Corso di Laurea in Ingegneria Edile Corso di Analisi

Analisi
Matematica
Lucio Demeio DIISM
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Corso di Laurea in Ingegneria Edile
Retta tangente e
derivata
Corso di Analisi Matematica
Algebra delle
derivate
DERIVATE
Derivate delle
funzioni
elementari
Lucio Demeio
Dipartimento di Ingegneria Industriale
e delle Scienze Matematiche
Esempi di
calcolo di
derivate
Analisi
Matematica
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Retta tangente e derivata
Retta tangente e
derivata
Algebra delle
derivate
Algebra delle derivate
Derivate delle
funzioni
elementari
Esempi di
calcolo di
derivate
Derivate delle funzioni elementari
Esempi di calcolo di derivate
Analisi
Matematica
Secanti e tangenti
Sia f : D → R, sia I = [a, b] oppure I = (a, b), con a < b, un
intervallo contenuto nel dominio quindi I ⊂ D, e sia x0 ∈ I.
Consideriamo un secondo punto x1 ∈ I (x1 > x0 ) e tracciamo
la retta passante per i punti di ascissa x0 e x1 sul grafico della
funzione, x0 , f (x0 ) e x1 , f (x1 ) (retta secante).
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Retta tangente e
derivata
Algebra delle
derivate
Derivate delle
funzioni
elementari
2
Esempi di
calcolo di
derivate
(x1 , f(x1 ))
1.5
(x0 , f(x0 ))
1
0.6
x0
0.8
x
x1
1
L’equazione è
y(x) = f (x0 ) +
f (x1 ) − f (x0 )
(x − x0 )
x1 − x0
Secanti e tangenti
Avviciniamo ora x1 a x0 e consideriamo via via la posizione
della retta secante. Al limite per x1 → x0 la secante si dispone
lungo la direzione della tangente geometrica al grafico della
funzione nel punto di ascissa x0 . Affinchè questo succeda, però,
deve esistere il limite
f (x1 ) − f (x0 )
m = lim
+
x1 − x0
x1 →x0
+
Ragionando in maniera analoga con x1 < x0 si perviene al
limite
f (x1 ) − f (x0 )
m− = lim −
x1 − x0
x1 →x0
Se e solo se m+ ed m− esistono e sono uguali,
m+ = m− = m, il grafico della funzione ammette retta
tangente non verticale nel punto (x0 , f (x0 )).
Se uno sei due limiti non esiste, o se esistono ma non sono
uguali, il grafico della funzione non ammette retta
tangente in quel punto.
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Matematica
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Retta tangente e
derivata
Algebra delle
derivate
Derivate delle
funzioni
elementari
Esempi di
calcolo di
derivate
Analisi
Matematica
Secanti e tangenti
Da notare che, se esiste il limite (indicando ora x1
semplicemente con x)
m = lim
x→x0
x→x0
Algebra delle
derivate
Derivate delle
funzioni
elementari
f (x) − f (x0 ) − m(x − x0 )
=0
x − x0
Infatti:
f (x) − f (x0 ) − m(x − x0 )
=
x − x0
f (x) − f (x0 )
lim
−m=m−m=0
x→x0
x − x0
lim
x→x0
Ovvero:
f (x) = f (x0 ) + m (x − x0 ) + o(x − x0 ),
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Retta tangente e
derivata
f (x) − f (x0 )
x − x0
allora abbiamo
lim
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x → x0
Esempi di
calcolo di
derivate
Retta tangente e derivata
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Definizione di derivata
Retta tangente e
derivata
Se esiste il limite
Algebra delle
derivate
m = lim
x→x0
f (x) − f (x0 )
x − x0
la funzione f (x) si dice derivabile nel punto x0 ed il valore del
limite, m, si dice derivata della funzione nel punto x0 e si
indica con f ′ (x0 );
In tal caso, il grafico della funzione f (x) ammette retta tangente
non verticale nel punto di ascissa x0 e la retta di equazione
y = f (x0 ) + f ′ (x0 ) (x − x0 )
si dice retta tangente non verticale al grafico della funzione
f (x) nel punto x0 e la derivata f ′ (x0 ) è il valore del
coefficiente angolare della retta tangente.
Derivate delle
funzioni
elementari
Esempi di
calcolo di
derivate
Rapporto incrementale
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Retta tangente e
derivata
Algebra delle
derivate
Il rapporto
f (x) − f (x0 )
x − x0
si chiama rapporto incrementale.
Introducendo la variabile h = x − x0 , il limite del rapporto
incrementale si può anche scrivere nella forma usatissima
lim
x→x0
f (x0 + h) − f (x0 )
f (x) − f (x0 )
= lim
h→0
x − x0
h
Derivate delle
funzioni
elementari
Esempi di
calcolo di
derivate
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Matematica
Retta tangente e derivata
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Definizione alternativa di derivata
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La definizione di derivata si può anche formulare
equivalentemente nel seguente modo: se esiste un m ∈ R tale
che
f (x) = f (x0 ) + m (x − x0 ) + o(x − x0 ),
x → x0
la funzione ammette retta tangente (non verticale) in x0 e si
dice differenziabile nel punto x0 ; è allora facile vedere che
m = lim
x→x0
f (x) − f (x0 )
x − x0
che si dice derivata della funzione nel punto x0 .
La retta di equazione
y = f (x0 ) + m(x − x0 )
è la retta tangente (non verticale) al grafico della funzione f (x)
nel punto x0 .
Retta tangente e
derivata
Algebra delle
derivate
Derivate delle
funzioni
elementari
Esempi di
calcolo di
derivate
Retta tangente e derivata
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Ricapitolando
Retta tangente e
derivata
una funzione f : I → R si dice derivabile nel punto di ascissa
x0 ∈ I se esiste finito il limite
f (x) − f (x0 )
,
f ′ (x0 ) = lim
x→x0
x − x0
ed il valore di tale limite si dice derivata della funzione in x0 .
una funzione f : I → R si dice differenziabile nel punto di
ascissa x0 ∈ I se il suo grafico ammette retta tangente nel
punto di ascissa x0 ;
per una funzione reale di una variabile reale differenziabilità e
derivabilità sono equivalenti ed il coefficiente angolare della
retta tangente coincide con il valore della derivata; non è cosı̀
per le funzioni di più variabili, dove la differenziabilità implica
la derivabilità ma non viceversa.
Algebra delle
derivate
Derivate delle
funzioni
elementari
Esempi di
calcolo di
derivate
Derivata sinistra e derivata destra
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Lucio Demeio DIISM
Abbiamo iniziato il discorso sulle derivate introducendo i
due limiti, destro e sinistro,
m± = lim
x→x±
0
f (x) − f (x0 )
x − x0
di una funzione f : I → R, con x0 ∈ I.
Considerando separatamente i limiti destro e sinistro,
possiamo allora introdurre la nozione di derivata destra e
derivata sinistra di una funzione nel punto x0 ∈ I.
Diremo che la funzione f (x) ammette derivata destra, o è
derivabile a destra, nel punto x0 ∈ I se esiste finito il limite
m+ = lim+
x→x0
f (x) − f (x0 )
;
x − x0
tale limite si chiama derivata destra della funzione in x0 e
′
si indica con f+
(x0 ).
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Retta tangente e
derivata
Algebra delle
derivate
Derivate delle
funzioni
elementari
Esempi di
calcolo di
derivate
Derivata sinistra e derivata destra
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Analogamente, chiameremo derivata sinistra della
funzione f (x) nel punto x0 ∈ I il limite
m− = lim
x→x−
0
f (x) − f (x0 )
x − x0
se questo esiste finito;
possiamo allora dire che una funzione f : I → R è
derivabile in x0 se ammette derivata destra e derivata
′
′
sinistra in x0 e queste sono uguali, f+
(x0 ) = f−
(x0 ) ed il
loro valore comune è la derivata di f (x) in x0 , cioè
′
′
f+
(x0 ) = f−
(x0 ) = f ′ (x0 ).
Retta tangente e
derivata
Algebra delle
derivate
Derivate delle
funzioni
elementari
Esempi di
calcolo di
derivate
Derivabilità in un intervallo e nel
dominio
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Sia f : I → R derivabile in ogni punto di I. Allora diremo
che la funzione f (x) è derivabile su tutto l’intervallo I.
Sia ora I = [a, b]; ovviamente, negli estremi dell’intervallo
a e b può esistere soltanto la derivata destra o la derivata
sinistra, rispettivamente. Diremo allora che la funzione è
′
′
derivabile negli estremi a e b se esistono f+
(a) ed f−
(b),
rispettivamente, ed in tal caso parleremo semplicemente di
f ′ (a) ed f ′ (b).
La funzione f : D → R si dice derivabile nel dominio D se:
1
2
D è un’unione di intervalli del tipo [a, b] o (a, b) con a < b e
se f (x) è derivabile in ogni punto x ∈ D.
La scelta di restringere la definizione di derivata a funzioni
definite su intervalli (o unioni di intervalli) ha lo scopo di
escludere punti isolati del dominio, per i quali la
definizione di derivata è priva di significato.
Retta tangente e
derivata
Algebra delle
derivate
Derivate delle
funzioni
elementari
Esempi di
calcolo di
derivate
Funzione derivata
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Se f : D → R è derivabile in ogni punto del dominio,
l’operazione di derivazione definisce una nuova funzione,
f ′ (x), detta appunto funzione derivata. In questo caso,
f ′ : D → R e la funzione derivata è definita sullo stesso
dominio della funzione.
Se la funzione f non è derivabile su tutto in dominio,
possiamo ancora definire la funzione derivata, f ′ (x), che
però è definita su un dominio più piccolo del dominio di f .
In generale, possiamo dire che il dominio della funzione
derivata f ′ è un sottoinsieme del dominio della funzione f .
Notazioni alternative e molto usate per indicare la derivata
sono
df
Df (x)
fx
dx
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derivata
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derivate
Derivate delle
funzioni
elementari
Esempi di
calcolo di
derivate
Funzione derivata
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Esempio illustrativo - I
Sia f (x) = x, D = R. Per qualunque x ∈ R abbiamo:
f ′ (x) = lim
h→0
f (x + h) − f (x)
x+h−x
h
= lim
= lim
=1
h→0
h→0 h
h
h
La funzione derivata è 1 ed è definita sullo stesso dominio della
f . Il risultato non sorprende: y = x è l’equazione della retta
bisettrice del I e III quadrante ed è tangente a se stessa, con
coefficiente angolare 1. È allora facile capire come la derivata di
una generica funzione lineare f (x) = m x + q sia f ′ (x) = m;
infatti f (x) rappresenta una retta di coefficiente angolare m ed
è tangente a se stessa.
Retta tangente e
derivata
Algebra delle
derivate
Derivate delle
funzioni
elementari
Esempi di
calcolo di
derivate
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Funzione derivata
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Esempio illustrativo - II
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2
Sia f (x) = x , D = R. Per qualunque x ∈ R abbiamo:
f ′ (x) = lim
h→0
(x + h)2 − x2
f (x + h) − f (x)
= lim
= 2x
h→0
h
h
La funzione derivata è 2 x ed è definita sullo stesso dominio
della f .
4
2
0
-2
-1
0
x
1
2
Retta tangente e
derivata
Algebra delle
derivate
Derivate delle
funzioni
elementari
Esempi di
calcolo di
derivate
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Funzione derivata
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Esempio illustrativo - III
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Retta tangente e
derivata
1
Algebra delle
derivate
Derivate delle
funzioni
elementari
Esempi di
calcolo di
derivate
0
-3
-2
-1
0
x
1
2
3
Sia f (x) = | sin x|, D = R. Per qualunque x ∈ (−π, π)\{0}
possiamo tracciare la retta tangente al grafico della funzione.
In x = 0, esistono la derivata sinistra e la derivata destra, ma
non sono uguali: la funzione non è derivabile in x = 0.
La funzione derivata è definita su un dominio più piccolo di
quello della f ;
ovviamente il discorso si ripete ad ogni multiplo di π.
Derivabilità e continuità
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Teorema
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Sia f : I → R derivabile in x0 ∈ I. Allora f (x) è continua in x0 .
Retta tangente e
derivata
Dimostrazione
Dobbiamo dimostrare che limx→x0 f (x) = f (x0 ). Infatti:
lim f (x) = lim [f (x) − f (x0 ) + f (x0 )] =
x→x0
»
–
f (x) − f (x0 )
= lim
(x − x0 ) + f (x0 ) =
x→x0
x − x0
ˆ
˜
lim f ′ (x0 ) (x − x0 ) + f (x0 ) = f (x0 )
x→x0
x→x0
Attenzione !!
Il viceversa non vale: una funzione continua può non essere
derivabile. Quindi (derivabilità) ⇒ (continuità); ma
(continuità) ; (derivabilità).
Algebra delle
derivate
Derivate delle
funzioni
elementari
Esempi di
calcolo di
derivate
Punti di non derivabilità
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Classificazione
Sia f : D → R una funzione e sia x0 ∈ D dove la funzione è
continua ma non derivabile. Si possono avere tre casi:
′
′
′
′
f+
(x0 ) ed f−
(x0 ) esistono ma f+
(x0 ) 6= f−
(x0 ), oppure
uno solo dei due esiste: il punto (x0 , f (x0 )) si dice punto
angoloso del grafico di f ;
′
′
f+
(x0 ) = +∞ e f−
(x0 ) = −∞ (o viceversa): il punto
(x0 , f (x0 )) si dice cuspide del grafico di f ;
′
′
f+
(x0 ) = f−
(x0 ) = +∞ (o −∞, ma comunque concordi):
il punto (x0 , f (x0 )) si dice flesso a tangente verticale
del grafico di f .
Retta tangente e
derivata
Algebra delle
derivate
Derivate delle
funzioni
elementari
Esempi di
calcolo di
derivate
Analisi
Matematica
Punti di non derivabilità
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Funzioni prototipo - Punto angoloso
L’esempio elementare più usato per il punto angoloso è la
funzione valore assoluto: f : R → R data da f (x) = |x|.
2
Retta tangente e
derivata
Algebra delle
derivate
Derivate delle
funzioni
elementari
Esempi di
calcolo di
derivate
1
0
-2
Outline
-1
0
x
1
2
La funzione non è derivabile in x = 0, dove esistono
derivata destra e derivata sinistra, rispettivamente uguali a
′
′
f+
(0) = 1 e f−
(0) = −1
Analisi
Matematica
Punti di non derivabilità
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Funzioni prototipo - Cuspide
Retta tangente e
derivata
p
Il prototipo è la funzione : f : R → R data da f (x) = |x|.
2
Derivate delle
funzioni
elementari
Esempi di
calcolo di
derivate
1
0
-2
Algebra delle
derivate
-1
0
x
1
2
La funzione non è derivabile in x = 0, dove derivata destra
′
e derivata sinistra vanno rispettivamente a f+
(0) → +∞ e
′
f− (0) → −∞
Analisi
Matematica
Punti di non derivabilità
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Funzioni prototipo - Flesso verticale
Il prototipo è la funzione : f : R → R data da f (x) = x1/3 .
1
Retta tangente e
derivata
Algebra delle
derivate
Derivate delle
funzioni
elementari
Esempi di
calcolo di
derivate
0
-1
0
x
1
La funzione non è derivabile in x = 0, dove derivata destra
e derivata sinistra vanno entrambe a +∞.
Algebra delle derivate
Analisi
Matematica
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Retta tangente e
derivata
Teorema
Siano f, g : I → R e sia x0 ∈ I. Se f e g sono derivabili in x0 ,
anche le funzioni α f , f ± g, f g ed f /g (con g(x0 ) 6= 0) sono
derivabili in x0 e si ha:
(i) (αf )′ (x0 ) = αf ′ (x0 )
(ii) (f ± g)′ (x0 ) = f ′ (x0 ) ± g ′ (x0 )
(iii) (f g)′ (x0 ) = f ′ (x0 ) g(x0 ) + f (x0 ) g ′ (x0 )
′
′
′
0 )−f (x0 )g (x0 )
(iv) fg (x0 ) = f (x0 )g(x[g(x
, g(x0 ) 6= 0
2
0 )]
Algebra delle
derivate
Derivate delle
funzioni
elementari
Esempi di
calcolo di
derivate
Analisi
Matematica
Algebra delle derivate
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Dimostrazione - (iii)
Outline
Retta tangente e
derivata
Le proposizioni (i) e (ii) sono elementari e le lasciamo allo studente.
Per la (iii), trasformiamo il rapporto incrementale al modo seguente:
f (x0 + h)g(x0 + h) − f (x0 )g(x0 )
Derivate delle
funzioni
elementari
=
h
=
f (x0 + h)g(x0 + h) − f (x0 )g(x0 + h) + f (x0 )g(x0 + h) − f (x0 )g(x0 )
h
=
f (x0 + h) − f (x0 )
h
g(x0 + h) +
g(x0 + h) − g(x0 )
h
f (x0 )
E dunque
f (x0 + h)g(x0 + h) − f (x0 )g(x0 )
′
(f g) (x0 ) = lim
=
h→0
h
= lim
h→0
f (x0 + h) − f (x0 )
h
g(x0 + h) + lim
h→0
′
′
= f (x0 ) g(x0 ) + g (x0 ) f (x0 )
Algebra delle
derivate
g(x0 + h) − g(x0 )
h
f (x0 ) =
Esempi di
calcolo di
derivate
Analisi
Matematica
Algebra delle derivate
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Dimostrazione - (iv)
Outline
Retta tangente e
derivata
Per dimostrare la (iv), si procede in modo analogo:
"
1
h
=
f (x0 + h)
g(x0 + h)
−
f (x0 )
g(x0 )
#
=
Algebra delle
derivate
f (x0 + h)g(x0 ) − f (x0 )g(x0 + h)
Derivate delle
funzioni
elementari
h g(x0 ) g(x0 + h)
f (x0 + h)g(x0 ) − f (x0 )g(x0 ) + f (x0 )g(x0 ) − f (x0 )g(x0 + h)
=
h g(x0 ) g(x0 + h)
=
f (x0 + h)g(x0 ) − f (x0 )g(x0 )
+
f (x0 )g(x0 ) − f (x0 )g(x0 + h)
h g(x0 ) g(x0 + h)
h g(x0 ) g(x0 + h)
E dunque
f
g
!′
1
(x0 ) = lim
h→0 h
= lim
h→0
=
"
f (x0 + h)
g(x0 + h)
f (x0 + h) − f (x0 )
h g(x0 ) g(x0 + h)
f (x0 )
g(x0 )
#
=
g(x0 + h) − g(x0 )
g(x0 ) − lim
f (x0 ) =
h→0 h g(x0 ) g(x0 + h)
f ′ (x0 ) g(x0 ) − g′ (x0 ) f (x0 )
[g(x0 )]2
−
Esempi di
calcolo di
derivate
Derivata della funzione composta
Analisi
Matematica
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Retta tangente e
derivata
Algebra delle
derivate
Teorema
Siano f : I → J e g : J → R, sia f (I) ⊂ J ed indichiamo con u
la funzione composta u = g ◦ f , vale a dire u(x) = g(f (x)). Sia
x0 ∈ I. Se f è derivabile in x0 e g è derivabile in f (x0 ), anche
la funzione u è derivabile in x0 e si ha:
u′ (x0 ) = g ′ (f (x0 ))f ′ (x0 )
Questa regola di derivazione va comunemente sotto il nome di
regola della catena.
Derivate delle
funzioni
elementari
Esempi di
calcolo di
derivate
Derivata della funzione composta
Analisi
Matematica
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Retta tangente e
derivata
Dimostrazione
u(x0 + h) − u(x0 )
g(f (x0 + h)) − g(f (x0 ))
= lim
h→0
h
h
g(f (x0 ) + hf ′ (x0 ) + o(h)) − g(f (x0 ))
= lim
h→0
h
g(f (x0 ) + y) − g(f (x0 )) y
= g ′ (f (x0 ))f ′ (x0 )
= lim
h→0
y
h
u′ (x0 ) = lim
h→0
dove abbiamo posto y = hf ′ (x0 ) + o(h) ed abbiamo sfruttato il fatto
che y → 0 quando h → 0 e che y/h → f ′ (x0 ) quando h → 0.
Algebra delle
derivate
Derivate delle
funzioni
elementari
Esempi di
calcolo di
derivate
Derivata della funzione inversa
Analisi
Matematica
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Teorema
Outline
Sia f : I → R strettamente monotona e continua su I. Sia x0 ∈ I. Se
f è derivabile in x0 e f ′ (x0 ) 6= 0 la funzione inversa è derivabile in
y0 = f (x0 ) e si ha:
1
(f −1 )′ (y0 ) = ′
f (x0 )
Retta tangente e
derivata
con y0 = f (x0 ).
Esempi di
calcolo di
derivate
Dimostrazione
Per le proprietà della funzione inversa, abbiamo che f −1 ◦ f = I,
dove I è la funzione identità, cioè f −1 (f (x)) = x, ∀x ∈ I. Derivando
da entrambe le parti ed utilizzando la regola della catena abbiamo
[f −1 (f (x))]′ = 1
(f −1 )′ (f (x))f ′ (x) = 1
1
(f −1 )′ (f (x)) = ′
,
f (x)
da cui la tesi.
Algebra delle
derivate
Derivate delle
funzioni
elementari
Analisi
Matematica
Funzioni potenza
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d α
x = α xα−1 ,
dx
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∀α ∈ R
Retta tangente e
derivata
Algebra delle
derivate
Dimostriamolo per α > 0:
(x + h)α − xα
xα (1 + h/x)α − xα
d α
x = lim
= lim
h→0
h→0
dx
h
h
α
α
α (1 + h/x) − 1
α−1 (1 + h/x) − 1
= lim x
= lim x
h→0
h→0
h
h/x
(1 + y)α − 1
α−1
α−1
=x
lim
= αx
y→0
y
dove l’ultimo limite è stato ottenuto ponendo y = h/x ed
usando il limite notevole
lim
x→0
(1 + x)α − 1
=0
x
Derivate delle
funzioni
elementari
Esempi di
calcolo di
derivate
Analisi
Matematica
Esponenziali
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Outline
d x
e = ex
dx
d x
a = ax ln a
dx
Retta tangente e
derivata
Algebra delle
derivate
Derivate delle
funzioni
elementari
Infatti:
ex+h − ex
ex (eh − 1)
d x
e = lim
= lim
= ex
h→0
h→0
dx
h
h
ax (ah − 1)
ax+h − ax
d x
a = lim
= lim
= ax ln a
h→0
h→0
dx
h
h
dove l’ultimo limite ad ogni passaggio è stato ottenuto usando i
limiti notevoli
lim
x→0
ex − 1
=1
x
lim
x→0
ax − 1
= ln a
x
Esempi di
calcolo di
derivate
Funzioni iperboliche
Analisi
Matematica
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Retta tangente e
derivata
Algebra delle
derivate
Le derivate delle funzioni iperboliche si ottengono applicando
l’algebra delle derivate:
d
d ex + e−x
ex − e−x
cosh x =
=
= sinh x
dx
dx
2
2
d ex − e−x
ex + e−x
d
sinh x =
=
= cosh x
dx
dx
2
2
Derivate delle
funzioni
elementari
Esempi di
calcolo di
derivate
Analisi
Matematica
Logaritmi
Lucio Demeio DIISM
1
d
ln |x| =
dx
x
d
1 1
loga x =
dx
x ln a
Outline
Retta tangente e
derivata
Algebra delle
derivate
Infatti, per x > 0:
d
ln(x + h) − ln x
ln[x(1 + h/x)] − ln x
ln x = lim
= lim
h→0
h→0
dx
h
h
1 ln(1 + h/x)
ln(1 + h/x)
= lim
= lim
h→0 x
h→0
h
h/x
1
ln(1 + y)
1
=
lim
=
x y→0
y
x
dove l’ultimo limite ad ogni passaggio è stato ottenuto ponendo
y = h/x ed usando il limite notevole
lim
x→0
ln(1 + x)
=1
x
Il risultato per x < 0 si ottiene scrivendo ln(1/|x|) = ln(−1/x)
ela seconda uguaglianza si ottiene ricordando che
loga x = ln x/ ln a.
Derivate delle
funzioni
elementari
Esempi di
calcolo di
derivate
Funzioni trigonometriche
Analisi
Matematica
Lucio Demeio DIISM
d
sin x = cos x
dx
d
cos x = − sin x
dx
Basta dimostrare la prima, in quanto
d
d
d
cos x =
sin(π/2 − x) = −
sin(x − π/2)
dx
dx
dx
= − cos(x − π/2) = − sin x
Ora:
d
sin(x + h) − sin x
sin x = lim
h→0
dx
h
sin x cos h + cos x sin h − sin x
= lim
h→0
h
(cos h − 1) sin x + cos x sin h
= lim
h→0
h
sin h
cos h − 1
+ cos x lim
= cos x
= sin x lim
h→0
h→0
h
h
in quanto limh→0 sin h/h = 1 e limh→0 (cos h − 1)/h = 0
Outline
Retta tangente e
derivata
Algebra delle
derivate
Derivate delle
funzioni
elementari
Esempi di
calcolo di
derivate
Funzioni trigonometriche
Analisi
Matematica
Lucio Demeio DIISM
Outline
Retta tangente e
derivata
Algebra delle
derivate
Le derivate delle funzioni tan x e cot x si ottengono applicando
l’algebra delle derivate:
d
d
tan x =
dx
dx
d
d
cot x =
dx
dx
sin x
cos2 x + sin2 x
1
=
=
= 1 + tan2 x
cos x
cos2 x
cos2 x
1
cos x
− sin2 x − cos2 x
= − 2 = −1 − cot2 x
=
sin x
sin2 x
sin x
Derivate delle
funzioni
elementari
Esempi di
calcolo di
derivate
Funzioni trigonometriche inverse
Analisi
Matematica
Lucio Demeio DIISM
Outline
Retta tangente e
derivata
1
d
arcsin x = ± √
dx
1 − x2
d
1
arccos x = ∓ √
dx
1 − x2
dove la determinazione del segno va scelta a seconda del
quadrante.
Sia x = sin y, y = arcsin x nel primo caso e x = cos y,
y = arccos x nel secondo.
d
1
1
1
1
= ±√
arcsin x =
=
= p
2
dx
(sin y)′
cos y
1
− x2
± 1 − sin y
1
1
1
1
d
arccos x =
=
= p
= ∓√
dx
(cos y)′
− sin y
1 − x2
∓ 1 − cos2 y
Algebra delle
derivate
Derivate delle
funzioni
elementari
Esempi di
calcolo di
derivate
Funzioni trigonometriche inverse
Analisi
Matematica
Lucio Demeio DIISM
Outline
Retta tangente e
derivata
Algebra delle
derivate
1
d
arctan x =
dx
1 + x2
Sia x = tan y, y = arctan x.
d
1
1
1
arctan x =
=
=
dx
(tan y)′
1 + tan2 y
1 + x2
Derivate delle
funzioni
elementari
Esempi di
calcolo di
derivate
Analisi
Matematica
Lucio Demeio DIISM
Polinomi
Outline
x
x3
+ 2x2 − + 1
f (x) = 2x −
3
4
1
3
2
f (x) = 8x − x + 4x −
4
Retta tangente e
derivata
4
Algebra delle
derivate
Derivate delle
funzioni
elementari
Esempi di
calcolo di
derivate
Funzioni razionali
2x4 − x3 /3 + 2x2 − x/4 + 1
x3 + 1
8x3 − x2 + 4x − 1/4
f (x) =
5x2 + x − 1
f (x) =
Analisi
Matematica
Lucio Demeio DIISM
Funzioni irrazionali
√
x,
x3/2 ,
√
√
f (x) = ( x + 1) x,
f (x) =
Outline
p
Retta tangente e
derivata
x2 + 1
1
√ ,
x
√
( x + 1)
Algebra delle
derivate
2
Combinazioni varie con funzioni irrazionali
1+x
f (x) = √ ,
x
r
1−x
,
f (x) =
1+x
√
x
√
1+ x
„
«1/3
1−x
1+x
Derivate delle
funzioni
elementari
Esempi di
calcolo di
derivate
Analisi
Matematica
Funzioni trigonometriche e combinazioni varie
Lucio Demeio DIISM
Outline
f (x) = sin2 x,
1
f (x) = sin ,
x
sec x,
x sin x,
csc x
sin x
x
Funzioni esponenziali e combinazioni varie
f (x) = e2x ,
f (x) = x ex ,
f (x) = e
√
x
,
2
ex ,
ex
,
x
x
e
√ ,
x
ex + 1
e2x − 1
ex sin x
ex
√
x
Retta tangente e
derivata
Algebra delle
derivate
Derivate delle
funzioni
elementari
Esempi di
calcolo di
derivate
Funzioni iperboliche e combinazioni varie
Analisi
Matematica
Lucio Demeio DIISM
sinh x2 ,
f (x) = cosh 2x,
f (x) = x sinh x,
√
f (x) = cosh( x),
cosh x
,
x
sinh x
√ ,
x
cosh x + 1
sinh 2x − 1
cosh x sin x
cosh x
√
x
Logaritmi e combinazioni varie
ln x
x
ln2 x + 2 ln x − 1
2
f (x) = ln x
ln x − 1
ln x
f (x) = sin x ln x,
ex ln x
sin x
√
√
ln x
f (x) = ln(x + 1),
ln( x + 1),
f (x) = ln x,
x ln x,
Outline
Retta tangente e
derivata
Algebra delle
derivate
Derivate delle
funzioni
elementari
Esempi di
calcolo di
derivate