Matematica per l’Economia
Sottoinsieme L-Z
Dipartimento di Economia
Universitá degli Studi di Bari
4) FUNZIONI
ELEMENTARI
Giovanni Villani
FUNZIONI ELEMENTARI ∗
Funzione potenza con esponente n ∈ N
Si definisce funzione potenza con esponente
n ∈ N la funzione:
f (x) = xn = x · x · x · · · · x
n volte
Caso n pari:
• D = R;
f (D) = [0, +∞[;
• f é pari;
• f é strettamente decrescente in ] − ∞, 0] e
strettamente crescente in [0, +∞[;
• f é strettamente convessa.
∗ Appunti
Mat. per l’Econ. L-Z - Villani Giovanni
1
Osservazione 1 Tale funzione non é biunivoca, ma ristretta a [0, +∞[ é strettamente
crescente ed é invertibile.
La sua inversa si definisce radice n-esima.
Caso n dispari:
• D = R;
f (D) = R;
• f é dispari;
• f é strettamente crescente (quindi invertibile);
• f é strettamente concava in ] − ∞, 0] e
strettamente convessa in [0, +∞[.
Osservazione 2 Tale funzione é strettamente crescente e la sua inversa si definisce radice
n-esima.
Funzione potenza con esponente −n
1
−n
Si consideri la funzione f (x) = x
= n.
x
Caso n pari:
• D = R − {0};
f (D) =]0, +∞[;
• f é pari;
• f é strettamente crescente in ] − ∞, 0[ e
strettamente decrescente in ]0, +∞[;
• f é strettamente convessa in ] − ∞, 0[ e in
]0, +∞[.
Caso n dispari:
• D = R − {0};
f (D) = R − {0};
• f é dispari;
• f é strettamente decrescente in ] − ∞, 0[ e
in ]0, +∞[;
• f é strettamente concava in ] − ∞, 0[ e
strettamente convessa in ]0, +∞[.
Funzione Valore Assoluto
Definiamo la funzione f (x) = |x| dove:
|x| =
• D = R;
(
x se x ≥ 0
−x se x < 0
f (D) = [0, +∞[;
• f é pari;
• f é strettamente decrescente in ] − ∞, 0[ e
strettamete crescente in ]0, +∞[;
• f é convessa.
Siano x, y, z ∈ R:
• |x| ≥ 0 e |x| = 0 ⇐⇒ x = 0;
• |x| = | − x|;
• ∀a ≥ 0 :
|x| ≤ a ⇐⇒ −a ≤ x ≤ a;
• ∀a ≥ 0 :
|x| ≥ a ⇐⇒ x ≥ a ∪ x ≤ −a;
• |x + y| ≤ |x| + |y|;
• |x · y| = |x| · |y|;
x
|x|
• Se y =
6 0: =
.
y |y|
1
Funzione potenza con esponente n
Caso n pari
Se n é pari, la funzione potenza xn non é invertibile, ma ristretta a [0, +∞[ é invertibile.
Si definisce radice n-esima l’inversa della funzione potenza (vedi Osservazione 1).
1
√
Poniamo con f (x) = x n = n x.
• D = [0, +∞[;
• f (D) = [0, +∞[;
• f é strettamente crescente;
• f é strettamente concava
Caso n dispari
• D = R;
• f (D) = R;
• f é dispari;
• f é strettamente crescente;
• f é strettamente convessa in ] − ∞, 0] e
strettamente concava in [0, +∞[
Osservazione 3 Si osservi che:
√
n n
x = |x| se n é pari;
√
n n
x =x
se n é dispari;
Funzione esponenziale
Sia a > 0 e a 6= 1. Definiamo come la funzione
esponenziale di base a:
h(x) : x ∈ R → ax ∈ ]0, +∞[ con x ∈ R
Caso con a > 1:
• D = R;
• f (D) =]0, +∞[;
• f é strettamente crescente;
• f é strettamente convessa;
Caso con 0 < a < 1:
• D = R;
• f (D) =]0, +∞[;
• f é strettamente decrescente;
• f é strettamente convessa;
Funzione logaritmo di base a
La funzione esponenziale risulta essere bigettiva e quindi invertibile.
L’inversa della funzione esponenziale di base a
si definisce funzione logaritmo di base a e di
indica con f (x) = loga x.
loga(x) : x ∈ ]0, +∞[ → loga(x) ∈ R
Quindi risulta che ∀ a > 0 e a 6= 1:
loga y = x ⇐⇒ ax = y
Quindi si ottiene che:
loga ax = x;
aloga x = x
Caso a > 1:
• D =]0, +∞[;
• f (D) = R;
• f é strettamente crescente;
• f é strettamente concava.
Caso 0 < a < 1
• D =]0, +∞[;
• f (D) = R;
• f é strettamente decrescente;
• f é strettamente convessa.
Proprietá della funzione logaritmo:
1. loga (x · y) = loga x + loga y;
2. loga xα = α loga x;
3. loga xy = loga x − log y;
a x;
4. logb x = log
loga b
5. loga 1 = 0;
6. loga a = 1.
Equazione di una retta
Fissati nel piano due punti distrinti P1 = (x1, y1)
e P2 = (x2, y2), consideriamo la retta r passante per i P1 e P2.
La distanza tra i punti P1 e P2 é:
d(P1, P2) =
q
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
Il coefficiente angolare della retta r é:
y − y1
m= 2
x2 − x1
Se x1 6= x2 e y1 6= y2, l’equazione della retta
passante per P1 e P2 é:
y − y1
y − y1
= 2
x − x1
x2 − x1
Quindi
y = m(x − x1) + y1 → y = mx + q
dove q é l’ordinata all’origine (o intercetta)
della retta r.
Se x1 = x2, l’equazione della retta r sará
x = x1; tale retta é parallela all’asse y.
Se y1 = y2, l’equazione della retta r sará
y = y1; tale retta é parallela all’asse x.
Due rette r e r′ sono parallele se
mr = mr′
Due rette r e r′ sono perpendicolari se
mr = −
1
mr′
FUNZIONI PERIODICHE
Sia f : X −→ R, ω ∈ ]0, +∞[ e
∀ x ∈ X : x + kω ∈ X, ∀k ∈ Z.
Definizione 1 Si dice che f é ω-periodica (o
periodica di periodo ω) se:
f (x + kω) = f (x),
∀x ∈ X,
∀ k ∈ Z.
Funzioni trigonometriche.
Denotiamo con Γ la circonferenza di centro
(0, 0) e di raggio 1 nel piano R2.
• Si definisce coseno di x, e si denota con
cos x, l’ascissa del punto P su Γ.
• Si definisce seno di x, e si denota con sin x,
l’ordinata del punto P su Γ.
Possiamo riportare in una tabella i valori che il
seno e il coseno assumono in alcuni punti:
0
π
2
π
3π
2
sin
0
1
0
cos
1
0
−1
−1
0
π
6
1
√2
3
2
π
√4
2
√2
2
2
π
√3
3
2
1
2
Funzione Seno e Coseno
La funzione f (x) = sin x e la funzione f (x) =
cos x sono periodiche di periodo 2π:
sin(x) = sin(x + 2kπ);
∀ x ∈ R;
∀k ∈ Z
cos(x) = cos(x + 2kπ);
∀ x ∈ R;
∀k ∈ Z
Inoltre sia f (x) = sin x. Risulta:
• D = R;
• f (D) = [−1, +1];
• f é periodica di periodo 2π;
• f é dispari.
Sia f (x) = cos x. Risulta:
• D = R;
• f (D) = [−1, +1];
• f é periodica di periodo 2π;
• f é pari.
Osservazione 4
sin2 x + cos2 x = 1
Funzione Tangente e Cotangente
Definizione 2 Si definisce funzione Tangente
e si denote con il simbolo tan la funzione:
[ π
sin x
tan : x ∈ R −
+ kπ → tan x =
∈R
2
cos x
k∈Z
Definizione 3 Si definisce funzione Cotangente e si denote con il simbolo cotg la funzione:
cotg : x ∈ R −
[
k∈Z
{kπ} → cotgx =
cos x
∈R
sin x
Quindi, considerando i valori che il seno e coseno possono assumere nei diversi punti, si
ottiene:
0
tan
0
cotan
6∃
π
√6
3
√3
3
π
4
1
1
π
√3
√
3
3
3
π
2
6∃
0
Proprietá delle funzioni tangente e cotangente
• Il codominio delle funzioni tangente e cotangente é R.
• Le funzioni tangente e cotangente sono
funzioni dispari.
• Le funzioni tangente e cotangente sono
periodiche di periodo π. Infatti ∀k ∈ Z :
tan(x) = tan(x+kπ); cotg(x) = cotg(x+kπ);
• La funzione tangente ristretta all’intervallo
π [ è strettamente crescente;
]−π
,
2 2
• La funzione cotangente ristretta all’intervallo ]0, π[ è strettamente decrescente;
• La funzione tangente volge la concavità
verso l’alto nell’intervallo [0, π
2 [ e volge la
concavità verso il basso nell’intervallo
]−π
2 , 0]
• La funzione cotangente volge la concavità
π
verso l’alto nell’intervallo ]0, [ e volge la
2
concavità verso il basso nell’intervallo [ π
2 , π[
FUNZIONI TRIGONOMETRICHE INVERSE
Osservazione 5 La hfunzione
f (x) = sin x rii
π è una funzione bistretta all’intervallo − π
,
2 2
gettiva e quindi invertibile:
π π
→ sin x ∈ [−1, 1]
sin/[− π , π ] : x ∈ − ,
2 2
2 2
Definizione 4 La funzione inversa
della
funh
i
π si chiazione seno ristretta all’intervallo − π
,
2 2
ma funzione arcoseno e si denota con arcsin x:
π π
arcsin : x ∈ [−1, 1] → arcsin x ∈ − ,
2 2
Proprietà della funzione arcoseno
• Il dominio della funzione harcoseno
è : [−1, 1] ,
i
π
mentre il codominio è: − π
,
2 2
• La funzione arcoseno è una funzione strettamente crescente in [−1, 1] poichè è l’inversa di una funzione strettamente crescente.
• La funzione arcsin x ha la concavità verso
l’alto in [0, 1] e la concavità verso il basso
in [−1, 0].
Osservazione 6 La funzione f (x) = cos x ristretta all’intervallo [0, π] è una funzione bigettiva e quindi invertibile:
cos/[0,π] : x ∈ [0, π] → cos x ∈ [−1, 1]
Definizione 5 La funzione inversa della funzione coseno ristretta all’intervallo [0, π] si chiama funzione arcocoseno e si denota con arccos x:
arccos : x ∈ [−1, 1] → arccos x ∈ [0, π]
Proprietà della funzione arcocoseno
• Il dominio della funzione arcocoseno è: [−1, 1] ,
mentre il codominio è: [0, π].
• La funzione arcocoseno è una funzione strettamente decrescente in [−1, 1], poichè è
l’inversa di una funzione strettamente decrescente.
• La funzione arccos x ha la concavità verso
l’alto in [−1, 0] e la concavità verso il basso
in [0, 1].
Funzione Arcotangente
Osservazione 7i La funzione
tangente, ristreth
π è una funzione bigettita all’intervallo − π
,
2 2
va, quindi invertibile:
π π
tan/]− π , π [ : x ∈ − ,
2 2
2 2
→ R
Definizione 6 La funzione inversa della funzione tangente si chiama funzione arcotangente e si donota con il simbolo arctan x:
π π
arctan : x ∈ R → arctan x ∈ − ,
2 2
Proprietà della funzione arcotangente
• La funzione arcotangente è una funzione
strettamente crescente in R, poichè è l’inversa di una funzione strettamente crescente.
• La funzione arctan x ha la concavità verso
il basso in [0, +∞[ e la concavità verso
l’alto in ] − ∞, 0].
Funzione arcocotangente
Osservazione 8 La funzione cotangente f (x) =
cotgx ristretta all’intervallo ]0, π[ è una funzione
bigettiva e quindi invertibile:
cotg/]0,π[ : x ∈]0, π[ → R
Definizione 7 La funzione inversa della restrizione della funzione cotangente si chiama funzione arcocotangente e si donota con arccotgx:
arccotg : x ∈ R → arccotg x ∈ ]0, π[
Proprietà della funzione arcocotangente
• La funzione arcocotangente è una funzione
strettamente decrescente poichè è l’inversa
di una funzione strettamente decrescente.
• La funzione arccotg x ha la concavità verso l’alto in [0, +∞] e la concavità verso il
basso in ] − ∞, 0].
