Richiami di algebra delle matrici - Strumenti quantitativi per l

Richiami di
algebra delle
matrici
A. Iodice
Richiami di algebra delle matrici
Operazioni di
base sui
vettori
Strumenti quantitativi per l’economia e la finanza I
Operazioni di
base sulle
matrici
matrici
particolari
Alfonso Iodice D’Enza
[email protected]
Alcune
proprietà delle
operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
Università degli studi di Cassino e del Lazio Meridionale
Trasformazioni
matriciali dei
dati di
partenza
Il coefficiente A. Iodice ()
Richiami di algebra delle matrici
Statistica
1 / 50
Outline
Richiami di
algebra delle
matrici
1
Operazioni di base sui vettori
Operazioni di
base sui
vettori
2
Operazioni di base sulle matrici
Operazioni di
base sulle
matrici
3
matrici particolari
matrici
particolari
4
Alcune proprietà delle operazioni tra matrici
Alcune
proprietà delle
operazioni tra
matrici
5
Interpretazione geometrica di vettori
6
Trasformazioni matriciali dei dati di partenza
7
Il coefficiente di correlazione
A. Iodice
Interpretazione
geometrica di
vettori
Trasformazioni
matriciali dei
dati di
partenza
Il coefficiente A. Iodice ()
Richiami di algebra delle matrici
Statistica
2 / 50
Vettori riga e vettori colonna
Richiami di
algebra delle
matrici
A. Iodice
Operazioni di
base sui
vettori
Operazioni di
base sulle
matrici
matrici
particolari
Alcune
proprietà delle
operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
Trasformazioni
matriciali dei
dati di
partenza
vettore colonna
 
1
 3 
 

a(5×1) = 
 4 
 2 
0
vettore riga
10 3 8 7 1
b(1×5) =
trasposizione di un vettore

1
 3 


a(5×1) =  4  −→ aT
(1×5) =
 2 
0

1
3
4
2
0

b(1×5) =
Il coefficiente A. Iodice ()
10
3
8
7
1


−→ bT
(5×1) = 

Richiami di algebra delle matrici
10
3
8
7
1





Statistica
3 / 50
Somma vettoriale
Richiami di
algebra delle
matrici
A. Iodice
Operazioni di
base sui
vettori
Operazioni di
base sulle
matrici
L’operazione somma è definita solo tra vettori aventi le stesse dimensioni, ovvero i vettori addendo devono
essere entrambi riga (o entrambi colonna) ed avere lo stesso numero di elementi. Poichè a ha dimensioni
(5 × 1) e b ha dimensioni (1 × 5), la somma a + b non può essere eseguita.
somma di vettori colonna
somma di vettori riga
È possibile effettuare la somma tra i vettori a e
bT , che hanno entrambi dimensioni (5 × 1).
È possibile effettuare la somma tra i vettori b e
aT , che hanno entrambi dimensioni (1 × 5).
matrici
particolari
Alcune
proprietà delle
operazioni tra
matrici
 



1
10
11
 3   3 
 6 

 



=  4  +  8  =  12 
 2   7 
 9 
0
1
1

a+b
Interpretazione
geometrica di
vettori
T
b + aT =
(10
(1
(11
3
3
6
8
4
12
7
2
9
1)+
0) =
1)
Trasformazioni
matriciali dei
dati di
partenza
Il coefficiente A. Iodice ()
Richiami di algebra delle matrici
Statistica
4 / 50
prodotto vettoriale
Richiami di
algebra delle
matrici
A. Iodice
Operazioni di
base sui
vettori
Operazioni di
base sulle
matrici
matrici
particolari
Alcune
proprietà delle
operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
Dato un vettore colonna c avente per
definisce prodotto

  vettoriale
1

 3 
 

T


a∗c = 4 × 6 4 1 =


 2 
0
elementi {6, 4, 1}, si

6 4 1
18 12 3 

24 16 4 

18 8 2 
0 0 0
Concetto di Matrice
La struttura che risulta dal prodotto vettoriale di a per c si definisce matrice di dimensione 5 × 3, ovvero è
caratterizzata da un numero di righe (5) pari al numero di elementi del primo vettore e il numero di colonne
(3) pari al numero di elementi del secondo vettore.
In generale una matrice di dimensioni n × p è una struttura definita da n vettori riga di p elementi
incolonnati, o equivalentemente da p vettori di n elementi affiancati.
Trasformazioni
matriciali dei
dati di
partenza
Il coefficiente A. Iodice ()
Richiami di algebra delle matrici
Statistica
5 / 50
prodotto scalare
Richiami di
algebra delle
matrici
A. Iodice
Operazioni di
base sui
vettori
Operazioni di
base sulle
matrici
matrici
particolari
Alcune
proprietà delle
operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
Il prodotto vettoriale determina una matrice, il prodotto tra gli
elementi di due vettori che ha per risultato un singolo valore
(scalare) si definisce prodotto scalare. Il prodotto scalare non
può essere applicato a vettori che abbiano un numero di
elementi diverso. Si consideri un vettore colonna d con
elementi {1, 8, 2} si definisce
prodotto scalare cT ∗ d:
 
1
cT ∗d = 6 4 1 ×  8  = (6×1)+(4×8)+(1×2) = 40
2
Trasformazioni
matriciali dei
dati di
partenza
Il coefficiente A. Iodice ()
Richiami di algebra delle matrici
Statistica
6 / 50
Somma tra matrici
Richiami di
algebra delle
matrici
A. Iodice
Operazioni di
base sui
vettori
Operazioni di
base sulle
matrici
matrici
particolari
Alcune
proprietà delle
operazioni tra
matrici
L’operazione di somma è definita solo tra matrici che abbiano
le stesse dimensioni (stesso numero di righe e colonna). Il
risultato della somma di due matrici A e B di dimensioni n × p
è una matrice delle stesse dimensioni i cui elementi sono la
somma degli elementi di posto corrispondente in A e B.
6
 18

A + B =  24
 18
0

4
12
16
8
0
1
3
4
2
0

19

 5


 +  12

 10
18

15
9
0
16
9
12
16
18
15
4

25

 23


 =  36

 28
18

19
21
16
24
9
13
19
22
17
4





Interpretazione
geometrica di
vettori
Trasformazioni
matriciali dei
dati di
partenza
Il coefficiente A. Iodice ()
Richiami di algebra delle matrici
Statistica
7 / 50
Prodotto tra matrici
Richiami di
algebra delle
matrici
A. Iodice
Operazioni di
base sui
vettori
Operazioni di
base sulle
matrici
matrici
particolari
Alcune
proprietà delle
operazioni tra
matrici
Il prodotto tra due matrici è possibile solo se il numero di
colonne della prima matrice corrisponde al numero di righe
della seconda: poichè A e B sono di dimensioni 5 × 3, il
prodotto A ∗ B non è possibile; utilizzando l’operatore
trasposizione, si possono effettuare
i prodotti
AT ∗ B e A ∗ BT



6
AT ∗ B =  4
1
18
12
3
24
16
4
12
8
2
19

0
 5

0  ∗  12
 10
0
18
15
9
0
16
9
12
16
18
15
4

612


 =  408

102
444
296
74

972
648 
162
Interpretazione
geometrica di
vettori
Trasformazioni
matriciali dei
dati di
partenza
Il coefficiente A. Iodice ()
Richiami di algebra delle matrici
Statistica
8 / 50
Matrici rettangolari e matrici quadrate
Richiami di
algebra delle
matrici
A. Iodice
Operazioni di
base sui
vettori
Operazioni di
base sulle
matrici
matrici
particolari
Alcune
proprietà delle
operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
Matrice rettangolare

x1,1 x1,2
 x2,1 x2,2
Xn×p = 
 ... ...
xn,1 xn,2
Matrice quadrata

x1,1
 x2,1
Xp×p = 
 ...
xp,1

. . . x1,p
. . . x2,p 

... ... 
. . . xn,p

. . . x1,p
. . . x2,p 

... ... 
. . . xp,p
Trasformazioni
matriciali dei
dati di
partenza
Il coefficiente A. Iodice ()
Richiami di algebra delle matrici
Statistica
9 / 50
Matrici diagonali e matrici scalari
Richiami di
algebra delle
matrici
A. Iodice
Operazioni di
base sui
vettori
Operazioni di
base sulle
matrici
Matrice diagonale
Una matrice quadrata che ha elementi nulli
eccetto la diagonale principale si definisce
matrice diagonale
Dp×p =


d1,1
0
...
0


0
d2,2
...
0


 ...
...
...
... 
0
0
...
dp,p
Esempio matrice diagonale

3
0
 0
4
Dp×p = 
 ...
...
0
0
...
...
...
...

0
0 

... 
2
...
...
...
...

0

0 
... 
8
matrici
particolari
Matrice scalare
Alcune
proprietà delle
operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
Una matrice diagonale che ha tutti gli elementi
uguali ad una costante K si definsce matrice
scalare


K
0
...
0
 0
K
...
0 


Kp×p = 
...
...
...
... 
0
0
...
K
Esempio matrice scalare
Si consideri 
K =8
8
 0

Kp×p = 
...
0
0
8
...
0
Trasformazioni
matriciali dei
dati di
partenza
Il coefficiente A. Iodice ()
Richiami di algebra delle matrici
Statistica
10 / 50
Matrice identità e matrice unitaria
Richiami di
algebra delle
matrici
A. Iodice
Operazioni di
base sui
vettori
Operazioni di
base sulle
matrici
Matrice identità
La matriceidentità I è una
1
0
 0
1
Ip×p = 
 ...
...
0
0
matrice
...
...
...
...
scalare
con K = 1.
0
0 
 La matrice identità è tale che
... 
1
AI = IA = A
matrici
particolari
Alcune
proprietà delle
operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
Matrice unitaria
La matrice unitaria ha tutti gli elementi uguali ad 1.


1
...
1
...
1 
 1


...
... 
Un×p =  . . .
 1
...
1 
1
...
1
Trasformazioni
matriciali dei
dati di
partenza
Il coefficiente A. Iodice ()
Richiami di algebra delle matrici
Statistica
11 / 50
Trasposizione del prodotto tra matrici
Richiami di
algebra delle
matrici
A. Iodice
Operazioni di
base sui
vettori
Operazioni di
base sulle
matrici
matrici
particolari
Alcune
proprietà delle
operazioni tra
matrici
(AB)T = BT AT
Esempio trasposizione prodotto tra matrici
Si considerino le matrici
A e B
4
7
T
(A2×3 B3×2 ) = 
8
6
T
BT
3×2 A2×3 =
2
4
7
1
T
2
4
66
121
 7
1  =
32
101
9
9

4
8
9
66
121
 7

6
=
9
32
101
1
7
1
7


Interpretazione
geometrica di
vettori
Trasformazioni
matriciali dei
dati di
partenza
Il coefficiente A. Iodice ()
Richiami di algebra delle matrici
Statistica
12 / 50
Prodotto tra una matrice uno scalare
Richiami di
algebra delle
matrici
A. Iodice
Operazioni di
base sui
vettori
Il prodotto di una matrice A per uno scalare λ determina una
matrice i cui elementi sono gli elementi di A moltiplicati per λ
λA = Aλ
Operazioni di
base sulle
matrici
matrici
particolari
Alcune
proprietà delle
operazioni tra
matrici
Esempio
Sia λ = 2.
λA2×3 = A2×3 λ =
Interpretazione
geometrica di
vettori
4 7 1
8 6 7
×2=
8 14 2
16 12 14
Trasformazioni
matriciali dei
dati di
partenza
Il coefficiente A. Iodice ()
Richiami di algebra delle matrici
Statistica
13 / 50
Prodotto tra matrici
Richiami di
algebra delle
matrici
A. Iodice
Il prodotto di una matrice A per uno scalare λ determina una matrice i cui elementi sono gli elementi di A
moltiplicati per λ
An×p Bp×n = Pn×n
Operazioni di
base sui
vettori
Operazioni di
base sulle
matrici
matrici
particolari
Alcune
proprietà delle
operazioni tra
matrici
(A2×3 B3×2 ) =
4
8
7
6
1
7

2
 7
9

4
66
1 =
121
9
32
101

4
3
1 ,C =
2
9
8
18
Proprietà del prodotto tra matrici
Siano A =
4
8
7
6
1
7

2
,B =  7
9
AB 6= BA
ABC = (AB)C = A(BC)
Interpretazione
geometrica di
vettori
(AT + B)C = (AT C) + (BC)
Trasformazioni
matriciali dei
dati di
partenza
Il coefficiente A. Iodice ()
Richiami di algebra delle matrici
Statistica
14 / 50
Traccia di una matrice
Richiami di
algebra delle
matrici
A. Iodice
La traccia di una matrice quadrata è la somma degli elementi della diagonale principale
Operazioni di
base sui
vettori
tr(Xp×p ) =
p
X
xii
i=1
Operazioni di
base sulle
matrici
tr(P2×2 ) =
matrici
particolari
Proprietà della traccia
Alcune
proprietà delle
operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
66
121
32
101
= 66 + 101 = 167
tr(A + B) = tr(A) + tr(B)
tr(A) = tr(AT )
tr(AB) = tr(BA)
tr(AAT ) = tr(AT A) =
Pn
i=1
Pm
j=1
a2
ij
Trasformazioni
matriciali dei
dati di
partenza
Il coefficiente A. Iodice ()
Richiami di algebra delle matrici
Statistica
15 / 50
Determinante di una matrice
Richiami di
algebra delle
matrici
A. Iodice
Operazioni di
base sui
vettori
Operazioni di
base sulle
matrici
Ciascuna matrice quadrata è identificabile attraverso un singolo valore detto determinante
Determinante di una matrice 2 × 2
x11
x12
det(X2×2 ) = det
=
x21
x22
x11 x22 − x21 x12
Determinante di una matrice 2 × 2
66
32
=
det
121
101
(66 ∗ 101) − (121 ∗ 32) = 6666 − 3873 = 2794
Determinante per matrice 3 × 3
matrici
particolari
Alcune
proprietà delle
operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
Trasformazioni
matriciali dei
dati di
partenza
Il coefficiente A. Iodice ()
Richiami di algebra delle matrici
Statistica
16 / 50
Inversa di una matrice
Richiami di
algebra delle
matrici
A. Iodice
Operazioni di
base sui
vettori
Operazioni di
base sulle
matrici
matrici
particolari
Teorema
Sia A una matrice quadrata con determinante diverso da zero, allora esiste ed è unica la matrice B tale che
AB = BA = I
La matrice B rappresenta la matrice inversa si A e si indica con B = A−1
Proprietà della matrice inversa
Alcune
proprietà delle
operazioni tra
matrici
(k ∗ A)−1 = k−1 ∗ A−1
(AB)−1 = B−1 A−1
det(A) = det(A)−1
Interpretazione
geometrica di
vettori
Trasformazioni
matriciali dei
dati di
partenza
Il coefficiente A. Iodice ()
Richiami di algebra delle matrici
Statistica
17 / 50
Interpretazione geometrica di vettori
Richiami di
algebra delle
matrici
Un vettore v = [x, y] avente punto di applicazione nell’origine degli assi O, è un segmento orientato avente
per estremi O ed il punto P di coordinate (x, y).
A. Iodice
Rappresentazione di vettori in R2
Operazioni di
base sui
vettori
Operazioni di
base sulle
matrici
Si considerino i seguenti vettori: v1 = [7, 3],
v2 = [5, 5] e v3 = [3, 7].
Caratteristiche di vettori
Le caratteristiche distintive di un vettore sono
matrici
particolari
Alcune
proprietà delle
operazioni tra
matrici
intensità (norma): ovvero la lunghezza del
vettore
direzione: individuata dalla retta passante
per gli estremi (OP ) del vettore
verso: la semiretta con origine in O e
passante per P
Interpretazione
geometrica di
vettori
Trasformazioni
matriciali dei
dati di
partenza
Il coefficiente A. Iodice ()
Richiami di algebra delle matrici
Statistica
18 / 50
La norma di un vettore
Richiami di
algebra delle
matrici
A. Iodice
La norma (lunghezza di un vettore v è data dalla radice quadrata della somma dei quadrati degli elementi di
v)
v
u p
uX
kvk = [v1 , v2 , . . . , vp ] = t
v2
i
i=1
Operazioni di
base sui
vettori
Rappresentazione di vettori in R2
Operazioni di
base sulle
matrici
matrici
particolari
Alcune
proprietà delle
operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
Calcolo della norma di vettori
Con riferimento ai vettori v1
e v3 = [3, 7] le norme sono
p
kv1 k = 72 + 32
p
kv2 k = 52 + 52
p
kv3 k = 32 + 72
= [7, 3], v2 = [5, 5]
= 7.61
= 7.07
= 7.61
Trasformazioni
matriciali dei
dati di
partenza
Il coefficiente A. Iodice ()
Richiami di algebra delle matrici
Statistica
19 / 50
Vettori collineari
Richiami di
algebra delle
matrici
A. Iodice
Due vettori si dicono collineari se sono caratterizzati da uguale
direzione, anche se da intensità differente. Considerando i
vettori v2 = [5, 5] e v4 = [8, 8]
Operazioni di
base sui
vettori
Operazioni di
base sulle
matrici
matrici
particolari
Alcune
proprietà delle
operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
Trasformazioni
matriciali dei
dati di
partenza
Il coefficiente A. Iodice ()
Richiami di algebra delle matrici
Statistica
20 / 50
Vettori con norma unitaria
Richiami di
algebra delle
matrici
A. Iodice
Rappresentazione di vettori in R2
Operazioni di
base sui
vettori
Operazioni di
base sulle
matrici
matrici
particolari
Vettore di norma unitaria
Il verrore di lunghezza unitaria si definisce versore e
identifica una direzione. Una direzione identifica
infiniti vettori, pertanto quello cui si fa riferimento è
il versore. Per ottenere il versore u corrispondente al
vettore v è necessario dividere ciascuno degli
elementi di v per kvk.
Con riferimento ai vettori v1 = [4, 1],
v2 = [3, 3.5] e v3 = [1, 3.5], i corrispondenti
vettori unitari (versori sono)
Alcune
proprietà delle
operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
4 , 1 ] = [0.97, 0.24]
u1 = [ 4.12
4.12
3 , 3.5 ] = [0.65, 0.76]
u2 = [ 4.61
4.61
1 , 3.5 ] = [0.27, 0.96]
u3 = [ 3.64
3.64
Trasformazioni
matriciali dei
dati di
partenza
Il coefficiente A. Iodice ()
Richiami di algebra delle matrici
Statistica
21 / 50
Interpretazione geometrica della somma tra vettori
Richiami di
algebra delle
matrici
Rappresentazione della somma di vettori in R2
A. Iodice
Operazioni di
base sui
vettori
Operazioni di
base sulle
matrici
matrici
particolari
Alcune
proprietà delle
operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
Somma tra vettori
Dati due vettori vettori
v1 = [x1 , y1 ] e
v2 = [x2 , y2 ] il vettore
risultante dalla somma v1 + v2
corrisponde alla diagonale
maggiore del parallelogramma
avente per lati v1 e v2 .
Con riferimento ai vettori
v1 = [4, 1], v2 = [3, 3.5] e
v3 = [1, 3.5], i corrispondenti
vettori somma sono
v1 + v2 = [7, 4.5]
v2 + v3 = [4, 7]
Trasformazioni
matriciali dei
dati di
partenza
Il coefficiente A. Iodice ()
Richiami di algebra delle matrici
Statistica
22 / 50
Interpretazione geometrica della differenza tra
vettori
Richiami di
algebra delle
matrici
Rappresentazione della differenza di vettori in R2
A. Iodice
Operazioni di
base sui
vettori
Operazioni di
base sulle
matrici
matrici
particolari
Alcune
proprietà delle
operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
Differenza tra vettori
Dati due vettori vettori
v1 = [x1 , y1 ] e
v2 = [x2 , y2 ] il vettore
risultante dalla somma v1 − v2
corrisponde alla diagonale
minore del parallelogramma
avente per lati v1 e v2 .
Con riferimento ai vettori
v1 = [4, 1], v2 = [3, 3.5] e
v3 = [1, 3.5], i corrispondenti
vettori somma sono
v1 − v2 = [1, −2.5]
v2 − v3 = [2, 0]
Trasformazioni
matriciali dei
dati di
partenza
Il coefficiente A. Iodice ()
Richiami di algebra delle matrici
Statistica
23 / 50
Interpretazione geometrica del prodotto scalare tra
vettori
Richiami di
algebra delle
matrici
A. Iodice
Operazioni di
base sui
vettori
Operazioni di
base sulle
matrici
matrici
particolari
Alcune
proprietà delle
operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
Trasformazioni
matriciali dei
dati di
partenza
Dati due vettori vettori v1 = [x1 , y1 ] e v2 = [x2 , y2 ] il prodotto scalare è proporzionale alla proiezione
ortogonale del vettore v1 sul vettore v2
Il prodotto scalare tra vettori tra
vettori
Rappresentazione della proiezione di v1 su v2
Il prodotto scalare è
proporzionale al coseno
dell’angolo θ formato tra i due
vettori.
cos(θ) =
T
v1
v2
kv1 kkv2 k
da cui
T
v1 v2 = cos(θ)kv1 kkv2 k
da cui deriva il fatto che, se v1
e v2 sono perpendicolari,
θ = 90o , dunque
cos(θ) = cos(90o ) = 0
T
allora v1
v2 = 0
Il coefficiente A. Iodice ()
Richiami di algebra delle matrici
Statistica
24 / 50
Proiezione ortogonale di un vettore
Richiami di
algebra delle
matrici
...graficamente
si consideri il vettore x = [5, 4]
A. Iodice
Operazioni di
base sui
vettori
Operazioni di
base sulle
matrici
matrici
particolari
Alcune
proprietà delle
operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
Trasformazioni
matriciali dei
dati di
partenza
Il coefficiente A. Iodice ()
Richiami di algebra delle matrici
Statistica
25 / 50
Proiezione ortogonale di un vettore
Richiami di
algebra delle
matrici
...graficamente
si vuole proiettare il vettore x sull’asse U passante per il punto (11, 1).
A. Iodice
Operazioni di
base sui
vettori
Operazioni di
base sulle
matrici
matrici
particolari
Alcune
proprietà delle
operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
Trasformazioni
matriciali dei
dati di
partenza
Il coefficiente A. Iodice ()
Richiami di algebra delle matrici
Statistica
26 / 50
Proiezione ortogonale di un vettore
Richiami di
algebra delle
matrici
A. Iodice
...graficamente
per effettuare la proiezione di x sull’asse U occorre calcolare il versore v dell’asse U; il versore è
v = [0.995, 0.0905]
Operazioni di
base sui
vettori
Operazioni di
base sulle
matrici
matrici
particolari
Alcune
proprietà delle
operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
Trasformazioni
matriciali dei
dati di
partenza
Il coefficiente A. Iodice ()
Richiami di algebra delle matrici
Statistica
27 / 50
Proiezione ortogonale di un vettore
Richiami di
algebra delle
matrici
A. Iodice
...graficamente
coordinata α della proiezione ortogonale sull’asse U del vettore x si ottiene moltiplicando il vettore da
proiettare per il versore v dell’asse U,
Operazioni di
base sui
vettori
Operazioni di
base sulle
matrici
matrici
particolari
Alcune
proprietà delle
operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
Trasformazioni
matriciali dei
dati di
partenza
Il coefficiente A. Iodice ()
Richiami di algebra delle matrici
Statistica
28 / 50
Proiezione ortogonale di un vettore
Richiami di
algebra delle
matrici
A. Iodice
...graficamente
coordinata α della proiezione ortogonale sull’asse U del vettore x si ottiene moltiplicando il vettore da
proiettare per il versore v dell’asse U,
Operazioni di
base sui
vettori
Operazioni di
base sulle
matrici
matrici
particolari
Alcune
proprietà delle
operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
Trasformazioni
matriciali dei
dati di
partenza
Il coefficiente A. Iodice ()
Richiami di algebra delle matrici
Statistica
29 / 50
Proiezione ortogonale di un vettore
Richiami di
algebra delle
matrici
...graficamente
avendo ottenuto α, è ora possibile calcolare il vettore x̂ che rappresenta l’ ‘immagine’ di x sull’asse U
A. Iodice
Operazioni di
base sui
vettori
Operazioni di
base sulle
matrici
matrici
particolari
Alcune
proprietà delle
operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
Trasformazioni
matriciali dei
dati di
partenza
Il coefficiente A. Iodice ()
Richiami di algebra delle matrici
Statistica
30 / 50
Proiezione ortogonale di un vettore
Richiami di
algebra delle
matrici
A. Iodice
Operazioni di
base sui
vettori
Operazioni di
base sulle
matrici
Ciascun asse individua una direzione nello spazio; poichè ciascuna direzione identifica infiniti vettori di diversa
intensità si fa riferimento al versore che ha norma (intensità ) pari ad 1. Dunque tutti i punti che giacciono
su un asse U che ha per versore v avranno come coordinata un multiplo di v. Questo perchè a ciascuno dei
punti su U corrisponde un vettore di direzione identificata dall’asse U di versore v. Sia x̂ la proiezione
ortogonale del vettore x sull’asse U di versore v.
La proiezione di x su U deve essere ortogonale, quindi il vettore differenza (x − x̂) deve essere ortogonale
all’asse U, di conseguenza (x − x̂) deve essere ortogonale a v. Due vettori sono ortogonali se il loro
prodotto scalare è nullo, il vincolo è quindi (x − x̂)T v = 0 da cui, facendo alcuni passaggi, si ha
matrici
particolari
Alcune
proprietà delle
operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
x̂ = αv
Determinare α, la coordinata sull’asse
xT v − x̂T v = 0
poichè x̂ = αv e x̂T = αvT allora
xT v − αvT v = 0
essendo v un versore, vT v = 1, quindi
xT v − α = 0
α = xT v che rappresenta la coordinata di x sull’asse U di versore v.
=⇒
dunque la coordinata α della proiezione ortogonale sull’asse U del vettore x si ottiene moltiplicando il
vettore da proiettare per il versore v dell’asse U.
La coordinata α sarà dunque una
combinazione lineare (somma ponderata) di x
0.995
α = xT v = [5, 4]
= 5 × 0.995 +4 × 0.905 = 8.595
0.905
| {z }
| {z }
peso
peso
Trasformazioni
matriciali dei
dati di
partenza
Il coefficiente A. Iodice ()
Richiami di algebra delle matrici
Statistica
31 / 50
la media aritmetica
Richiami di
algebra delle
matrici
media semplice:
n
A. Iodice
µ=
Operazioni di
base sui
vettori
Operazioni di
base sulle
matrici
matrici
particolari
Alcune
proprietà delle
operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
Trasformazioni
matriciali dei
dati di
partenza
Il coefficiente A. Iodice ()
1X
xi
n
i=1
media per dati organizzati in frequenze:
n
1X
µ=
xi ni
n
i=1
media per frequenze relative:
µ=
n
X
xi
i=1
Richiami di algebra delle matrici
ni
n
Statistica
32 / 50
Calcolo della media aritmetica semplice: un
esempio
Richiami di
algebra delle
matrici
A. Iodice
La distribuzione unitaria della media voto di un collettivo di
n = 20 studenti
Operazioni di
base sui
vettori
Operazioni di
base sulle
matrici
matrici
particolari
Alcune
proprietà delle
operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
Trasformazioni
matriciali dei
dati di
partenza
Il coefficiente A. Iodice ()
Richiami di algebra delle matrici
Statistica
33 / 50
Calcolo della media aritmetica semplice: un
esempio
Richiami di
algebra delle
matrici
A. Iodice
La distribuzione unitaria della media voto di un collettivo di
n = 20 studenti
Operazioni di
base sui
vettori
Operazioni di
base sulle
matrici
matrici
particolari
Alcune
proprietà delle
operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
Trasformazioni
matriciali dei
dati di
partenza
Il coefficiente A. Iodice ()
Richiami di algebra delle matrici
Statistica
33 / 50
Calcolo della media aritmetica semplice: un
esempio
Richiami di
algebra delle
matrici
A. Iodice
La distribuzione unitaria della media voto di un collettivo di
n = 20 studenti
Operazioni di
base sui
vettori
Operazioni di
base sulle
matrici
matrici
particolari
Alcune
proprietà delle
operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
Trasformazioni
matriciali dei
dati di
partenza
Il coefficiente A. Iodice ()
µ=
1
×(22.5 + 23 + 18.5 + 18.3+
20
+ 28 + 25.7 + 24.2 + 28.7+
+ 27.9 + 27 + 24.6 + 26.8+
+ 21.5 + 20.3 + 23.6 + 26.4+
+ 18.9 + 19.4 + 19.3 + 26) =
470.6
=
= 23.53
20
Richiami di algebra delle matrici
Statistica
33 / 50
Definizione di varianza
Richiami di
algebra delle
matrici
A. Iodice
Operazioni di
base sui
vettori
La varianza un’indice che misura la variabilità di una variabile
X rispetto alla media aritmetica. In particolare la varianza σ 2
data dalla media dei quadrati degli scarti (delle modalità dalla
media)
Operazioni di
base sulle
matrici
matrici
particolari
Alcune
proprietà delle
operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
Trasformazioni
matriciali dei
dati di
partenza
Il coefficiente A. Iodice ()
Richiami di algebra delle matrici
Statistica
34 / 50
Definizione di varianza
Richiami di
algebra delle
matrici
A. Iodice
Operazioni di
base sui
vettori
La varianza un’indice che misura la variabilità di una variabile
X rispetto alla media aritmetica. In particolare la varianza σ 2
data dalla media dei quadrati degli scarti (delle modalità dalla
media)
Operazioni di
base sulle
matrici
matrici
particolari
Alcune
proprietà delle
operazioni tra
matrici
(x1 − µ)2 + (x2 − µ)2 + . . . + (xn − µ)2
=
n
n
1X
=
(xi − µ)2
n
σ2 =
i=1
Interpretazione
geometrica di
vettori
Trasformazioni
matriciali dei
dati di
partenza
Il coefficiente A. Iodice ()
Richiami di algebra delle matrici
Statistica
34 / 50
Definizione di varianza
Richiami di
algebra delle
matrici
A. Iodice
Operazioni di
base sui
vettori
La varianza un’indice che misura la variabilità di una variabile
X rispetto alla media aritmetica. In particolare la varianza σ 2
data dalla media dei quadrati degli scarti (delle modalità dalla
media)
(x1 − µ)2 + (x2 − µ)2 + . . . + (xn − µ)2
=
n
n
1X
=
(xi − µ)2
n
σ2 =
Operazioni di
base sulle
matrici
matrici
particolari
Alcune
proprietà delle
operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
Trasformazioni
matriciali dei
dati di
partenza
i=1
per dati organizzati in frequenze
(x1 − µ)2 × n1 + (x2 − µ)2 × n2 + . . . + (xk − µ)2 × nk
=
n1 + n2 + . . . + nk
k
1X
=
(xi − µ)2 × ni
n
σ2 =
Il coefficiente A. Iodice ()
i=1
Richiami di algebra delle matrici
Statistica
34 / 50
Esempio di calcolo della varianza
Richiami di
algebra delle
matrici
Data la variabile X : numero di esami sostenuti prima di quello
di statistica osservata su un collettivo di n = 6 studenti
A. Iodice
Operazioni di
base sui
vettori
Operazioni di
base sulle
matrici
matrici
particolari
Alcune
proprietà delle
operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
Trasformazioni
matriciali dei
dati di
partenza
Il coefficiente A. Iodice ()
Richiami di algebra delle matrici
Statistica
35 / 50
Esempio di calcolo della varianza
Richiami di
algebra delle
matrici
Data la variabile X : numero di esami sostenuti prima di quello
di statistica osservata su un collettivo di n = 6 studenti
A. Iodice
Operazioni di
base sui
vettori
Operazioni di
base sulle
matrici
matrici
particolari
Alcune
proprietà delle
operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
Trasformazioni
matriciali dei
dati di
partenza
Il coefficiente A. Iodice ()
Richiami di algebra delle matrici
Statistica
35 / 50
Esempio di calcolo della varianza
Richiami di
algebra delle
matrici
Data la variabile X : numero di esami sostenuti prima di quello
di statistica osservata su un collettivo di n = 6 studenti
A. Iodice
Operazioni di
base sui
vettori
Operazioni di
base sulle
matrici
matrici
particolari
Alcune
proprietà delle
operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
Trasformazioni
matriciali dei
dati di
partenza
La varianza sarà dunque
n
1X
50.8333
2
σ =
(xi − µ)2 =
= 8.4722
n
6
Il coefficiente A. Iodice ()
i=1
Richiami di algebra delle matrici
Statistica
35 / 50
Misura del legame
Richiami di
algebra delle
matrici
A. Iodice
Operazioni di
base sui
vettori
Operazioni di
base sulle
matrici
Nel caso di variabili quantitative preferibile utilizzare una
misura del legame che coinvolga, oltre le frequenze, anche le
modalità (numeriche) delle variabili.
Le componenti della variabile doppia X e Y possono essere
caratterizzate da diversa posizione e variabilità, risulta in
genere che
µx 6= µy e σx 6= σy
matrici
particolari
Alcune
proprietà delle
operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
Trasformazioni
matriciali dei
dati di
partenza
Il coefficiente A. Iodice ()
Richiami di algebra delle matrici
Statistica
36 / 50
Misura del legame
Richiami di
algebra delle
matrici
A. Iodice
Operazioni di
base sui
vettori
Operazioni di
base sulle
matrici
matrici
particolari
Alcune
proprietà delle
operazioni tra
matrici
Nel caso di variabili quantitative preferibile utilizzare una
misura del legame che coinvolga, oltre le frequenze, anche le
modalità (numeriche) delle variabili.
Le componenti della variabile doppia X e Y possono essere
caratterizzate da diversa posizione e variabilità, risulta in
genere che
µx 6= µy e σx 6= σy
Volendo misurare le variazioni congiunte delle modalità di X
ed Y , si fa riferimento alla versione standardizzata delle
variabili, data da
Interpretazione
geometrica di
vettori
Trasformazioni
matriciali dei
dati di
partenza
Zx =
Y − µy
X − µx
e Zy =
σx
σy
questo per escludere dalla misura del legame gli effetti della
differente media e varianza (essendo µx 6= µy e σx 6= σy )
Il coefficiente A. Iodice ()
Richiami di algebra delle matrici
Statistica
36 / 50
Il coefficiente di correlazione lineare di Pearson ρ
Richiami di
algebra delle
matrici
A. Iodice
L’indice corrispondente alla media aritmetica del prodotto delle
modalità standardizzate delle variabili si definisce
coefficiente di correlazione lineare di Pearson ρ ed dato da
Operazioni di
base sui
vettori
Operazioni di
base sulle
matrici
ρxy
n
n
i=1
i=1
1X
1X
(zx,i zy,i ) =
=
n
n
xi − µx yi − µy
×
σx
σy
matrici
particolari
Alcune
proprietà delle
operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
Trasformazioni
matriciali dei
dati di
partenza
Il coefficiente A. Iodice ()
Richiami di algebra delle matrici
Statistica
37 / 50
Il coefficiente di correlazione lineare di Pearson ρ
Richiami di
algebra delle
matrici
A. Iodice
L’indice corrispondente alla media aritmetica del prodotto delle
modalità standardizzate delle variabili si definisce
coefficiente di correlazione lineare di Pearson ρ ed dato da
Operazioni di
base sui
vettori
Operazioni di
base sulle
matrici
matrici
particolari
Alcune
proprietà delle
operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
Trasformazioni
matriciali dei
dati di
partenza
ρxy
n
n
i=1
i=1
1X
1X
(zx,i zy,i ) =
=
n
n
xi − µx yi − µy
×
σx
σy
Con piccole trasformazioni si ottiene la presente formalizzazione
1 Pn
σxy
i=1 (xi − µx )(yi − µy )
n
ρxy =
=
σx σy
σx σy
La quantità al numeratore si definisce covarianza: essa
corrisponde alla media del prodotto degli scarti delle modalità
di X e Y dalle rispettive medie. La covarianza misura la
contenporanea variazione di X e Y con riferimento alle loro
medie.
Il coefficiente A. Iodice ()
Richiami di algebra delle matrici
Statistica
37 / 50
Calcolo del coefficiente di correlazione
Richiami di
algebra delle
matrici
Si consideri l’esempio della variabile doppia reddito/grado di
anzianità
A. Iodice
Operazioni di
base sui
vettori
Operazioni di
base sulle
matrici
matrici
particolari
Alcune
proprietà delle
operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
Trasformazioni
matriciali dei
dati di
partenza
Il coefficiente A. Iodice ()
Richiami di algebra delle matrici
Statistica
38 / 50
Calcolo del coefficiente di correlazione
Richiami di
algebra delle
matrici
A. Iodice
Operazioni di
base sui
vettori
Operazioni di
base sulle
matrici
matrici
particolari
Alcune
proprietà delle
operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
Trasformazioni
matriciali dei
dati di
partenza
Il coefficiente A. Iodice ()
Richiami di algebra delle matrici
Statistica
38 / 50
Calcolo del coefficiente di correlazione
Richiami di
algebra delle
matrici
A. Iodice
Operazioni di
base sui
vettori
sia X = ’anni di anzianità’ e Y = ’reddito annuo’
v
u n
u1 X
σx = t
(xi − µx )2 = 10.13
n
i=1
Operazioni di
base sulle
matrici
v
u n
u1 X
σy = t
(yi − µy )2 = 18.36
n
matrici
particolari
Alcune
proprietà delle
operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
Trasformazioni
matriciali dei
dati di
partenza
Il coefficiente A. Iodice ()
i=1
n
σxy
1X
(xi − µx )(yi − µy ) = 177.31
=
n
i=1
ρxy =
σxy
177.31
=
= 0.95
σx σy
10.13 × 18.36
Richiami di algebra delle matrici
Statistica
38 / 50
Tabella individui × variabili
Richiami di
algebra delle
matrici
A. Iodice
Operazioni di
base sui
vettori
Operazioni di
base sulle
matrici
matrici
particolari
Alcune
proprietà delle
operazioni tra
matrici
Si considerino p variabili quantitative osservate su un collettivo di n
unità statistiche.
La corrispondente 
matrice di dati A

a1,1 a1,2 . . . a1,p
 a2,1 a2,2 . . . a2,p 

An×p = 
 ...
... ... ... 
an,1 an,2 . . . an,p
esempio

A5×3
Interpretazione
geometrica di
vettori


=


25
23
36
22
18
19
21
16
24
9
13
19
22
17
4






Trasformazioni
matriciali dei
dati di
partenza
Il coefficiente A. Iodice ()
Richiami di algebra delle matrici
Statistica
39 / 50
Calcolo del vettore delle medie delle p variabili
Richiami di
algebra delle
matrici
A. Iodice
Operazioni di
base sui
vettori
Operazioni di
base sulle
matrici
Utilizzando il prodotto vettoriale è possibile ottenere il vettore delle medie
 1


a1,1
a1,2
...
a1,n
n
 1
 a2,1
a2,2
...
a2,n 
T


n
×
m = Ap×n ∗ un×1 = 
 ...
...
...
...
... 
1
ap,1
ap,2
...
ap,n


=

n


=

matrici
particolari
1 (a
1,1 +
n
1 (a
2,1 +
n
...
1 (a
p,1 +
n
a1,2 +
a2,2 +
...
ap,2 +
...
...
...
...


a1,n )
µ1

a2,n ) 
 =  µ2
 ...

...
µp
ap,n )




esempio
Alcune
proprietà delle
operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori

25
 19
13
|
23
21
19
36
16
22
{z
AT
3×5
22
24
17


18


9 ×

4
}
|
1/5
1/5
1/5
1/5
1/5
{z
u5×1





=


(25+23+36+22+18)
5
(19+21+16+24+9)
5
(13+19+22+17+4)
5
}



24.8

 =  17.8 

15
{z
}
|
m3×1
Trasformazioni
matriciali dei
dati di
partenza
Il coefficiente A. Iodice ()
Richiami di algebra delle matrici
Statistica
40 / 50
Calcolo della matrice delle medie delle p variabili
Richiami di
algebra delle
matrici
A. Iodice
Operazioni di
base sui
vettori
Operazioni di
base sulle
matrici
A partire da m, vettore delle medie, si ottiene la matrice delle medie, utile alla successiva operazione di
centratura.


1
 1 
T
×

µ1
µ2
...
µp
=
Mn×p = 1n×1 ∗ m1×p = 
... 
1

µ1
 µ1
=
 ...
µ1
µ2
µ2
...
µ2
...
...
...
...

µp
µp 

... 
µp
matrici
particolari
esempio
Alcune
proprietà delle
operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori

1
 1 


24.8
17.8
 1 ×
 1  |
{z
1
mT
1×3
| {z }

15×1
24.8
 24.8

15
=  24.8
 24.8
}
24.8
|

17.8
17.8
17.8
17.8
17.8
{z
15
15
15
15
15





}
M5×3
Trasformazioni
matriciali dei
dati di
partenza
Il coefficiente A. Iodice ()
Richiami di algebra delle matrici
Statistica
41 / 50
Centratura della matrice
Richiami di
algebra delle
matrici
A. Iodice
Sottraendo alla matrice dei dati di partenza A e la matrice delle medie M si ottiene la matrice dei dati
centrati X.
Xn×p = An×p − Mn×p =

Operazioni di
base sui
vettori
Operazioni di
base sulle
matrici
matrici
particolari
Alcune
proprietà delle
operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
a1,1
 a2,1
=
 ...
an,1
a1,2
a2,2
...
an,2
...
...
...
...

(a1,1 − µ1 )
 (a2,1 − µ1 )
=

...
(an,1 − µ1 )


a1,p
µ1

a2,p 
 −  µ1
 ...
... 
µ1
an,p
(a1,2 − µ2 )
(a2,2 − µ2 )
...
(an,2 − µ2 )
...
...
...
...
µ2
µ2
...
µ2
...
...
...
...

µp
µp 
=
... 
µp

(a1,p − µp )
(a2,p − µp ) 


...
(an,p − µp )
esempio
25
 23

 36
 22
18
|

Trasformazioni
matriciali dei
dati di
partenza
Il coefficiente A. Iodice ()
19
21
16
24
9
{z
A5×3
13
19
22
17
4

24.8
  24.8
 
 −  24.8
  24.8
24.8
} |

17.8
17.8
17.8
17.8
17.8
{z
15
15
15
15
15

0.2
 −1.8



 =  11.2
 −2.8

−6.8
}
|

M5×3
Richiami di algebra delle matrici
1.2
3.2
−1.8
6.2
−8.8
{z
−2
4
7
2
−11





}
X5×3
Statistica
42 / 50
Matrice di devianza e codevianza
Richiami di
algebra delle
matrici
A. Iodice
Operazioni di
base sui
vettori
Operazioni di
base sulle
matrici
Una volta ottenuta la matrice centrata X, è possibile, attraverso il prodotto di X per la sua trasposta,
ottenere la matrice di devianza e codevianza .Tale matrice avrá elementi della diagonale principale le
devianze); gli elementiextra-diagonale le codevianze.



x1,1
x1,2
...
x1,p
x1,1
x1,2
...
x1,n




x
x
.
.
.
x
x
x
.
.
.
x
2,1
2,2
2,p  =
2,1
2,2
2,n  × 

XT
p×n ∗ Xn×p =  . . .
 ...
...
...
... 
...
...
... 
xn,1
xn,2
...
xn,p
xp,1
xp,2
...
xp,n

dev(X1 )
 codev(X2 , X1 )
=

...
codev(Xp , X1 )
matrici
particolari
esempio
Alcune
proprietà delle
operazioni tra
matrici

Interpretazione
geometrica di
vettori
Trasformazioni
matriciali dei
dati di
partenza
0.20
 1.20
−2.00
|
−1.80
3.20
4.00
codev(X1 , X2 )
dev(X2 )
...
codev(Xp , X2 )
11.20
−1.80
7.00
{z
XT
3×5


182.8
16.8
140
|
Il coefficiente A. Iodice ()
16.8
130.8
107
{z
−2.80
6.20
2.00
...
...
...
...

codev(X1 , Xp )
codev(X2 , Xp ) 


...
dev(Xp )

0.2

−6.80
 −1.8


−8.80
×  11.2
 −2.8
−11.00
}
−6.8
|
1.2
3.2
−1.8
6.2
−8.8
{z
−2
4
7
2
−11



=

}
X5×3

140
107 
194
}
V3×3
Richiami di algebra delle matrici
Statistica
43 / 50
Matrice di varianze e covarianze
Richiami di
algebra delle
matrici
A. Iodice
A questo punto è immediato definire la matrice di varianze e covarianze Σ. Per fare questo si consideri la
matrice diagonale come una matrice quadrata (stesso numero di righe e di colonne) i cui elementi
extradiagonali sono nulli. In particolare si faccia riferimento alla matrice U di dimensione (p × p) i cui
1.
elementi diagonali siano tutti uguali a n
Operazioni di
base sui
vettori
Operazioni di
base sulle
matrici
matrici
particolari
Alcune
proprietà delle
operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
Trasformazioni
matriciali dei
dati di
partenza

1
n
 0
U=
 ...
0
0
1
n
...
0
0
...
...
...

0
0 

... 
1
n
Utilizzando la matrice U è possibile ricavare la matrice Σ di dimensioni p × p a partire da quella di devianze
e codevianze XT X precedentemente ottenuta.
2
σX
1
 σ

(X2 ,X1 )
XT XU = VU = Σ = 
 ...
σ(Xn ,X )
Il coefficiente A. Iodice ()

1
σ(X ,X )
1
2
2
σX
2
...
σ(Xn ,X )
2
Richiami di algebra delle matrici
...
...
...
...

σ(X ,Xp )
1

σ(X ,Xp ) 
2


...
2
σX
p
Statistica
44 / 50
Matrice di varianze e covarianze
Richiami di
algebra delle
matrici
A. Iodice
Operazioni di
base sui
vettori
Operazioni di
base sulle
matrici
matrici
particolari
esempio

182.8
 16.8
140
|
16.8
130.8
107
{z
V3×3

140
1/5
107   0
194
0
}|
0
1/5
0
{z


0
36.56
0  =  3.36
1/5
28
|
}
U3×3
3.36
26.16
21.40
{z

28
21.4 
38.8
}
Σ3×3
Alcune
proprietà delle
operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
Trasformazioni
matriciali dei
dati di
partenza
Il coefficiente A. Iodice ()
Richiami di algebra delle matrici
Statistica
45 / 50
Matrice standardizzata
Richiami di
algebra delle
matrici
A. Iodice
Per ottenere la matrice dei dati standardizzati Z di dimensione n × p i cui elemento generico
zij =
aij −µj
σj
, i = 1, . . . , n; j = 1, . . . , p. Avendo già ottenuto la matrice dei dati centrati X è
necessario moltiplicare ciascuno degli elementi di tale matrice per σ1 . Si ricorre anche in questo caso ad una
j
Operazioni di
base sui
vettori
Operazioni di
base sulle
matrici
matrici
particolari
Alcune
proprietà delle
operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
Trasformazioni
matriciali dei
dati di
partenza
matrice diagonale: la matrice è D di dimensione (p × p) i cui elementi diagonali sono tutti uguali a σ1 ,
j
j = 1, . . . , p.

1
 σ1
 0
D=
 ...

0
0
...
1
σ2
...
...
...
...
0
0



0 
... 

1
σp
Utilizzando la matrice D è possibile ricavare la matrice Z di dimensioni n × p: post-moltiplicando D ad X
si ottiene
 a −µ
a1p −µp 
a12 −µ2
11
1
...
σ1
σ2
σp


a2p −µp 
 a21 −µ1
a22 −µ2


...
σ
σ
σp
Z = XD = 

1
2


...
...
...
...


anp −µp
an1 −µ1
an2 −µ2
.
.
.
σ
σ
σ
Il coefficiente A. Iodice ()
1
2
p
Richiami di algebra delle matrici
Statistica
46 / 50
Matrice standardizzata
Richiami di
algebra delle
matrici
A. Iodice
esempio
Operazioni di
base sui
vettori
Operazioni di
base sulle
matrici
matrici
particolari
Alcune
proprietà delle
operazioni tra
matrici
0.2
 −1.8

 11.2
 −2.8
−6.8
|

1.2
3.2
−1.8
6.2
−8.8
{z
−2
4
7
2
−11

√ 1
36.56




}|
0.03
 −0.30

 1.85
 −0.46
−1.12
|
0.23
0.63
−0.35
1.21
−1.72
{z
−0.32
0.64
1.12
0.32
−1.77
0
√ 1
26.16
0
0
{z
0

0

=

√1
38.8
}
D3×3
X5×3

0





}
Z5×3
Interpretazione
geometrica di
vettori
Trasformazioni
matriciali dei
dati di
partenza
Il coefficiente A. Iodice ()
Richiami di algebra delle matrici
Statistica
47 / 50
Matrice di correlazione
Richiami di
algebra delle
matrici
A. Iodice
Operazioni di
base sui
vettori
Operazioni di
base sulle
matrici
matrici
particolari
Il coefficiente di correlazione lineare di Pearson che caratterizza una coppia di variabili è definito come la
media aritmetica dei prodotti delle modalità standardizzate. Pertanto, avendo calcolato Z, matrice
standardizzata, risulta agevole ottenere la matrice di correlazione:

1
 ρ2,1
R = Z ZU = 
 ...
ρp,1
ρ1,2
1
...
ρp,2
T

ρ1,p
ρ2,p 

... 
1
...
...
...
...
In particolare gli elementi diagonali di tale matrice sono
Alcune
proprietà delle
operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
rjj =
1
"
a1,j − µj
n
n
1 X
n i=1
|
!2
+
σj
aij − µj
{z
2 1
σj2
=
a2,j − µj
!2
σj
σj2
σj2
+ ... +
an,j − µj
σj
!2 #
=
=1
}
varianza σ 2
j
Trasformazioni
matriciali dei
dati di
partenza
Il coefficiente A. Iodice ()
Richiami di algebra delle matrici
Statistica
48 / 50
Matrice di correlazione
Richiami di
algebra delle
matrici
A. Iodice
Gli elementi extra-diagonali sono
Operazioni di
base sui
vettori
rkj =
1
"
a1,k − µk
n
!
σk
×
a1,j − µj
σj
!
+
Operazioni di
base sulle
matrici
matrici
particolari
Alcune
proprietà delle
operazioni tra
matrici
a2,k − µk
σk
!
×
a2,j − µj
σj
!
+ ...+
covarianza σkj
z
n
1 X
+
=
an,k − µk
σk
σkj
σk σj
!
×
an,j − µj
σj
!#
=
n i=1
}|
ai,k − µk
ai,j − µj
σk σ j
{
=
= ρkj → coefficiente di correlazione lineare tra le variabili k e j
Interpretazione
geometrica di
vettori
Trasformazioni
matriciali dei
dati di
partenza
Il coefficiente A. Iodice ()
Richiami di algebra delle matrici
Statistica
49 / 50
Matrice di correlazione
Richiami di
algebra delle
matrici
A. Iodice
esempio
Operazioni di
base sui
vettori
Operazioni di
base sulle
matrici
matrici
particolari
Alcune
proprietà delle
operazioni tra
matrici
R=

0.03
 0.23
−0.32
|
−0.30
0.63
0.64
1.85
−0.35
1.12
{z

0.03

−1.12
 −0.30

−1.72   1.85
 −0.46
−1.77
}
−1.12
|
−0.46
1.21
0.32
ZT
3×5

5
=  0.54
3.72
|
0.54
5
3.36
{z
ZT Z
3×3

3.72

3.36  
5
}|
0.23
0.63
−0.35
1.21
−1.72
{z
−0.32
0.64
1.12
0.32
−1.77



 U3×3 =

}
Z5×3
1
5
0
0
0
1
5
0
{z
0
0
1
5


1

 =  0.11
0.74
|
}
U3×3
0.11
1
0.67
{z

0.74
0.67 
1
}
R3×3
Interpretazione
geometrica di
vettori
Trasformazioni
matriciali dei
dati di
partenza
Il coefficiente A. Iodice ()
Richiami di algebra delle matrici
Statistica
50 / 50