Tutorato Lezione 1: i segnali e gli amplificatori Generalità:

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Tutorato Lezione 1: i segnali e gli amplificatori Generalità:
Il corso di elettronica 1 prevede lo studio delle tecniche di progettazione per circuiti di base
analogici. Come sapete nell’elettronica sono presenti principalmente due grandi famiglie di circuiti
che si differenziano per la capacità di elaborare i due diversi tipi di segnale elettrico analogico e
digitale. I circuiti presenti in maniera ponderante nelle schede e nei sistemi moderni sono digitali, e
i progressi compiuti nel campo della lavorazione del silicio rendono possibile l’integrazione di
sistemi sempre più complessi in spazi sempre più piccoli e sempre maggiori oneri vengono affidati
al campo dell’elettronica digitale, basti pensare ai microprocessori presenti nelle schede dei
dispositivi elettronici, tuttavia le parti analogiche costituiscono i front/end per le parti digitali e
rivestono un ruolo importantissimo, senza di essi infatti i circuiti digitali non avrebbero un granchè
da elaborare.
I circuiti analogici si occupano dell’acquisizione dei segnali dal mondo esterno e della loro prima
elaborazione, basti pensare ai sistemi di telecomunicazione dove un segnale per esempio la voce
deve essere acquisito amplificato filtrato, traslato in frequenza e trasmesso a frequenze molto più
alte della sua frequenza naturale.
Un segnale di dice analogico se varia con continuità nel tempo e nell’ampiezza, sono di natura
analogica i segnali naturali, come per esempio l’intensità del vento, la voce la temperatura,
lintensità luminosa etc. per poter essere elaborato un segnale la cui natura non è elettrica deve
essere prima convertito in segnale elettrico, a questo scopo esistono dei particolari circuiti detti
trasduttori che servono per convertire il segnale in segnale elettrico.
Dopo che esso viene elaborato può essere digitalizzato passando attraverso il campionamento e la
quantizzazione.
Per campionamento si intende discretizzare il segnale nel tempo considerando il suo valore a
intervalli di tempo finiti ed equispaziati, mentre per la quantizzazione si intende considerare una
discretizzazione nelle ampiezze. Un segnale analogico campionat0 e quantizzato viene digitalizzato
e può essere processato da dispositivi digitali.
Ovviamente sia il campionamento che la quantizzazione introducono degli errori.
Di solito è molto difficile caratterizzare in maniera sostanziale un sengale nel dominio del tempo
dato che esso varia con continuità e ha una forma irregolare anche se molto spesso periodica.
E’più facile caratterizzarlo nel dominio della frequenza ovvero considerare il suo spettro.
Per ottenere la rappresentazione nel dominio della frequenza ci sono due strumenti matematici di
base che sono la serie e la trasformata di Fourier.
Queste operazioni matematiche ci permettono di rappresentare un segnale di tensione o di corrente e
quindi un segnale elettrico come una somma di sinusoidi di differenti ampiezze e frequenze,
pertanto nell’elettronica i segnali di fondamentale importanza sono i segnali sinusoidali.
Consideriamo per esempio un segnale sinusoidale espresso da
v(t ) = Va sen(ω 0 t )
Dove
Va denota il valore dell’ampiezza
ω invece rappresenta la velocità angolare in radianti al secondo ω=2πf con f= 1/T e T è il periodo
in secondi
Ovviamene l’unità di misura della frequenza è l’Hz.
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v(t )
Va
t
T
L’ampiezza è meglio espressa tramite il valore efficace che è dato dall’ampiezza del semiperiodo
diviso 2 .
Mentre la trasformata di Fourier è utilizzata per esprimere lo spettro di una funzione con andamento
generico la serie di Fourier è utilizzata principalmente per esprimere l’andamento in frequenza che
nel dominio del tempo sono periodiche. Fourier infatti dimostrò che una funzione periodica nel
tempo può essere sempre espressa come somma di funzioni sinusoidali la cui frequenza differisce
per essere multipla della frequenza fondamentale ω0.
Ora la trasformata di Fourier di una sinusoide è nel dominio della frequenza una riga centrata alla
frequenza
ω 0 = 2π
1
T
Possiamo calcolare la trasformata di fourier applicando la definizione
Data una funzione nel dominio del tempo v(t) è possibile calcolare la trasformata di Fourier nel
dominio della frequenza come:
F (ω ) =
t =+∞
∫e
− jωt
v(t )dt
t =−∞
per ricordare come si calcola la trasformata di Fourier occorre introdurre le distribuzioni e la delta
di Dirac
In particolare occorre ricordare che
t = +∞
∫e
− jωt
dt = δ (t )
t = −∞
Pertanto se calcoliamo la trasformata della funzione v(t ) = Va sen(ω 0 t ) avremo: utilizzando la
formula di Eulero che:
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sen(α ) =
V (ω ) =
t = +∞
∫V e
a
− jωt
sen(ω0 t )dt = Va
∫e
− jωt
t = −∞
t = −∞
V
=−j a
2
t = +∞
e iα − e − iα
2
V
sen(ω 0 t )dt = − j a
2
t = +∞
∫e
− j 2πft
(e
j 2πf 0t
)
− e − j 2πf 0t dt
t = −∞
t = +∞
⎛ t =+∞ − j (2πf −2πf0 )t ⎞
⎞
Va ⎛
Va
Va
− j ( 2πf + 2πf 0 )t
⎜ ∫e
⎟
⎜
⎟
(
)
+
dt
j
e
dt
=
−
j
δ
f
−
f
+
j
δ ( f + f0 )
0
⎜
⎟
⎜ ∫
⎟
2
2
2
⎝ t =−∞
⎠
⎝ t =−∞
⎠
Dove il –j indica in che direzione va presa matematicamente l’ampiezza, ovviamente nel caso fisico
non ha senso il meno è solo una conseguenza matematica l’ampiezza va considerata in valore
assoluto.
Nel dominio della frequenza la visualizzazione dello spettro sarà data dalla figura seguente
Va
δ ( f + f0 )
2
− f0
Va
δ ( f − f0 )
2
0
f0
f
Ovviamente la parte negativa dello spettro non ha significato fisico dato che non esistono delle
frequenze negative.
T
V
−V
t
Possiamo calcolare la serie di Fourier una volta che abbiamo calcolato la trasformata del Segnale.
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⎧
⎪⎪ V 2mπ ≤ t < π + 2mπ
x(t ) = ⎨
⎪− V − π + 2mπ ≤ t < 2mπ
⎪⎩
T = 2π ; ω 0 =
1
2π
= 1; f =
2π
2π
Siccome x(t) è reale e dispari la sua trasformata sarà immaginaria pura.
⎧
⎪⎪ x(t ) − π ≤ t < π
x0 (t ) = ⎨
⎪0 t < −π t > π
⎪⎩
Tutte le volte che avete a che fare con una funzione di questo tipo si dimostra che la x0(t) può
essere attraverso l’uso delle funzioni “porta” per le quali la forma della trasformata di Fourier è
immediata.
⎛ π⎞
⎛ π⎞
x0 (t ) = pπ ⎜ t − ⎟ − pπ ⎜ t + ⎟
2⎠
2⎠
⎝
⎝
Per cui di ottiene:
F [ x0 (t )] = e
− jω
π
2
⎛ π⎞
⎛ π⎞
⎛ π⎞
⎛ π⎞
2 sin ⎜ ω ⎟
2 sin ⎜ ω ⎟
sin 2 ⎜ ω ⎟
⎟
π 2 sin ⎜ ω
ω
+
j
⎝ 2⎠
⎝ 2 ⎠ = −4 j
⎝ 2 ⎠ = −2 j sin ⎛ ω π ⎞
⎝ 2⎠ −e 2
⎜
⎟
ω
ω
ω
ω
⎝ 2⎠
È prolungabile per continuita in zero e si pone
⎛ π⎞
sin 2 ⎜ ω ⎟
⎝ 2⎠ =0
X 0 (0) = lim ω →0 − 4 j
ω
Da questa espressione si ricavano i coefficienti:
⎛ π⎞
sin 2 ⎜ n ⎟
((−1) n − 1) 2 j ((−1) n − 1)
2⎠
⎝
(
)
β n = ω 0 X 0 nω 0 = −4 j
= −4 j
=
(− 2)n
n
n
con n ≠ 0
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Quindi la trasformata di Fourier è
n
+∞
2 j (− 1) − 1
X (ω ) = ∑
δ (ω − n )
n
n = −∞ , n ≠ 0
(
)
La serie di Fourier è:
x(t ) =
+∞
∑ cn e jnω0 =
n = −∞ ,
(
)
n
+∞
β n jnω
2 j (− 1) − 1 jn
e
=
∑
∑ 2πn e
n = −∞ , 2π
n = −∞ ,
+∞
0
f0
− 7 f0 − 5 f0− 3 f
0
3 f0 5 f0 7 f0
− f0 0
f
La conoscenza dello spettro del segnale è di fondamentale importanza nella progettazione di blocchi
elettronici analogici.
Tanto importante che le specifiche di progetto e i criteri vengono direttamente misurati sullo
spettro.
L’estensione dello spettro si chiama banda intesa come intervallo di frequenze.
Per poter processare correttamente un segnale analogico il sistema deve avere una banda passante
tale da evitare tagli del segnale per la frequenza di interesse.
Tra i principali blocchi atti all’elaborazione del segnale analogico troviamo gli amplificatori
AMPLIFICATORI
Esistono diverse tipologie di amplificatori che si differenziano per la loro funzionalità quindi per le
caratteristiche con cui trattano il segnale, per esempio ci sono gli operazionali, gli amplificatori per
finali di potenza, amplificatori audio, ottici etc. Le applicazioni che vedrete nel corso si riferiscono
principalmente a sensori per schede di controllo industriale e applicazioni per elettronica di
consumo come amplificatori audio.
In generale un blocco amplificatore è caratterizzato da due fattori principali almeno in prima analisi
che sono il guadagno e la banda.
In generale sono sistemi complessi formati da differenti stadi, che per semplicità vengono
rappresentati come modello black box. Lo schema circuitale è il triangolo
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OUT
IN
Il guadagno è la capacità di trasferire al segnale parte dell’energia di alimentazione.
Con questo meccanismo il segnale all’uscita è maggiore del segnale di ingresso.
I segnali che si trattano in elettronica ovviamente sono di tensione o di corrente pertanto definiamo:
Guadagno di tensione il rapporto tra la forma d’onda di tension presente in uscita e quella in
ingresso.
Av (t ) =
vOUT (t )
v IN (t )
Guadagno di potenza un’amplificatore aumenta la potenza del segnale, cioè quello che fa è
prelevare una potenza dall’ingresso e consegnare al carico una potenza maggiore di quella prelevata
Definiamo pertanto il guadagno di potenza come
AP =
vOUT I OUT
v IN I IN
Dove Iout è la corrente che viene fornita al carico pari a Vout/RL mentre IIN è la corrente che viene
prelevata dal generatore.
Pertanto è possibile definire ianche il guadagno di corrente come
AP =
I OUT
I IN
Il guadagno si esprime in dB
AP dB = 10 ⋅ log( AP ) ; AV dB = 20 ⋅ log( AV ) ; Ai dB = 20 ⋅ log( Ai )
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L’alimentazazione:
Per quanto riguarda l’alimentazione gli amplificatori sono generalmente alimentati in tensione e
possono avere un’alimentazione singola con sola tensione positiva oppure un’alimentazione duale
con tensione positiva e negativa
In tal caso la potenza fornita dal generatore sarà:
PDC = V1 I 1 + V2 I 2
PDISS è la potenza dissipata dentro l’amplificatore
Pertanto l’efficienza dell’amplificatore
η=
PL
PDC
Tutta la potenza fornita dall’alimentazione che non viene trasferita al carico viene dissipata.
Il concetto importante da tener presente è che l’amplificatore trasferisce potenza al carico
dall’alimentazione, ovviamente trasferisce più potenza al carico di quanta ne viene prelevata
dall’amplificazione, nel fare questa operazione i dispositivo dissipa pure potenza.
Da tener presente che l’efficienza deve essere la più elevata possibile.
SATURAZIONE
La tensione in uscita dall’amplificatore può essere al massimo quella di alimentazione, se non ci
sono elementi reattivi (induttivi,o capacitivi) attaccati in uscita, cioè elementi che immagazzinano
energia e la rilasciano in un certo istante.
Consideriamo ora l’amplificatore privo di elementi reattivi in uscita: La sua transcaratteristica è
lineare o comunque deve mantenersi il più possibile tale. La pendenza è in prima approssimazione
una misura del guadagno.
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Vo
VDD
Vi
− VDD
Se il segnale di ingresso ha una ampiezza tale che moltiplicata per il guadagno super la tensione di
alimentazione in uscita la forma d’onda sarà tagliata e si dice che l’amplificatore sta funzionando in
saturazione.
Pertanto la massima tensione amplificabile sarà quella per cui il suo valore di picco moltiplicato per
il guadagno di tensione dell’amplificatore non superi la tensione imposta dall’alimentazione.
Questo è vero in prima approssimazione perché se si considera come è fatto l’amplificatore la
massima tensione in uscita sarà data dalla tensione di amplificazione meno la tensione che serve per
mantenere attivo il transistor dello stadio dell’uscita vedremo che tale tensione di solito non può
scendere al di sotto di un certo valore, anche se piccolo.
Se alimento a 12 o 15 volt (operazionali )allora è trascurabile, ma se alimento a 3 volt non è del
tutto trascurabile (circuiti integrati).
I 4 TIPI DI AMPLIFICATORI
I diversi tipi di amplificatori possono essere descritti da modelli circuitali equivalenti.
Ci sono 4 tipi di amplificatore fondamentali che sono:
L’amplificatore di tensione che amplifica una tensione in ingresso in una tensione in uscita
L’amplificatore di corrente che prende una corrente in ingresso e fornisce una corrente in uscita
L’amplificatore a transconduttanza che prende una tensione in ingresso la trasforma in una corrente
e la fornisce in uscita
L’amplificatore a transresistenza che prende una corrente in ingesso e la trasforma in una tensione.
Per modellizzare i quattro tipi di amplificatore si usano dei generatori controllati.
In particolare:
Per l’amplificatore di tensione si usa un generatore di tensione controllato in tensione
Per l’amplificatore di corrente si usa un generatore di corrente controllato in corrente
Per l’amplificatore a transconduttanza si usa un generatore di corrente controllato in tensione
Per l’amplificatore a transresistenza si usa un generatore di tensione controllato in corrente.
Consideriamo lo schema dell’amplificatore di tensione.
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L’amplificatore può esserescehmatizzato da un generatore ti tensione controllato in tensione in cui
A indica il guadagno di tensione dell’amplificatore Ri e Ro indicano rispettivamente la sua
resistenza di ingresso e di uscita.
RS
vs
+
−
iin
RO
+
−
Ri
+
AV ⋅ vi
−
vi
iO
+
−
v0
RL
La prima cosa che si nota è che quando l’amplificatore di tensione viene chiuso su un generatore e
un carico è che il guadagno ricavabile scrivendo la funzione di trasferimento si discosta da quello
dell’amplificatore da solo.
Possiamo infatti scrivere la funzione di trasferimento come rapporto tra tensione di uscita e di
ingresso e vedere da cosa dipende.
La tensione in uscita sarà data dal prodotto tra corrente di uscita e resistenza di carico RL
vO =
AV vi
⋅ RL
RO + RL
Dal lato di ingresso la tensione presente ai capi della resistenza di ingresso dell’amplificatore si
ricava mediante la relazione
vi =
vS
⋅ Ri
Ri + RS
Pertanto mettendo insieme le due grandezze si ha
vO
A R
Ri
= V L ⋅
v S RO + RL Ri + RS
Quindi il guadagno di tensione tende a quello dell’amplificatore se
⎧ Ri
⎪⎪ R + R ≈ 1 ⇒ Ri >> RS
i
S
⎨ R
L
⎪
≈ 1 ⇒ RL >> RO
⎪⎩ RO + RL
Ovvero utilizzando un’amplificatore di tensione di deve prestare attenzione al fatto ce per non
compromettere il guadagno proprio dell’amplificatore la resistenza di ingresso deve essere più
piccola della resistenza dell’amplificatore e la resistenza di carico con cui questo si usa deve essere
molto maggiore della resistenza di uscita stessa dell’amplificatore.
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L’amplificatore di CORRENTE
ii
iO
RO
RS
+
iS
vO = Ai ii
−
Ri
vi
AI ⋅ ii
+
−
v0
RL
RO ⋅ RL
v
RO
→ iO = O = Ai ii
RO + RL
RL
RO + RL
vi = i S
v
RS
RS ⋅ Ri
→ ii = i = i S
RS + Ri
Ri
RS + Ri
iO = Ai
RO
RS
i
RO
RS
iO
⇒ O = Ai ⋅
⋅
RO + RL RS + Ri
iS
RO + RL RS + Ri
Da cui ragionando in maniera analoga alla precedente si vede che il guadagno dell’amplificatore di
corrente caricato a sorgente e carico si avvicina a quello dell’amplificatore ideale se:
⎧ RO
⎪⎪ R + R ≈ 1 ⇒ RO >> RL
O
L
⎨ R
S
⎪
≈ 1 ⇒ RS >> Ri
⎪⎩ RS + Ri
Quindi l’amplificatore di corrente deve avere una resistenza di ingresso molto bassa rispetto a
quella del generatore di corrente e una resistenza di uscita molto elevata rispetto al carico.
L’amplificatore a Transconduttanza
E’ il tipo di amplificatore più comune e più utilizzato e il più importante di solito quando si
progetta un’amplificatore a transistor si usa la tipologia a transconduttanza, un transistor infatti di
per se preleva una tensione traduce le variazioni di tensioni in variazioni di corrente amplificandole
e fornendo una corrente in uscita.
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RS
ii
vS
iO
RO
+
−
+
−
Ri
vi
Gm ⋅ vi
+
−
v0
RL
Il parametro che indica la conversione tensione corrente è la transconduttanza indicata come Gm.
vO = G m vi
RO ⋅ RL
v
RO
→ iO = O = G m v i
RO + RL
RL
RO + RL
vS
⋅ Ri
Ri + RS
iO
Ri
RO
= Gm
⋅
vS
Ri + RS RO + RL
vi =
⎧ RO
⎪⎪ R + R ≈ 1 ⇒ RO >> RL
O
L
⎨ R
i
⎪
≈ 1 ⇒ Ri >> RS
⎪⎩ RS + Ri
Pertanto un’amplificatore a transconduttanza avrà resistenza di ingresso elevata e resistenza di
uscita elevata.
L’amplificatore a transresistenza è il duale di questo ma non lo facciamo.
Ovviamente il guadagno è funzione della frequenza e un’amplificatore è in grado di processare
segnali che hanno una determinata frequenza mentre costituisce un circuito aperto
La risposta in frequenza ESERCIZIO 1
Come già accennato in precedenza l’amplificatore funziona solo per segnali che sono compresi in
un cero range di frequenza e comunque deve essere progettato per processare solo dei segnali che
hanno delle specifiche caratteristiche in frequenza.
Gli strumenti che si utilizzano per studiare l’andamento della risposta in frequenza sono i
diagrammi di bode.
Il modello di amplificatore che abbiamo considerato finora non tiene conto degli elementi reattivi.
Solitamente in un’amplificatore ce ne sono diversi.
Per esempio in un’ amplificatore a transistor gli elementi reattivi più comuni sono i capacitori
parassiti o meno che influiscono sulla banda passante del dispositivo.
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Facciamo un’esercizio considerando un amplificatore di tensione con una capacità di ingresso
RS
vS
ii
iO
RO
+
−
Ri
+
−
vi
Ci
A⋅ vi
+
−
v0
RL
RS = 20 KΩ ; Ri = 100 KΩ ; C i = 60 pF ; RO = 200Ω ; RL = 1KΩ ; A = 144
Si richiede di ricavare l’espressione dell’amplificazione di tensione in funzione della frequenza
Per risolvere l’esercizio dobbiamo calcolare l’espressione della funzione di trasferimento
Considerando la magli all’uscita abbiamo che:
vO =
AV vi
⋅ RL
RO + RL
dobbiamo quindi ricavare l’espressione della tensione di ingresso.
La tensione vi sarà ai capi del parallelo delle impedenze, come sappiamo li’impedenza del
condensatore può essere espressa nel dominio della frequenza utilizzando la formula di Laplace
secondo la quale:
ZC =
1
sC
Quindi possiamo ricavare l’espressione dell’impedenza equivalente all’ingresso
Z eq
1 ⎞
⎛
Ri
⎜
⎟
⎞ sCiRi RS + RS + Ri
Ri
1 ⎞
⎛
sCi ⎟ = R + ⎛⎜
⎟=
= RS + ⎜ Ri //
⎟ = RS + ⎜
S
⎜
1 ⎟
sCi ⎠
sCiRi + 1 ⎟⎠
sCiRi + 1
⎜
⎝
⎝
⎜ Ri +
⎟
sCi ⎠
⎝
Da cui la corrente:
ii =
sCiRi + 1
vS
= vS
sCiRi RS + RS + Ri
Z eq
e la tensione
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⎞
⎛
Ri
sCiRi + 1
1 ⎞
⎛
⎟⎟ = v S
vi = ii ⎜ Ri //
⎟ = ii ⎜⎜
sCi ⎠
sCiRi RS + RS + Ri
⎝
⎝ sCiRi + 1 ⎠
⎞
⎛
Ri
Ri
⎟⎟ = v S
⎜⎜
sCiRi RS + RS + Ri
⎝ sCiRi + 1 ⎠
A questo punto possiamo scrivere l’espressione della funzione di trasferimento come:
vO =
AV RL
Ri
v
A R
Ri
⇒ A( S ) = O = V L
vS
RO + RL
sCiRi RS + RS + Ri
v S RO + RL sCiRi RS + RS + Ri
Che possiamo studiare al variare della frequenza operando la sostituzione
s=jω
vO =
AV RL
Ri
v
A R
Ri
vS
⇒ A(S ) = O = V L
=
RO + RL
sCiRi RS + RS + Ri
v S RO + RL jωCiRi RS + RS + Ri
vO
A R
Ri
144 ⋅ 13
100 3
= V L
=
⋅
vs
RO + RL jωCiRi RS + RS + Ri 200 + 13 jω 20 3 ⋅ 100 3 ⋅ 60 −12 + 20 3 + 100 3
vO
100 3
= 120 ⋅
vs
jω 0.12 + 120 3
Il guadagno in continua si ha per ω=0
vO
V
100 3
= 120 ⋅
= 100
3
vs
V
120
Mentre per ω → ∞ ⇒
vO
→0
vS
Il sistema ha un polo che si ricava risolvendo l’equazione
jω 20 3 ⋅ 100 3 ⋅ 60 −12 + 20 3 + 100 3 → ω 0 = 16
rad
sec
Possiamo calcolare la frequenza di taglio
ω 0 16
f0 =
=
≈ 159,154 KHz
2π 2π
Che altro non è che la frequenza di taglio a 3dB.
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Questo amplificatore sarà in grado di amplificare 100 volte i segnali con una frequenza al di sotto
della frequenza di taglio.
Se A=100 ⇒ AV dB = 20 log(100) = 40 mentre per segnali con questa frequenza l’amplificatore
attenua di 3dB rispetto al suo guadagno pertanto il guadagno sarebbe di 37dB.
Possiamo tracciare i diagrammi di bode
AdB
40
− 20dB/ dec
0
f0 = 159,154KHz
f0 = 15,91MHz
f
Dato che a partire dalla frequenza a 3 dB il guadagno decresce con pendenza di -20dB/decade allora
raggiungerà il punto di guadagno unitario in due decadi ovvero a 15.9MHz
Per la fase dobbiamo studiare la funzione dopo averla razionalizzata
vO
144 ⋅ 13
100 3
12 6
12 8
ω12 4 0.12
=
j
⋅
=
=
−
v s 200 + 13 jω 20 3 ⋅ 100 3 ⋅ 60 −12 + 20 3 + 100 3
jω 0.12 + 12 4 12 8 + ω 2 0.0144
12 8 + ω 2 0.0144
∠
vO
12 8
ω12 4 0.12
ω12 4 0.12
=∠ 8
−
j
=
arctan(
−
) + π = arctan(−ω12 − 4 0.12)
vs
12 + ω 2 0.0144
12 8 + ω 2 0.0144
12 8
lim ω → −0 = arctan(1440) = 0
lim ω → +∞ = arctan(+∞) = −90 0
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15
∠
vO
vS
+ 90°
0
f
− 90°
ESERCIZIO 2 (SEDRA D1.52)
Si vuole progettare un’amplificatore che fornisca 0,5W di potenza su un carico RL=100Ω.
Il generatore di segnale ha un’impedenza di 0,5MΩ e un valore rms di 30mV.
Si dispone di 3 tipi di amplificatori:
1) Con alta resistenza di ingresso A=10, Ri=1MΩ, RO=10KΩ
2) Uno stadio con alto guadagno A=100, Ri=10KΩ, RO=1KΩ
3) Uno stadio con bassa resistenza di uscita A=1, Ri=10KΩ, RO=20Ω
Per risolvere l’esercizio dobbiamo partire da ciò che si vuole ottenere
Vogliamo trovare la configurazione ottimale di stadi che permetta di avere su un carico di 100Ω una
potenza di 0,5W ovviamente considerando i valori efficaci di tensione e di corrente sul carico rms
2
1
1 V
POUT = Veff I eff = VI =
⇒ V = 2 RL ⋅ POUT = 2 ⋅ 100 ⋅ 0,5 = 10V
2
2 RL
Mentre la tensione di uscita efficace vale
Veff =
VOUT
2
=
10
2
= 7.07V
Che tipi di amplificatori abbiamo?
Esaminando i dati del problema notiamo che per tutte e tre le configurazioni abbiamo una resistenza
di ingresso molto più grande della resistenza in uscita pertanto abbiamo a disposizione solo
amplificatori di tensione.
A questo punto il numero di stadi che dobbiamo utilizzare è noto una volta noto il primo stadio.
Infatti sappiamo che per un’amplificatore di tensione la resistenza di ingresso deve essere maggiore
della resistenza del generatore di segnale per non perdere troppo guadagno.
L’unico tipo di stadio che soddisfa tale requisito è il primo tipo.
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Noto il primo tipo possiamo calcolare la tensione che sarà presente all’ingresso della cascata di
amplificatori e quindi il guadagno che ci serve, da qui possiamo risalire al numero di stadi
necessari.
0.5MΩ
+
−
30mV
1MΩ
Applicando la regola del partitore di tensione si vede che la tensione ai capi della resistenza di
ingresso dell’amplificatore varrà:
Vin =
30 −316
= 20mV
1.5 6
Per raggiungere la tensione che soddisfa la specifica sulla potenza si necessita di un guadagno di
tensione pari a:
A=
7.07
≈ 51dB
20 −3
L’aver fissato come primo stadio quello dotato del più alto valore di impedenza di ingresso impone
anche un guadagno di:
⎛ 10k ⎞
A1 = 20 ⋅ log⎜10
⎟ = 13.98dB
⎝ 20k ⎠
Dove si è tenuto conto oltre che del guadagno dell’amplificatore anche di come esso sia influenzato
dal valore delle resistenze di ingresso e di uscita.
La resistenza del primo stadio è infatti di 10KΩ mentre come resistenza di uscita si è considerata la
resistenza di ingresso di un altro stadio che è sempre 10KΩ per tutti gli stadi disponibili.
Ragionando nella stessa maniera si avrebbe per il secondo stadio un guadagno di
10k ⎞
⎛
A2 = 20 ⋅ log⎜100
⎟ = 39.172dB
11k ⎠
⎝
Mettere in cascata questi due stadi significa avere un guadagno totale di:
A1, 2 = A1 + A2 = 13.98 + 39.172 ≈ 53.15dB
Che è maggiore di circa 2dB rispetto a quello richiesto.
Non abbiamo ancora considerato il fatto che la resistenza di uscita dell’amplificatore totale deve
essere però più piccola di quella del carico.
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Abbiamo a disposizione uno stadio con guadagno unitario e resistenza di 20Ω se lo utilizzassimo
avremo che esso non solo soddisfa questo requisito ma aggiusta anche la specifica sul guadagno
dato che comunque presenta una resistenza di uscita il cui valore non è completamente trascurabile.
⎛ 100 ⎞
A2 = 20 ⋅ log⎜1
⎟ = −1.58dB
⎝ 120 ⎠
A1, 2,3 = A1 + A2 + A3 = 13.98 + 39.172 − 1.58 ≈ 51.57dB
Pertanto lo schema totale è il seguente:
10
10
+
−
30mV
10KΩ
1MΩ
20Ω
1KΩ
10KΩ
0.5MΩ
10
10KΩ
100Ω
Possiamo quindi scrivere la funzione di trasferimento ingresso uscita
vO1
20 −310 3 ⋅ 10
=
= 0.1V
20 3
0.1 ⋅ 100 ⋅ 10 3
= 9.09V
113
9.09 ⋅ 1 ⋅ 100
=
= 7.57V
120
vO 2 =
vO 3
Pertanto la potenza trasferita al carico è:
P = 7.57V ⋅
7.57V
= 0.57W
100Ω
ESERCIZIO 3(SEDRA D1.52)
Un progettista ha a disposizione amplificatori di tensione con le seguenti caratteristiche:
A0=10
Rin=10KΩ
Rout=1KΩ
La sorgente di segnale ha una resistenza di 10KΩ e fornisce un segnale di 10mV di picco rms.
Si vuole fornire un segnale di 2V di picco rms a un carico di 1KΩ di quanti stadi amplificatori si
necessita?
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Soluzione:
Si ha a che fare con amplificatori di tensione
Ovviamente per calcolare il numero di stadi necessari ci serve conoscere quale sarà la tensione che
si ha all’ingresso della cascata.
Come sappiamo la resistenza di ingresso dell’amplificatore dovrebbe essere il più elevato possibile,
in modo da non inficiare sulle caratteristiche del guadagno ad anello aperto ma nel nostro caso per
tutti gli stadi la resistenza di ingresso è uguale a quella del generatore.
Pertanto si ha:
10KΩ
10mV
vi =
+
−
+
vi
−
10KΩ
vS RL
10 −2 (V ) ⋅ 10 3 (Ω)
=
= 5mV
RS + R L
20 3 (Ω)
Il segnale in uscita deve essere almeno di 2V rms pertanto il guadagno necessario si ottiene
semplicemente effettuando il rapporto tra segnale di uscita e segnale di ingresso
A=
2V
= 400 ⇒ 20 ⋅ log(400) = 52
5mV
Se utilizziamo il primo stadio in cascata sul secondo stadio avremo come guadagno di tensione dato
da:
10KΩ
10mV
+
−
1KΩ
10KΩ
⎛
RL
AdB = 20 ⋅ log⎜⎜ A0
⎝ RO + R L
10
10KΩ
⎞
10 K ⎞
⎟⎟ = 20 ⋅ log⎛⎜10
⎟ = 19.17 dB
⎝ 11K ⎠
⎠
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Nello stadio di uscita invece si dispone di un guadagno di
1KΩ
10KΩ
⎛
RL
AdB = 20 ⋅ log⎜⎜ A0
⎝ RO + R L
1KΩ
10
⎞
1K ⎞
⎟⎟ = 20 ⋅ log⎛⎜10
⎟ = 13.8dB
⎝ 2K ⎠
⎠
Appare chiaro allora che avrò bisogno di 3 stadi in maniera tale da avere un guadagno di
AdBTOT = A1 + A2 + A3 = 19.17 + 19.17 + 13.8 = 52.14dB
Pertanto la topologia circuitale che mi permette di soddisfare la specifica è:
10KΩ
10mV
1KΩ
1KΩ
1KΩ
+
−
10KΩ
10
10KΩ
10KΩ
10
10KΩ
10KΩ
1KΩ
10
ESERCIZIO 4SEDRA D1.56
Un’amplificatore a transconduttanza con Ri= 2KΩ Gm=40mA/V RO=20KΩ viene pilotato da un
generatore di tensione con resistenza interna di 2KΩ ed ‘è caricato con una resistenza di
1KΩ determinare il guadagno di tensione
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20
2KΩ ii
vS
+
−
iO
+
−
vi
Gm ⋅ vi
2KΩ
20KΩ
1KΩ
Gm = 20mA/ V
iO
Ri
RO
= Gm
⋅
vS
Ri + RS RO + RL
Considerando la maglia di ingresso ho che
vi = v S
Ri
23 v
= vS 3 = S
2
RS + Ri
4
Questa tensione viene convertita in corrente dalla transconduttanza
io = vi Gm =
v S (V )
⋅ 40 −3 (mA / V ) = 20 −3 v S (mA)
2
Posso calcolare ora la tensione presente sul parallelo delle resistenze in uscita
RTOT = ROUT // RL =
( )
ROUT RL
20 K ⋅ 1K Ω 2
=
= 952.38(Ω )
ROUT + RL
21K (Ω)
Per cui la tensione sul nodo d’uscita caricato si trova semplicemente moltiplicando la tensione per
la corrente
V OUT = vi Gm =
vS
V
⋅ 40 −3952.38 ⇒ OUT = 20 −3 ⋅ 952.38 = 19.0576 ⇒ AV dB = 20 ⋅ log(19.0576) ≈ 25.6dB
2
vS
ESERCIZIO D 1.57 SEDRA
Un progettista deve fornire ai capi di un resistore da 10 KW una tensione tale che
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VOUT=10V1+20V2
Avendo a disposizione amplificatori a transconduttanza con
Gm=20mA/V
RIN=ROUT=10KΩ
E resistori adeguati
Proporre un’opportuna topologia circuitale in grado di soddisfare le specifiche
Suggerimento sommare le correnti
Ovviamente dato che ho amplificatori a transconduttanza per sommare le correnti devo considerare
l’uscita comune ai due amplificatori che saranno uno a dx e uno a sx della resistenza
Essendo amplificatori a transconduttanza per l’esercizio svolto precedentemente abbiamo che:
1) possiamo utilizzare il principio di sovrapposizione degli effetti
Quindi partiamo per esempio dal soddisfacimento della condizione
VOUT=10V1
Per soddisfare la specifica ci serve un guadagno di
A = 20 log(10) = 20dB
Ri
vS
ii
iO
+
−
+
−
vi
10KΩ
Gm ⋅ vi
10KΩ
Gm = 20mA/ V
Partiamo dalla maglia di ingresso avremo:
Ri
10 3
vi = v s
= vS 3
= vS K
Ri + RS
10 + X
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10KΩ
22
La tensione in uscita si calcola considerando il parallelo e la corrente data dal prodotto della
transconduttanza per il valore della tensione di ingresso
VOUT = Gm v S K ⋅ (RO // RL )
Ora
(RO // RL ) = (10 3 // 10 3 ) = 5KΩ
Se supponessi che K=1
Allora avrei che l’amplificatore guadagnerebbe:
A = 20 ⋅ log(20 −35 3 ) = 40dB
Che invece è la situazione che mi viene richiesta dalla specifica 20VI
Pertanto per guadagnare 20 dB devo abbattere il guadagno dell’amplificatore di 10 volte perché se
ho
A = 20 ⋅ log(
20 −35 3
) = 20dB
10
Quindi
Per lo stadio a sx della resistenza di uscita si ha:
K=
1
10 3
⇒ 3
⇒ RS = 90 KΩ
10
10 + RS
Mentre per lo stadio a dx si otterrebbe
10 3
K =1⇒ 3
⇒ RS = 0Ω
10 + RS
Siccome è impossibile avere una resistenza di ingresso nulla come generatore di tensione dovrete
supporre di utilizzare più stadi e quindi trovare un compromesso tra numero di stadi e resistenza del
generatore per avere il guadagno di 40dB richiesto
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