Richiami di algebra delle matrici A. Iodice Richiami di algebra delle matrici Operazioni di base sui vettori Strumenti quantitativi per l’economia e la finanza I Operazioni di base sulle matrici matrici particolari Alfonso Iodice D’Enza [email protected] Alcune proprietà delle operazioni tra matrici Interpretazione geometrica di vettori Università degli studi di Cassino e del Lazio Meridionale Trasformazioni matriciali dei dati di partenza Il coefficiente A. Iodice () Richiami di algebra delle matrici Statistica 1 / 50 Outline Richiami di algebra delle matrici 1 Operazioni di base sui vettori Operazioni di base sui vettori 2 Operazioni di base sulle matrici Operazioni di base sulle matrici 3 matrici particolari matrici particolari 4 Alcune proprietà delle operazioni tra matrici Alcune proprietà delle operazioni tra matrici 5 Interpretazione geometrica di vettori 6 Trasformazioni matriciali dei dati di partenza 7 Il coefficiente di correlazione A. Iodice Interpretazione geometrica di vettori Trasformazioni matriciali dei dati di partenza Il coefficiente A. Iodice () Richiami di algebra delle matrici Statistica 2 / 50 Vettori riga e vettori colonna Richiami di algebra delle matrici A. Iodice Operazioni di base sui vettori Operazioni di base sulle matrici matrici particolari Alcune proprietà delle operazioni tra matrici Interpretazione geometrica di vettori Trasformazioni matriciali dei dati di partenza vettore colonna 1 3 a(5×1) = 4 2 0 vettore riga 10 3 8 7 1 b(1×5) = trasposizione di un vettore 1 3 a(5×1) = 4 −→ aT (1×5) = 2 0 1 3 4 2 0 b(1×5) = Il coefficiente A. Iodice () 10 3 8 7 1 −→ bT (5×1) = Richiami di algebra delle matrici 10 3 8 7 1 Statistica 3 / 50 Somma vettoriale Richiami di algebra delle matrici A. Iodice Operazioni di base sui vettori Operazioni di base sulle matrici L’operazione somma è definita solo tra vettori aventi le stesse dimensioni, ovvero i vettori addendo devono essere entrambi riga (o entrambi colonna) ed avere lo stesso numero di elementi. Poichè a ha dimensioni (5 × 1) e b ha dimensioni (1 × 5), la somma a + b non può essere eseguita. somma di vettori colonna somma di vettori riga È possibile effettuare la somma tra i vettori a e bT , che hanno entrambi dimensioni (5 × 1). È possibile effettuare la somma tra i vettori b e aT , che hanno entrambi dimensioni (1 × 5). matrici particolari Alcune proprietà delle operazioni tra matrici 1 10 11 3 3 6 = 4 + 8 = 12 2 7 9 0 1 1 a+b Interpretazione geometrica di vettori T b + aT = (10 (1 (11 3 3 6 8 4 12 7 2 9 1)+ 0) = 1) Trasformazioni matriciali dei dati di partenza Il coefficiente A. Iodice () Richiami di algebra delle matrici Statistica 4 / 50 prodotto vettoriale Richiami di algebra delle matrici A. Iodice Operazioni di base sui vettori Operazioni di base sulle matrici matrici particolari Alcune proprietà delle operazioni tra matrici Interpretazione geometrica di vettori Dato un vettore colonna c avente per definisce prodotto vettoriale 1 3 T a∗c = 4 × 6 4 1 = 2 0 elementi {6, 4, 1}, si 6 4 1 18 12 3 24 16 4 18 8 2 0 0 0 Concetto di Matrice La struttura che risulta dal prodotto vettoriale di a per c si definisce matrice di dimensione 5 × 3, ovvero è caratterizzata da un numero di righe (5) pari al numero di elementi del primo vettore e il numero di colonne (3) pari al numero di elementi del secondo vettore. In generale una matrice di dimensioni n × p è una struttura definita da n vettori riga di p elementi incolonnati, o equivalentemente da p vettori di n elementi affiancati. Trasformazioni matriciali dei dati di partenza Il coefficiente A. Iodice () Richiami di algebra delle matrici Statistica 5 / 50 prodotto scalare Richiami di algebra delle matrici A. Iodice Operazioni di base sui vettori Operazioni di base sulle matrici matrici particolari Alcune proprietà delle operazioni tra matrici Interpretazione geometrica di vettori Il prodotto vettoriale determina una matrice, il prodotto tra gli elementi di due vettori che ha per risultato un singolo valore (scalare) si definisce prodotto scalare. Il prodotto scalare non può essere applicato a vettori che abbiano un numero di elementi diverso. Si consideri un vettore colonna d con elementi {1, 8, 2} si definisce prodotto scalare cT ∗ d: 1 cT ∗d = 6 4 1 × 8 = (6×1)+(4×8)+(1×2) = 40 2 Trasformazioni matriciali dei dati di partenza Il coefficiente A. Iodice () Richiami di algebra delle matrici Statistica 6 / 50 Somma tra matrici Richiami di algebra delle matrici A. Iodice Operazioni di base sui vettori Operazioni di base sulle matrici matrici particolari Alcune proprietà delle operazioni tra matrici L’operazione di somma è definita solo tra matrici che abbiano le stesse dimensioni (stesso numero di righe e colonna). Il risultato della somma di due matrici A e B di dimensioni n × p è una matrice delle stesse dimensioni i cui elementi sono la somma degli elementi di posto corrispondente in A e B. 6 18 A + B = 24 18 0 4 12 16 8 0 1 3 4 2 0 19 5 + 12 10 18 15 9 0 16 9 12 16 18 15 4 25 23 = 36 28 18 19 21 16 24 9 13 19 22 17 4 Interpretazione geometrica di vettori Trasformazioni matriciali dei dati di partenza Il coefficiente A. Iodice () Richiami di algebra delle matrici Statistica 7 / 50 Prodotto tra matrici Richiami di algebra delle matrici A. Iodice Operazioni di base sui vettori Operazioni di base sulle matrici matrici particolari Alcune proprietà delle operazioni tra matrici Il prodotto tra due matrici è possibile solo se il numero di colonne della prima matrice corrisponde al numero di righe della seconda: poichè A e B sono di dimensioni 5 × 3, il prodotto A ∗ B non è possibile; utilizzando l’operatore trasposizione, si possono effettuare i prodotti AT ∗ B e A ∗ BT 6 AT ∗ B = 4 1 18 12 3 24 16 4 12 8 2 19 0 5 0 ∗ 12 10 0 18 15 9 0 16 9 12 16 18 15 4 612 = 408 102 444 296 74 972 648 162 Interpretazione geometrica di vettori Trasformazioni matriciali dei dati di partenza Il coefficiente A. Iodice () Richiami di algebra delle matrici Statistica 8 / 50 Matrici rettangolari e matrici quadrate Richiami di algebra delle matrici A. Iodice Operazioni di base sui vettori Operazioni di base sulle matrici matrici particolari Alcune proprietà delle operazioni tra matrici Interpretazione geometrica di vettori Matrice rettangolare x1,1 x1,2 x2,1 x2,2 Xn×p = ... ... xn,1 xn,2 Matrice quadrata x1,1 x2,1 Xp×p = ... xp,1 . . . x1,p . . . x2,p ... ... . . . xn,p . . . x1,p . . . x2,p ... ... . . . xp,p Trasformazioni matriciali dei dati di partenza Il coefficiente A. Iodice () Richiami di algebra delle matrici Statistica 9 / 50 Matrici diagonali e matrici scalari Richiami di algebra delle matrici A. Iodice Operazioni di base sui vettori Operazioni di base sulle matrici Matrice diagonale Una matrice quadrata che ha elementi nulli eccetto la diagonale principale si definisce matrice diagonale Dp×p = d1,1 0 ... 0 0 d2,2 ... 0 ... ... ... ... 0 0 ... dp,p Esempio matrice diagonale 3 0 0 4 Dp×p = ... ... 0 0 ... ... ... ... 0 0 ... 2 ... ... ... ... 0 0 ... 8 matrici particolari Matrice scalare Alcune proprietà delle operazioni tra matrici Interpretazione geometrica di vettori Una matrice diagonale che ha tutti gli elementi uguali ad una costante K si definsce matrice scalare K 0 ... 0 0 K ... 0 Kp×p = ... ... ... ... 0 0 ... K Esempio matrice scalare Si consideri K =8 8 0 Kp×p = ... 0 0 8 ... 0 Trasformazioni matriciali dei dati di partenza Il coefficiente A. Iodice () Richiami di algebra delle matrici Statistica 10 / 50 Matrice identità e matrice unitaria Richiami di algebra delle matrici A. Iodice Operazioni di base sui vettori Operazioni di base sulle matrici Matrice identità La matriceidentità I è una 1 0 0 1 Ip×p = ... ... 0 0 matrice ... ... ... ... scalare con K = 1. 0 0 La matrice identità è tale che ... 1 AI = IA = A matrici particolari Alcune proprietà delle operazioni tra matrici Interpretazione geometrica di vettori Matrice unitaria La matrice unitaria ha tutti gli elementi uguali ad 1. 1 ... 1 ... 1 1 ... ... Un×p = . . . 1 ... 1 1 ... 1 Trasformazioni matriciali dei dati di partenza Il coefficiente A. Iodice () Richiami di algebra delle matrici Statistica 11 / 50 Trasposizione del prodotto tra matrici Richiami di algebra delle matrici A. Iodice Operazioni di base sui vettori Operazioni di base sulle matrici matrici particolari Alcune proprietà delle operazioni tra matrici (AB)T = BT AT Esempio trasposizione prodotto tra matrici Si considerino le matrici A e B 4 7 T (A2×3 B3×2 ) = 8 6 T BT 3×2 A2×3 = 2 4 7 1 T 2 4 66 121 7 1 = 32 101 9 9 4 8 9 66 121 7 6 = 9 32 101 1 7 1 7 Interpretazione geometrica di vettori Trasformazioni matriciali dei dati di partenza Il coefficiente A. Iodice () Richiami di algebra delle matrici Statistica 12 / 50 Prodotto tra una matrice uno scalare Richiami di algebra delle matrici A. Iodice Operazioni di base sui vettori Il prodotto di una matrice A per uno scalare λ determina una matrice i cui elementi sono gli elementi di A moltiplicati per λ λA = Aλ Operazioni di base sulle matrici matrici particolari Alcune proprietà delle operazioni tra matrici Esempio Sia λ = 2. λA2×3 = A2×3 λ = Interpretazione geometrica di vettori 4 7 1 8 6 7 ×2= 8 14 2 16 12 14 Trasformazioni matriciali dei dati di partenza Il coefficiente A. Iodice () Richiami di algebra delle matrici Statistica 13 / 50 Prodotto tra matrici Richiami di algebra delle matrici A. Iodice Il prodotto di una matrice A per uno scalare λ determina una matrice i cui elementi sono gli elementi di A moltiplicati per λ An×p Bp×n = Pn×n Operazioni di base sui vettori Operazioni di base sulle matrici matrici particolari Alcune proprietà delle operazioni tra matrici (A2×3 B3×2 ) = 4 8 7 6 1 7 2 7 9 4 66 1 = 121 9 32 101 4 3 1 ,C = 2 9 8 18 Proprietà del prodotto tra matrici Siano A = 4 8 7 6 1 7 2 ,B = 7 9 AB 6= BA ABC = (AB)C = A(BC) Interpretazione geometrica di vettori (AT + B)C = (AT C) + (BC) Trasformazioni matriciali dei dati di partenza Il coefficiente A. Iodice () Richiami di algebra delle matrici Statistica 14 / 50 Traccia di una matrice Richiami di algebra delle matrici A. Iodice La traccia di una matrice quadrata è la somma degli elementi della diagonale principale Operazioni di base sui vettori tr(Xp×p ) = p X xii i=1 Operazioni di base sulle matrici tr(P2×2 ) = matrici particolari Proprietà della traccia Alcune proprietà delle operazioni tra matrici Interpretazione geometrica di vettori 66 121 32 101 = 66 + 101 = 167 tr(A + B) = tr(A) + tr(B) tr(A) = tr(AT ) tr(AB) = tr(BA) tr(AAT ) = tr(AT A) = Pn i=1 Pm j=1 a2 ij Trasformazioni matriciali dei dati di partenza Il coefficiente A. Iodice () Richiami di algebra delle matrici Statistica 15 / 50 Determinante di una matrice Richiami di algebra delle matrici A. Iodice Operazioni di base sui vettori Operazioni di base sulle matrici Ciascuna matrice quadrata è identificabile attraverso un singolo valore detto determinante Determinante di una matrice 2 × 2 x11 x12 det(X2×2 ) = det = x21 x22 x11 x22 − x21 x12 Determinante di una matrice 2 × 2 66 32 = det 121 101 (66 ∗ 101) − (121 ∗ 32) = 6666 − 3873 = 2794 Determinante per matrice 3 × 3 matrici particolari Alcune proprietà delle operazioni tra matrici Interpretazione geometrica di vettori Trasformazioni matriciali dei dati di partenza Il coefficiente A. Iodice () Richiami di algebra delle matrici Statistica 16 / 50 Inversa di una matrice Richiami di algebra delle matrici A. Iodice Operazioni di base sui vettori Operazioni di base sulle matrici matrici particolari Teorema Sia A una matrice quadrata con determinante diverso da zero, allora esiste ed è unica la matrice B tale che AB = BA = I La matrice B rappresenta la matrice inversa si A e si indica con B = A−1 Proprietà della matrice inversa Alcune proprietà delle operazioni tra matrici (k ∗ A)−1 = k−1 ∗ A−1 (AB)−1 = B−1 A−1 det(A) = det(A)−1 Interpretazione geometrica di vettori Trasformazioni matriciali dei dati di partenza Il coefficiente A. Iodice () Richiami di algebra delle matrici Statistica 17 / 50 Interpretazione geometrica di vettori Richiami di algebra delle matrici Un vettore v = [x, y] avente punto di applicazione nell’origine degli assi O, è un segmento orientato avente per estremi O ed il punto P di coordinate (x, y). A. Iodice Rappresentazione di vettori in R2 Operazioni di base sui vettori Operazioni di base sulle matrici Si considerino i seguenti vettori: v1 = [7, 3], v2 = [5, 5] e v3 = [3, 7]. Caratteristiche di vettori Le caratteristiche distintive di un vettore sono matrici particolari Alcune proprietà delle operazioni tra matrici intensità (norma): ovvero la lunghezza del vettore direzione: individuata dalla retta passante per gli estremi (OP ) del vettore verso: la semiretta con origine in O e passante per P Interpretazione geometrica di vettori Trasformazioni matriciali dei dati di partenza Il coefficiente A. Iodice () Richiami di algebra delle matrici Statistica 18 / 50 La norma di un vettore Richiami di algebra delle matrici A. Iodice La norma (lunghezza di un vettore v è data dalla radice quadrata della somma dei quadrati degli elementi di v) v u p uX kvk = [v1 , v2 , . . . , vp ] = t v2 i i=1 Operazioni di base sui vettori Rappresentazione di vettori in R2 Operazioni di base sulle matrici matrici particolari Alcune proprietà delle operazioni tra matrici Interpretazione geometrica di vettori Calcolo della norma di vettori Con riferimento ai vettori v1 e v3 = [3, 7] le norme sono p kv1 k = 72 + 32 p kv2 k = 52 + 52 p kv3 k = 32 + 72 = [7, 3], v2 = [5, 5] = 7.61 = 7.07 = 7.61 Trasformazioni matriciali dei dati di partenza Il coefficiente A. Iodice () Richiami di algebra delle matrici Statistica 19 / 50 Vettori collineari Richiami di algebra delle matrici A. Iodice Due vettori si dicono collineari se sono caratterizzati da uguale direzione, anche se da intensità differente. Considerando i vettori v2 = [5, 5] e v4 = [8, 8] Operazioni di base sui vettori Operazioni di base sulle matrici matrici particolari Alcune proprietà delle operazioni tra matrici Interpretazione geometrica di vettori Trasformazioni matriciali dei dati di partenza Il coefficiente A. Iodice () Richiami di algebra delle matrici Statistica 20 / 50 Vettori con norma unitaria Richiami di algebra delle matrici A. Iodice Rappresentazione di vettori in R2 Operazioni di base sui vettori Operazioni di base sulle matrici matrici particolari Vettore di norma unitaria Il verrore di lunghezza unitaria si definisce versore e identifica una direzione. Una direzione identifica infiniti vettori, pertanto quello cui si fa riferimento è il versore. Per ottenere il versore u corrispondente al vettore v è necessario dividere ciascuno degli elementi di v per kvk. Con riferimento ai vettori v1 = [4, 1], v2 = [3, 3.5] e v3 = [1, 3.5], i corrispondenti vettori unitari (versori sono) Alcune proprietà delle operazioni tra matrici Interpretazione geometrica di vettori 4 , 1 ] = [0.97, 0.24] u1 = [ 4.12 4.12 3 , 3.5 ] = [0.65, 0.76] u2 = [ 4.61 4.61 1 , 3.5 ] = [0.27, 0.96] u3 = [ 3.64 3.64 Trasformazioni matriciali dei dati di partenza Il coefficiente A. Iodice () Richiami di algebra delle matrici Statistica 21 / 50 Interpretazione geometrica della somma tra vettori Richiami di algebra delle matrici Rappresentazione della somma di vettori in R2 A. Iodice Operazioni di base sui vettori Operazioni di base sulle matrici matrici particolari Alcune proprietà delle operazioni tra matrici Interpretazione geometrica di vettori Somma tra vettori Dati due vettori vettori v1 = [x1 , y1 ] e v2 = [x2 , y2 ] il vettore risultante dalla somma v1 + v2 corrisponde alla diagonale maggiore del parallelogramma avente per lati v1 e v2 . Con riferimento ai vettori v1 = [4, 1], v2 = [3, 3.5] e v3 = [1, 3.5], i corrispondenti vettori somma sono v1 + v2 = [7, 4.5] v2 + v3 = [4, 7] Trasformazioni matriciali dei dati di partenza Il coefficiente A. Iodice () Richiami di algebra delle matrici Statistica 22 / 50 Interpretazione geometrica della differenza tra vettori Richiami di algebra delle matrici Rappresentazione della differenza di vettori in R2 A. Iodice Operazioni di base sui vettori Operazioni di base sulle matrici matrici particolari Alcune proprietà delle operazioni tra matrici Interpretazione geometrica di vettori Differenza tra vettori Dati due vettori vettori v1 = [x1 , y1 ] e v2 = [x2 , y2 ] il vettore risultante dalla somma v1 − v2 corrisponde alla diagonale minore del parallelogramma avente per lati v1 e v2 . Con riferimento ai vettori v1 = [4, 1], v2 = [3, 3.5] e v3 = [1, 3.5], i corrispondenti vettori somma sono v1 − v2 = [1, −2.5] v2 − v3 = [2, 0] Trasformazioni matriciali dei dati di partenza Il coefficiente A. Iodice () Richiami di algebra delle matrici Statistica 23 / 50 Interpretazione geometrica del prodotto scalare tra vettori Richiami di algebra delle matrici A. Iodice Operazioni di base sui vettori Operazioni di base sulle matrici matrici particolari Alcune proprietà delle operazioni tra matrici Interpretazione geometrica di vettori Trasformazioni matriciali dei dati di partenza Dati due vettori vettori v1 = [x1 , y1 ] e v2 = [x2 , y2 ] il prodotto scalare è proporzionale alla proiezione ortogonale del vettore v1 sul vettore v2 Il prodotto scalare tra vettori tra vettori Rappresentazione della proiezione di v1 su v2 Il prodotto scalare è proporzionale al coseno dell’angolo θ formato tra i due vettori. cos(θ) = T v1 v2 kv1 kkv2 k da cui T v1 v2 = cos(θ)kv1 kkv2 k da cui deriva il fatto che, se v1 e v2 sono perpendicolari, θ = 90o , dunque cos(θ) = cos(90o ) = 0 T allora v1 v2 = 0 Il coefficiente A. Iodice () Richiami di algebra delle matrici Statistica 24 / 50 Proiezione ortogonale di un vettore Richiami di algebra delle matrici ...graficamente si consideri il vettore x = [5, 4] A. Iodice Operazioni di base sui vettori Operazioni di base sulle matrici matrici particolari Alcune proprietà delle operazioni tra matrici Interpretazione geometrica di vettori Trasformazioni matriciali dei dati di partenza Il coefficiente A. Iodice () Richiami di algebra delle matrici Statistica 25 / 50 Proiezione ortogonale di un vettore Richiami di algebra delle matrici ...graficamente si vuole proiettare il vettore x sull’asse U passante per il punto (11, 1). A. Iodice Operazioni di base sui vettori Operazioni di base sulle matrici matrici particolari Alcune proprietà delle operazioni tra matrici Interpretazione geometrica di vettori Trasformazioni matriciali dei dati di partenza Il coefficiente A. Iodice () Richiami di algebra delle matrici Statistica 26 / 50 Proiezione ortogonale di un vettore Richiami di algebra delle matrici A. Iodice ...graficamente per effettuare la proiezione di x sull’asse U occorre calcolare il versore v dell’asse U; il versore è v = [0.995, 0.0905] Operazioni di base sui vettori Operazioni di base sulle matrici matrici particolari Alcune proprietà delle operazioni tra matrici Interpretazione geometrica di vettori Trasformazioni matriciali dei dati di partenza Il coefficiente A. Iodice () Richiami di algebra delle matrici Statistica 27 / 50 Proiezione ortogonale di un vettore Richiami di algebra delle matrici A. Iodice ...graficamente coordinata α della proiezione ortogonale sull’asse U del vettore x si ottiene moltiplicando il vettore da proiettare per il versore v dell’asse U, Operazioni di base sui vettori Operazioni di base sulle matrici matrici particolari Alcune proprietà delle operazioni tra matrici Interpretazione geometrica di vettori Trasformazioni matriciali dei dati di partenza Il coefficiente A. Iodice () Richiami di algebra delle matrici Statistica 28 / 50 Proiezione ortogonale di un vettore Richiami di algebra delle matrici A. Iodice ...graficamente coordinata α della proiezione ortogonale sull’asse U del vettore x si ottiene moltiplicando il vettore da proiettare per il versore v dell’asse U, Operazioni di base sui vettori Operazioni di base sulle matrici matrici particolari Alcune proprietà delle operazioni tra matrici Interpretazione geometrica di vettori Trasformazioni matriciali dei dati di partenza Il coefficiente A. Iodice () Richiami di algebra delle matrici Statistica 29 / 50 Proiezione ortogonale di un vettore Richiami di algebra delle matrici ...graficamente avendo ottenuto α, è ora possibile calcolare il vettore x̂ che rappresenta l’ ‘immagine’ di x sull’asse U A. Iodice Operazioni di base sui vettori Operazioni di base sulle matrici matrici particolari Alcune proprietà delle operazioni tra matrici Interpretazione geometrica di vettori Trasformazioni matriciali dei dati di partenza Il coefficiente A. Iodice () Richiami di algebra delle matrici Statistica 30 / 50 Proiezione ortogonale di un vettore Richiami di algebra delle matrici A. Iodice Operazioni di base sui vettori Operazioni di base sulle matrici Ciascun asse individua una direzione nello spazio; poichè ciascuna direzione identifica infiniti vettori di diversa intensità si fa riferimento al versore che ha norma (intensità ) pari ad 1. Dunque tutti i punti che giacciono su un asse U che ha per versore v avranno come coordinata un multiplo di v. Questo perchè a ciascuno dei punti su U corrisponde un vettore di direzione identificata dall’asse U di versore v. Sia x̂ la proiezione ortogonale del vettore x sull’asse U di versore v. La proiezione di x su U deve essere ortogonale, quindi il vettore differenza (x − x̂) deve essere ortogonale all’asse U, di conseguenza (x − x̂) deve essere ortogonale a v. Due vettori sono ortogonali se il loro prodotto scalare è nullo, il vincolo è quindi (x − x̂)T v = 0 da cui, facendo alcuni passaggi, si ha matrici particolari Alcune proprietà delle operazioni tra matrici Interpretazione geometrica di vettori x̂ = αv Determinare α, la coordinata sull’asse xT v − x̂T v = 0 poichè x̂ = αv e x̂T = αvT allora xT v − αvT v = 0 essendo v un versore, vT v = 1, quindi xT v − α = 0 α = xT v che rappresenta la coordinata di x sull’asse U di versore v. =⇒ dunque la coordinata α della proiezione ortogonale sull’asse U del vettore x si ottiene moltiplicando il vettore da proiettare per il versore v dell’asse U. La coordinata α sarà dunque una combinazione lineare (somma ponderata) di x 0.995 α = xT v = [5, 4] = 5 × 0.995 +4 × 0.905 = 8.595 0.905 | {z } | {z } peso peso Trasformazioni matriciali dei dati di partenza Il coefficiente A. Iodice () Richiami di algebra delle matrici Statistica 31 / 50 la media aritmetica Richiami di algebra delle matrici media semplice: n A. Iodice µ= Operazioni di base sui vettori Operazioni di base sulle matrici matrici particolari Alcune proprietà delle operazioni tra matrici Interpretazione geometrica di vettori Trasformazioni matriciali dei dati di partenza Il coefficiente A. Iodice () 1X xi n i=1 media per dati organizzati in frequenze: n 1X µ= xi ni n i=1 media per frequenze relative: µ= n X xi i=1 Richiami di algebra delle matrici ni n Statistica 32 / 50 Calcolo della media aritmetica semplice: un esempio Richiami di algebra delle matrici A. Iodice La distribuzione unitaria della media voto di un collettivo di n = 20 studenti Operazioni di base sui vettori Operazioni di base sulle matrici matrici particolari Alcune proprietà delle operazioni tra matrici Interpretazione geometrica di vettori Trasformazioni matriciali dei dati di partenza Il coefficiente A. Iodice () Richiami di algebra delle matrici Statistica 33 / 50 Calcolo della media aritmetica semplice: un esempio Richiami di algebra delle matrici A. Iodice La distribuzione unitaria della media voto di un collettivo di n = 20 studenti Operazioni di base sui vettori Operazioni di base sulle matrici matrici particolari Alcune proprietà delle operazioni tra matrici Interpretazione geometrica di vettori Trasformazioni matriciali dei dati di partenza Il coefficiente A. Iodice () Richiami di algebra delle matrici Statistica 33 / 50 Calcolo della media aritmetica semplice: un esempio Richiami di algebra delle matrici A. Iodice La distribuzione unitaria della media voto di un collettivo di n = 20 studenti Operazioni di base sui vettori Operazioni di base sulle matrici matrici particolari Alcune proprietà delle operazioni tra matrici Interpretazione geometrica di vettori Trasformazioni matriciali dei dati di partenza Il coefficiente A. Iodice () µ= 1 ×(22.5 + 23 + 18.5 + 18.3+ 20 + 28 + 25.7 + 24.2 + 28.7+ + 27.9 + 27 + 24.6 + 26.8+ + 21.5 + 20.3 + 23.6 + 26.4+ + 18.9 + 19.4 + 19.3 + 26) = 470.6 = = 23.53 20 Richiami di algebra delle matrici Statistica 33 / 50 Definizione di varianza Richiami di algebra delle matrici A. Iodice Operazioni di base sui vettori La varianza un’indice che misura la variabilità di una variabile X rispetto alla media aritmetica. In particolare la varianza σ 2 data dalla media dei quadrati degli scarti (delle modalità dalla media) Operazioni di base sulle matrici matrici particolari Alcune proprietà delle operazioni tra matrici Interpretazione geometrica di vettori Trasformazioni matriciali dei dati di partenza Il coefficiente A. Iodice () Richiami di algebra delle matrici Statistica 34 / 50 Definizione di varianza Richiami di algebra delle matrici A. Iodice Operazioni di base sui vettori La varianza un’indice che misura la variabilità di una variabile X rispetto alla media aritmetica. In particolare la varianza σ 2 data dalla media dei quadrati degli scarti (delle modalità dalla media) Operazioni di base sulle matrici matrici particolari Alcune proprietà delle operazioni tra matrici (x1 − µ)2 + (x2 − µ)2 + . . . + (xn − µ)2 = n n 1X = (xi − µ)2 n σ2 = i=1 Interpretazione geometrica di vettori Trasformazioni matriciali dei dati di partenza Il coefficiente A. Iodice () Richiami di algebra delle matrici Statistica 34 / 50 Definizione di varianza Richiami di algebra delle matrici A. Iodice Operazioni di base sui vettori La varianza un’indice che misura la variabilità di una variabile X rispetto alla media aritmetica. In particolare la varianza σ 2 data dalla media dei quadrati degli scarti (delle modalità dalla media) (x1 − µ)2 + (x2 − µ)2 + . . . + (xn − µ)2 = n n 1X = (xi − µ)2 n σ2 = Operazioni di base sulle matrici matrici particolari Alcune proprietà delle operazioni tra matrici Interpretazione geometrica di vettori Trasformazioni matriciali dei dati di partenza i=1 per dati organizzati in frequenze (x1 − µ)2 × n1 + (x2 − µ)2 × n2 + . . . + (xk − µ)2 × nk = n1 + n2 + . . . + nk k 1X = (xi − µ)2 × ni n σ2 = Il coefficiente A. Iodice () i=1 Richiami di algebra delle matrici Statistica 34 / 50 Esempio di calcolo della varianza Richiami di algebra delle matrici Data la variabile X : numero di esami sostenuti prima di quello di statistica osservata su un collettivo di n = 6 studenti A. Iodice Operazioni di base sui vettori Operazioni di base sulle matrici matrici particolari Alcune proprietà delle operazioni tra matrici Interpretazione geometrica di vettori Trasformazioni matriciali dei dati di partenza Il coefficiente A. Iodice () Richiami di algebra delle matrici Statistica 35 / 50 Esempio di calcolo della varianza Richiami di algebra delle matrici Data la variabile X : numero di esami sostenuti prima di quello di statistica osservata su un collettivo di n = 6 studenti A. Iodice Operazioni di base sui vettori Operazioni di base sulle matrici matrici particolari Alcune proprietà delle operazioni tra matrici Interpretazione geometrica di vettori Trasformazioni matriciali dei dati di partenza Il coefficiente A. Iodice () Richiami di algebra delle matrici Statistica 35 / 50 Esempio di calcolo della varianza Richiami di algebra delle matrici Data la variabile X : numero di esami sostenuti prima di quello di statistica osservata su un collettivo di n = 6 studenti A. Iodice Operazioni di base sui vettori Operazioni di base sulle matrici matrici particolari Alcune proprietà delle operazioni tra matrici Interpretazione geometrica di vettori Trasformazioni matriciali dei dati di partenza La varianza sarà dunque n 1X 50.8333 2 σ = (xi − µ)2 = = 8.4722 n 6 Il coefficiente A. Iodice () i=1 Richiami di algebra delle matrici Statistica 35 / 50 Misura del legame Richiami di algebra delle matrici A. Iodice Operazioni di base sui vettori Operazioni di base sulle matrici Nel caso di variabili quantitative preferibile utilizzare una misura del legame che coinvolga, oltre le frequenze, anche le modalità (numeriche) delle variabili. Le componenti della variabile doppia X e Y possono essere caratterizzate da diversa posizione e variabilità, risulta in genere che µx 6= µy e σx 6= σy matrici particolari Alcune proprietà delle operazioni tra matrici Interpretazione geometrica di vettori Trasformazioni matriciali dei dati di partenza Il coefficiente A. Iodice () Richiami di algebra delle matrici Statistica 36 / 50 Misura del legame Richiami di algebra delle matrici A. Iodice Operazioni di base sui vettori Operazioni di base sulle matrici matrici particolari Alcune proprietà delle operazioni tra matrici Nel caso di variabili quantitative preferibile utilizzare una misura del legame che coinvolga, oltre le frequenze, anche le modalità (numeriche) delle variabili. Le componenti della variabile doppia X e Y possono essere caratterizzate da diversa posizione e variabilità, risulta in genere che µx 6= µy e σx 6= σy Volendo misurare le variazioni congiunte delle modalità di X ed Y , si fa riferimento alla versione standardizzata delle variabili, data da Interpretazione geometrica di vettori Trasformazioni matriciali dei dati di partenza Zx = Y − µy X − µx e Zy = σx σy questo per escludere dalla misura del legame gli effetti della differente media e varianza (essendo µx 6= µy e σx 6= σy ) Il coefficiente A. Iodice () Richiami di algebra delle matrici Statistica 36 / 50 Il coefficiente di correlazione lineare di Pearson ρ Richiami di algebra delle matrici A. Iodice L’indice corrispondente alla media aritmetica del prodotto delle modalità standardizzate delle variabili si definisce coefficiente di correlazione lineare di Pearson ρ ed dato da Operazioni di base sui vettori Operazioni di base sulle matrici ρxy n n i=1 i=1 1X 1X (zx,i zy,i ) = = n n xi − µx yi − µy × σx σy matrici particolari Alcune proprietà delle operazioni tra matrici Interpretazione geometrica di vettori Trasformazioni matriciali dei dati di partenza Il coefficiente A. Iodice () Richiami di algebra delle matrici Statistica 37 / 50 Il coefficiente di correlazione lineare di Pearson ρ Richiami di algebra delle matrici A. Iodice L’indice corrispondente alla media aritmetica del prodotto delle modalità standardizzate delle variabili si definisce coefficiente di correlazione lineare di Pearson ρ ed dato da Operazioni di base sui vettori Operazioni di base sulle matrici matrici particolari Alcune proprietà delle operazioni tra matrici Interpretazione geometrica di vettori Trasformazioni matriciali dei dati di partenza ρxy n n i=1 i=1 1X 1X (zx,i zy,i ) = = n n xi − µx yi − µy × σx σy Con piccole trasformazioni si ottiene la presente formalizzazione 1 Pn σxy i=1 (xi − µx )(yi − µy ) n ρxy = = σx σy σx σy La quantità al numeratore si definisce covarianza: essa corrisponde alla media del prodotto degli scarti delle modalità di X e Y dalle rispettive medie. La covarianza misura la contenporanea variazione di X e Y con riferimento alle loro medie. Il coefficiente A. Iodice () Richiami di algebra delle matrici Statistica 37 / 50 Calcolo del coefficiente di correlazione Richiami di algebra delle matrici Si consideri l’esempio della variabile doppia reddito/grado di anzianità A. Iodice Operazioni di base sui vettori Operazioni di base sulle matrici matrici particolari Alcune proprietà delle operazioni tra matrici Interpretazione geometrica di vettori Trasformazioni matriciali dei dati di partenza Il coefficiente A. Iodice () Richiami di algebra delle matrici Statistica 38 / 50 Calcolo del coefficiente di correlazione Richiami di algebra delle matrici A. Iodice Operazioni di base sui vettori Operazioni di base sulle matrici matrici particolari Alcune proprietà delle operazioni tra matrici Interpretazione geometrica di vettori Trasformazioni matriciali dei dati di partenza Il coefficiente A. Iodice () Richiami di algebra delle matrici Statistica 38 / 50 Calcolo del coefficiente di correlazione Richiami di algebra delle matrici A. Iodice Operazioni di base sui vettori sia X = ’anni di anzianità’ e Y = ’reddito annuo’ v u n u1 X σx = t (xi − µx )2 = 10.13 n i=1 Operazioni di base sulle matrici v u n u1 X σy = t (yi − µy )2 = 18.36 n matrici particolari Alcune proprietà delle operazioni tra matrici Interpretazione geometrica di vettori Trasformazioni matriciali dei dati di partenza Il coefficiente A. Iodice () i=1 n σxy 1X (xi − µx )(yi − µy ) = 177.31 = n i=1 ρxy = σxy 177.31 = = 0.95 σx σy 10.13 × 18.36 Richiami di algebra delle matrici Statistica 38 / 50 Tabella individui × variabili Richiami di algebra delle matrici A. Iodice Operazioni di base sui vettori Operazioni di base sulle matrici matrici particolari Alcune proprietà delle operazioni tra matrici Si considerino p variabili quantitative osservate su un collettivo di n unità statistiche. La corrispondente matrice di dati A a1,1 a1,2 . . . a1,p a2,1 a2,2 . . . a2,p An×p = ... ... ... ... an,1 an,2 . . . an,p esempio A5×3 Interpretazione geometrica di vettori = 25 23 36 22 18 19 21 16 24 9 13 19 22 17 4 Trasformazioni matriciali dei dati di partenza Il coefficiente A. Iodice () Richiami di algebra delle matrici Statistica 39 / 50 Calcolo del vettore delle medie delle p variabili Richiami di algebra delle matrici A. Iodice Operazioni di base sui vettori Operazioni di base sulle matrici Utilizzando il prodotto vettoriale è possibile ottenere il vettore delle medie 1 a1,1 a1,2 ... a1,n n 1 a2,1 a2,2 ... a2,n T n × m = Ap×n ∗ un×1 = ... ... ... ... ... 1 ap,1 ap,2 ... ap,n = n = matrici particolari 1 (a 1,1 + n 1 (a 2,1 + n ... 1 (a p,1 + n a1,2 + a2,2 + ... ap,2 + ... ... ... ... a1,n ) µ1 a2,n ) = µ2 ... ... µp ap,n ) esempio Alcune proprietà delle operazioni tra matrici Interpretazione geometrica di vettori 25 19 13 | 23 21 19 36 16 22 {z AT 3×5 22 24 17 18 9 × 4 } | 1/5 1/5 1/5 1/5 1/5 {z u5×1 = (25+23+36+22+18) 5 (19+21+16+24+9) 5 (13+19+22+17+4) 5 } 24.8 = 17.8 15 {z } | m3×1 Trasformazioni matriciali dei dati di partenza Il coefficiente A. Iodice () Richiami di algebra delle matrici Statistica 40 / 50 Calcolo della matrice delle medie delle p variabili Richiami di algebra delle matrici A. Iodice Operazioni di base sui vettori Operazioni di base sulle matrici A partire da m, vettore delle medie, si ottiene la matrice delle medie, utile alla successiva operazione di centratura. 1 1 T × µ1 µ2 ... µp = Mn×p = 1n×1 ∗ m1×p = ... 1 µ1 µ1 = ... µ1 µ2 µ2 ... µ2 ... ... ... ... µp µp ... µp matrici particolari esempio Alcune proprietà delle operazioni tra matrici Interpretazione geometrica di vettori 1 1 24.8 17.8 1 × 1 | {z 1 mT 1×3 | {z } 15×1 24.8 24.8 15 = 24.8 24.8 } 24.8 | 17.8 17.8 17.8 17.8 17.8 {z 15 15 15 15 15 } M5×3 Trasformazioni matriciali dei dati di partenza Il coefficiente A. Iodice () Richiami di algebra delle matrici Statistica 41 / 50 Centratura della matrice Richiami di algebra delle matrici A. Iodice Sottraendo alla matrice dei dati di partenza A e la matrice delle medie M si ottiene la matrice dei dati centrati X. Xn×p = An×p − Mn×p = Operazioni di base sui vettori Operazioni di base sulle matrici matrici particolari Alcune proprietà delle operazioni tra matrici Interpretazione geometrica di vettori a1,1 a2,1 = ... an,1 a1,2 a2,2 ... an,2 ... ... ... ... (a1,1 − µ1 ) (a2,1 − µ1 ) = ... (an,1 − µ1 ) a1,p µ1 a2,p − µ1 ... ... µ1 an,p (a1,2 − µ2 ) (a2,2 − µ2 ) ... (an,2 − µ2 ) ... ... ... ... µ2 µ2 ... µ2 ... ... ... ... µp µp = ... µp (a1,p − µp ) (a2,p − µp ) ... (an,p − µp ) esempio 25 23 36 22 18 | Trasformazioni matriciali dei dati di partenza Il coefficiente A. Iodice () 19 21 16 24 9 {z A5×3 13 19 22 17 4 24.8 24.8 − 24.8 24.8 24.8 } | 17.8 17.8 17.8 17.8 17.8 {z 15 15 15 15 15 0.2 −1.8 = 11.2 −2.8 −6.8 } | M5×3 Richiami di algebra delle matrici 1.2 3.2 −1.8 6.2 −8.8 {z −2 4 7 2 −11 } X5×3 Statistica 42 / 50 Matrice di devianza e codevianza Richiami di algebra delle matrici A. Iodice Operazioni di base sui vettori Operazioni di base sulle matrici Una volta ottenuta la matrice centrata X, è possibile, attraverso il prodotto di X per la sua trasposta, ottenere la matrice di devianza e codevianza .Tale matrice avrá elementi della diagonale principale le devianze); gli elementiextra-diagonale le codevianze. x1,1 x1,2 ... x1,p x1,1 x1,2 ... x1,n x x . . . x x x . . . x 2,1 2,2 2,p = 2,1 2,2 2,n × XT p×n ∗ Xn×p = . . . ... ... ... ... ... ... ... xn,1 xn,2 ... xn,p xp,1 xp,2 ... xp,n dev(X1 ) codev(X2 , X1 ) = ... codev(Xp , X1 ) matrici particolari esempio Alcune proprietà delle operazioni tra matrici Interpretazione geometrica di vettori Trasformazioni matriciali dei dati di partenza 0.20 1.20 −2.00 | −1.80 3.20 4.00 codev(X1 , X2 ) dev(X2 ) ... codev(Xp , X2 ) 11.20 −1.80 7.00 {z XT 3×5 182.8 16.8 140 | Il coefficiente A. Iodice () 16.8 130.8 107 {z −2.80 6.20 2.00 ... ... ... ... codev(X1 , Xp ) codev(X2 , Xp ) ... dev(Xp ) 0.2 −6.80 −1.8 −8.80 × 11.2 −2.8 −11.00 } −6.8 | 1.2 3.2 −1.8 6.2 −8.8 {z −2 4 7 2 −11 = } X5×3 140 107 194 } V3×3 Richiami di algebra delle matrici Statistica 43 / 50 Matrice di varianze e covarianze Richiami di algebra delle matrici A. Iodice A questo punto è immediato definire la matrice di varianze e covarianze Σ. Per fare questo si consideri la matrice diagonale come una matrice quadrata (stesso numero di righe e di colonne) i cui elementi extradiagonali sono nulli. In particolare si faccia riferimento alla matrice U di dimensione (p × p) i cui 1. elementi diagonali siano tutti uguali a n Operazioni di base sui vettori Operazioni di base sulle matrici matrici particolari Alcune proprietà delle operazioni tra matrici Interpretazione geometrica di vettori Trasformazioni matriciali dei dati di partenza 1 n 0 U= ... 0 0 1 n ... 0 0 ... ... ... 0 0 ... 1 n Utilizzando la matrice U è possibile ricavare la matrice Σ di dimensioni p × p a partire da quella di devianze e codevianze XT X precedentemente ottenuta. 2 σX 1 σ (X2 ,X1 ) XT XU = VU = Σ = ... σ(Xn ,X ) Il coefficiente A. Iodice () 1 σ(X ,X ) 1 2 2 σX 2 ... σ(Xn ,X ) 2 Richiami di algebra delle matrici ... ... ... ... σ(X ,Xp ) 1 σ(X ,Xp ) 2 ... 2 σX p Statistica 44 / 50 Matrice di varianze e covarianze Richiami di algebra delle matrici A. Iodice Operazioni di base sui vettori Operazioni di base sulle matrici matrici particolari esempio 182.8 16.8 140 | 16.8 130.8 107 {z V3×3 140 1/5 107 0 194 0 }| 0 1/5 0 {z 0 36.56 0 = 3.36 1/5 28 | } U3×3 3.36 26.16 21.40 {z 28 21.4 38.8 } Σ3×3 Alcune proprietà delle operazioni tra matrici Interpretazione geometrica di vettori Trasformazioni matriciali dei dati di partenza Il coefficiente A. Iodice () Richiami di algebra delle matrici Statistica 45 / 50 Matrice standardizzata Richiami di algebra delle matrici A. Iodice Per ottenere la matrice dei dati standardizzati Z di dimensione n × p i cui elemento generico zij = aij −µj σj , i = 1, . . . , n; j = 1, . . . , p. Avendo già ottenuto la matrice dei dati centrati X è necessario moltiplicare ciascuno degli elementi di tale matrice per σ1 . Si ricorre anche in questo caso ad una j Operazioni di base sui vettori Operazioni di base sulle matrici matrici particolari Alcune proprietà delle operazioni tra matrici Interpretazione geometrica di vettori Trasformazioni matriciali dei dati di partenza matrice diagonale: la matrice è D di dimensione (p × p) i cui elementi diagonali sono tutti uguali a σ1 , j j = 1, . . . , p. 1 σ1 0 D= ... 0 0 ... 1 σ2 ... ... ... ... 0 0 0 ... 1 σp Utilizzando la matrice D è possibile ricavare la matrice Z di dimensioni n × p: post-moltiplicando D ad X si ottiene a −µ a1p −µp a12 −µ2 11 1 ... σ1 σ2 σp a2p −µp a21 −µ1 a22 −µ2 ... σ σ σp Z = XD = 1 2 ... ... ... ... anp −µp an1 −µ1 an2 −µ2 . . . σ σ σ Il coefficiente A. Iodice () 1 2 p Richiami di algebra delle matrici Statistica 46 / 50 Matrice standardizzata Richiami di algebra delle matrici A. Iodice esempio Operazioni di base sui vettori Operazioni di base sulle matrici matrici particolari Alcune proprietà delle operazioni tra matrici 0.2 −1.8 11.2 −2.8 −6.8 | 1.2 3.2 −1.8 6.2 −8.8 {z −2 4 7 2 −11 √ 1 36.56 }| 0.03 −0.30 1.85 −0.46 −1.12 | 0.23 0.63 −0.35 1.21 −1.72 {z −0.32 0.64 1.12 0.32 −1.77 0 √ 1 26.16 0 0 {z 0 0 = √1 38.8 } D3×3 X5×3 0 } Z5×3 Interpretazione geometrica di vettori Trasformazioni matriciali dei dati di partenza Il coefficiente A. Iodice () Richiami di algebra delle matrici Statistica 47 / 50 Matrice di correlazione Richiami di algebra delle matrici A. Iodice Operazioni di base sui vettori Operazioni di base sulle matrici matrici particolari Il coefficiente di correlazione lineare di Pearson che caratterizza una coppia di variabili è definito come la media aritmetica dei prodotti delle modalità standardizzate. Pertanto, avendo calcolato Z, matrice standardizzata, risulta agevole ottenere la matrice di correlazione: 1 ρ2,1 R = Z ZU = ... ρp,1 ρ1,2 1 ... ρp,2 T ρ1,p ρ2,p ... 1 ... ... ... ... In particolare gli elementi diagonali di tale matrice sono Alcune proprietà delle operazioni tra matrici Interpretazione geometrica di vettori rjj = 1 " a1,j − µj n n 1 X n i=1 | !2 + σj aij − µj {z 2 1 σj2 = a2,j − µj !2 σj σj2 σj2 + ... + an,j − µj σj !2 # = =1 } varianza σ 2 j Trasformazioni matriciali dei dati di partenza Il coefficiente A. Iodice () Richiami di algebra delle matrici Statistica 48 / 50 Matrice di correlazione Richiami di algebra delle matrici A. Iodice Gli elementi extra-diagonali sono Operazioni di base sui vettori rkj = 1 " a1,k − µk n ! σk × a1,j − µj σj ! + Operazioni di base sulle matrici matrici particolari Alcune proprietà delle operazioni tra matrici a2,k − µk σk ! × a2,j − µj σj ! + ...+ covarianza σkj z n 1 X + = an,k − µk σk σkj σk σj ! × an,j − µj σj !# = n i=1 }| ai,k − µk ai,j − µj σk σ j { = = ρkj → coefficiente di correlazione lineare tra le variabili k e j Interpretazione geometrica di vettori Trasformazioni matriciali dei dati di partenza Il coefficiente A. Iodice () Richiami di algebra delle matrici Statistica 49 / 50 Matrice di correlazione Richiami di algebra delle matrici A. Iodice esempio Operazioni di base sui vettori Operazioni di base sulle matrici matrici particolari Alcune proprietà delle operazioni tra matrici R= 0.03 0.23 −0.32 | −0.30 0.63 0.64 1.85 −0.35 1.12 {z 0.03 −1.12 −0.30 −1.72 1.85 −0.46 −1.77 } −1.12 | −0.46 1.21 0.32 ZT 3×5 5 = 0.54 3.72 | 0.54 5 3.36 {z ZT Z 3×3 3.72 3.36 5 }| 0.23 0.63 −0.35 1.21 −1.72 {z −0.32 0.64 1.12 0.32 −1.77 U3×3 = } Z5×3 1 5 0 0 0 1 5 0 {z 0 0 1 5 1 = 0.11 0.74 | } U3×3 0.11 1 0.67 {z 0.74 0.67 1 } R3×3 Interpretazione geometrica di vettori Trasformazioni matriciali dei dati di partenza Il coefficiente A. Iodice () Richiami di algebra delle matrici Statistica 50 / 50