertibile: cos/[0,π] : x ∈ [0, π] → cos x ∈ [−1, 1] Definizione 5 La funzione inversa della funzione coseno ristretta all’intervallo [0, π] si chiama funzione arcocoseno e si denota con arccos x: arccos : x ∈ [−1, 1] → arccos x ∈ [0, π] Proprietà della funzione arcocoseno • Il dominio della funzione arcocoseno è: [−1, 1] , mentre il codominio è: [0, π]. • La funzione arcocoseno è una funzione strettamente decrescente in [−1, 1], poichè è l’inversa di una funzione strettamente decrescente. • La funzione arccos x ha la concavità verso l’alto in [−1, 0] e la concavità verso il basso in [0, 1]. Funzione Arcotangente Osservazione 7i La funzione tangente, ristreth ta all’intervallo − π2 , π2 è una funzione bigettiva, quindi invertibile: π π tan/]− π , π [ : x ∈ − , 2 2 2 2 → R Definizione 6 La funzione inversa della funzione tangente si chiama funzione arcotangente e si donota con il simbolo arctan x: π π arctan : x ∈ R → arctan x ∈ − , 2 2 Proprietà della funzione arcotangente • La funzione arcotangente è una funzione strettamente crescente in R, poichè è l’inversa di una funzione strettamente crescente. • La funzione arctan x ha la concavità verso il basso in [0, +∞[ e la concavità verso l’alto in ] − ∞, 0]. Funzione arcocotangente Osservazione 8 La funzione cotangente f (x) = cotgx ristretta all’intervallo ]0, π[ è una funzione bigettiva e quindi invertibile: cotg/]0,π[ : x ∈]0, π[ → R Definizione 7 La funzione inversa della restrizione della funzione cotangente si chiama funzione arcocotangente e si donota con arccotgx: arccotg : x ∈ R → arccotg x ∈ ]0, π[ Proprietà della funzione arcocotangente • La funzione arcocotangente è una funzione strettamente decrescente poichè è l’inversa di una funzione strettamente decrescente. • La funzione arccotg x ha la concavità verso l’alto in [0, +∞] e la concavità verso il basso in ] − ∞, 0].