Derivate e un po` di ripasso

DERIVATE
Rispondere ai seguenti quesiti. Una sola risposta è corretta.
1. Data la funzione f (x) = 2 + |x − 7|, quale delle seguente affermazioni è vera?
(a) f (x) non è derivabile in x = 0
(b) f (0) = 1
(c) f (0) = −1
(d) f (0) = 2
(e) f (0) = 0
2. Il rapporto incrementale della funzione g(x) =
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
1
nel punto x0 è:
f (x)
f (x) − f (x0 )
(x − x0 )f (x0 )f (x)
f (x) − f (x0 )
f (x)f (x0 )
f (x0 ) − f (x)
(x − x0 )f (x0 )f (x)
x − x0
f (x) − f (x0 )
1
1
−
f (x) f (x0 )
3. Si consideri la funzione f (x) = 5ex
2
+3x+2
. Allora
(a) f (x) non è derivabile
(b) f (x) = (10x + 15)ex
2
+3x+2
(c) f (x) = (5x2 + 15x + 10)ex
(d) f (x) = 5ex
2
2
+3x+2
+3x+2
(e) f (x) = (2x + 3)ex
2
+3x+2
4. La derivata della funzione f (x) = e
(a) f (x) =
sin
1
(x−1)2
è:
1
2
1
sin
cos
e (x−1)2
3
2
(1 − x)
(x − 1)
(b) f (x) = 2(x − 1) e
sin
1
(x−1)2
cos(x − 1)2
(c) f (x) = 2ex cos x(x − 1)
1
(x − 1)2
1
1
+ cos
−2
(x − 1)2
(x − 1)3
(d) f (x) = −2(x − 1)3 e
(e) f (x) = e
sin
1
(x−1)2
sin
1
(x−1)2
cos
5. Per quali valori di a e b la funzione f (x) =
4 arctan x x < 1
è derivabile in R?
2ax + b
x≥1
(a) a = π; b = 2
(b) a = 1; b = 2 − π
(c) a = 1; ∀ b
(d) a = 1; b = π − 2
(e) a = π; b = 2 + π
c
2011
Politecnico di Torino
1
6. Sia data la funzione f (x) = ex |x − 2π| sin x. Quale delle seguenti affermazioni è FALSA?
(a) f (x) è derivabile in x = 0
(b) lim f (x)
x→+∞
(c) f (x) è continua
(d)
lim f (x) = 0
x→−∞
(e) f (x) non è derivabile in x = 2π
7. E’ data la funzione f : [−2, 3] ⊆ R → R, ivi continua, tale che f (−2) = −3, f (3) = 6.
seguenti affermazioni NON è necessariamente vera?
Quale delle
(a) f ([−2, 3]) è un intervallo chiuso e limitato
(b) f ([−2, 3]) = [−3, 6]
(c) L’equazione f (x) = λ ammette almeno una soluzione se −1 ≤ λ ≤ 4
(d) f (x) ammmette almeno uno zero nell’intervallo (−2, 3)
(e) Esiste almeno un punto x ∈ (−2, 3) tale che f (x) = e + π
8. La funzione f (x) =
1
:
|x2 − 9|
√
(a) è derivabile nell’intervallo [0, 3 2]
(b) ha tre punti di non derivabilità
(c) ha derivata prima che si annulla una volta nell’intervallo [−1, 1]
(d) soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle nell’intervallo [−3, 3]
(e) non soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange nell’intervallo [0, 2]
9. La funzione f (x) =
2x2 + e−x
:
4x + 5
(a) ammette un asintoto obliquo per x → +∞, di equazione y =
x 5
−
2 8
(b) non ha asintoti obliqui
(c) ammette asintoto obliquo per x → +∞, di equazione y =
x
2
(d) per x → −∞ ha un asintoto obliquo
(e) ammette un asintoto obliquo per x → ±∞, di equazione y =
x
2
10. La funzione inversa della funzione f (x) = x ex ha come retta tangente al suo grafico, nel suo punto di
ascissa x = e:
(a) y = 2e(x − 1) + 1
1
(b) y = (x − e) + 1
2e
1
(c) y = (x − 1) + e
2e
e
(d) y = (x − e) + 1
2
(e) x = e
c
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2
11. Data la funzione f (x) =
(a)
x x
ln , quale delle seguenti proprietà NON è vera?
2 2
lim f (2x − 4) − f (2) = +∞
x→+∞
(b) lim f (2x − 4) − f (2) = 0
x→2
(c) f (2x − 4) = (x − 2) ln(x − 2)
(d) limx→0+ f (x) = −∞
1
(e) f (1) = (1 − ln 2)
2
12. La funzione f (x) = arctan 3x + x:
(a) ha due asintoti orizzontali
(b) ammette come asintoto, per x → +∞, la retta di equazione y = x +
π
2
π
come asintoto obliquo
6
π
(d) ha come asintoto, per x → −∞, la retta di equazione y = x +
2
(e) non ammette asintoto obliquo
(c) per x → +∞ ha la retta di equazione y = x +
13. Quale delle seguenti proprietà NON è soddisfatta dalla funzione f (x) = 2x − ln
(a) Ha la retta y = 2x + ln 2 come asintoto obliquo
(b) Ha la retta y = 2x − ln 12 come asintoto obliquo sinistro
(c) Ha lo stesso dominio della funzione f (x) = 2x − ln(x + 1) + ln(2x − 3)
(d) Ha la retta x = −1 come asintoto verticale sinistro
(e) Non ha punti a tangente orizzontale
14. Data la funzione f (x) =
3
(x − 2)2 , quale delle seguenti affermazioni è FALSA?
(a) f (x) non soddisfa alle ipotesi del teorema di Rolle nell’intervallo [0, 4]
(b) f (x) ha un punto di non derivabilità in x = 2
(c) f (x) ha un punto di cuspide in x = 2
(d) f (x) soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange nell’intervallo [2, 4]
(e) f (x) ha in x = 2 ha un punto di flesso a tangente verticale
c
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3
x+1
?
2x − 3
VERO o FALSO
Dire se ciascuna di queste affermazioni è vera oppure falsa.
(a) Se una funzione è continua in x0 allora è ivi derivabile
(b) Se una funzione è continua in I=[a, b], ammette massimo in I
(c) Sia f : [−2, 3] ⊆ IR → IR, ivi continua e con f (−2) = −1 e f (3) = 2; allora necessariamente l’equazione
f (x) = λ ammette almeno una soluzione se −2 ≤ λ ≤ 3
(d) Esiste una funzione f : [3, 7] → IR continua e suriettiva
(e) La derivata di f (3x) è 3f (x)
(f) La derivata di f 3 (2x) è 3f 2 (2x)
1
x sin
x = 0
(g) La funzione f (x) =
non è continua in x = 0
x
0
x=0
1
x sin
x = 0
(h) La funzione f (x) =
è continua in x = 1
x
0
x=0
1
x sin
x = 0
(i) La funzione f (x) =
è derivabile in x = 0
x
0
x=0
1
x = 0
x2 sin
(l) La funzione f (x) =
è derivabile in x = 0
x
0
x=0
(m) Se una funzione è continua in I=[a, b], esiste in I un punto x0 per cui f (x0 ) = 0
(n) Se una funzione è continua in I=[a, b], esiste in I un punto x0 per cui f (x0 ) =
f (b) − f (a)
b−a
(o) Se una funzione è derivabile in I=[a, b], esiste in I un punto x0 per cui f (x0 ) =
f (b) − f (a)
b−a
(p) La funzione g(x) inversa della funzione f (x) = (x − 2)2 è derivabile nel suo punto di ascissa x = 0
(q) La funzione f (x) = |x2 − 1| non soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle nell’intervallo [−2, 2]
(r) La funzione f (x) = |x2 − 1| nell’intervallo [−2, 2] non ha punti a tangente orizzontale
RISPOSTE AI QUESITI
Item numero
Risposta
1
c
2
c
3
b
4
a
5
d
6
e
7
b
8
c
9
a
10
b
11
d
12
b
13
c
14
e
Risposte VERO o FALSO
Item numero
Risposta
c
2011
Politecnico di Torino
a
F
b
V
c
F
d
F
e
F
f
F
g
F
4
h
V
i
F
l
V
m
F
n
F
o
V
p
F
q
V
r
F
CALCOLO DIFFERENZIALE
Rispondere ai seguenti quesiti. Una sola risposta è corretta.
x
1. Quale delle seguenti funzioni coincide con la funzione f (x) = xx ?
2
(a) f (x) = xx
x
(b) f (x) = x(x
2
(c) f (x) = ex
)
log x
(d) f (x) = x3x
3
(e) f (x) = xx
2. Quale delle seguenti proprietà NON è soddisfatta dalla funzione f (x) = (xx )x ?
2
(a) f (x) = xx
(b) im f = (0, +∞)
(c) dom f = (0, +∞)
2
(d) f (x) = ex
log x
(e) La funzione è prolungabile, a destra, per continuità in x = 0
3. La derivata della funzione f (x) = (xx )x è:
2
(a) f (x) = x2 xx
−1
(b) f (x) = 2x(xx )x log x
(c) f (x) = 2(xx )x
2
(d) f (x) = xx
+1
(2 log x + 1)
2
(e) f (x) = xx (2 log x + 1)
x
4. La derivata della funzione f (x) = xx è:
x
(a) f (x) = xx xx
x
−1
x
(b) f (x) = xx x−x
x
(c) f (x) = xx (xx log x(log x + 1) + xx )
x
(d) f (x) = xx
+x−1
x
x +x−1
(e) f (x) = x
(log x(log x + 1) + 1)
(x log x(log x + 1) + 1)
5. Sia f (x) = (x − 1)k ex allora:
(a) ha un minimo in x = 1 per k = 2
(b) ha un massimo in x = 1 per k = 2
(c) ha un minimo in x = 1 per k = 3
(d) ha un massimo in x = 1 per k = 3
(e) ∀k ∈ Z, x = 1 non è né massimo né minimo per f(x)
6. E’ data la funzione f (x) = log(ex + e−x ); quale delle seguenti funzioni NON è la sua derivata prima?
ex − e−x
ex + e−x
sinh x
(b) f (x) =
cosh x
(c) f (x) = tanh x
(a) f (x) =
(d) f (x) =
e2x − 1
e2x + 1
c
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1
(e) f (x) =
1
ex + e−x
7. Sia I ⊆ R un sottoinsieme non vuoto e f : I → R una funzione derivabile e tale che f (x) > 0 ∀x ∈ I.
Quale delle seguenti affermazioni è corretta?
(a) f è crescente su I
(b) f è strettamente crescente su I
(c) f è strettamente decrescente su I
(d) Se I è un intervallo, allora f è strettamente crescente su I
(e) f è strettamente crescente su I se e solo se I è un intervallo
8. Il dominio della funzione f (x) =
e+2
(a) −∞,
3
2
, +∞
(b)
3
2 e+2
(c)
,
3
3
2 e+2
,
(d)
3
3
2 e+2
,
(e)
3
3
1 − log(3x − 2) è:
9. Il dominio della funzione f (x) =
1−
1
è:
log x
(a) (0, 1) ∪ (1, e]
(b) (0, e]
(c) (0, 1) ∪ [e, +∞)
(d) [e, +∞)
(e) (0, +∞)
10. La funzione f (x) = log |5 − e4x | − 7x:
(a) ha la retta y = −7x + log 5 come asintoto obliquo, per x → −∞ e la retta y = −3x come asintoto
obliquo, per x → +∞
(b) non ha asintoto obliquo
(c) ha la retta y = −7x + log 5 come asintoto obliquo
(d) ha la retta y = −3x come asintoto obliquo
(e) ha la retta y = −7x + log 5 come asintoto obliquo, per x → −∞ e la retta y = −7x come asintoto
obliquo, per x → +∞
log
11. Il limite lim
x→+∞
2
4
− 6
2
x
x
log 2x
(a) vale 1
(b) vale +∞
(c) non esiste
(d) vale log 2
(e) vale −2
c
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2
log(1 + 5x) + sin2 2x
vale
x→0
sin 6x − 2x
12. Il limite lim
(a) 0
(b) 5/6
(c) 7/4
(d) 5/4
(e) −1/2
13. La successione an = (3 sin(nπ) + cos(nπ))n
2
−3n+5
(a) è limitata
(b) è crescente
(c) è decrescente
(d) ammette limite finito
(e) ammette limite infinito
14. Sia f : I = [−3, 10] → R; sapendo che f è derivabile in I e che x0 ∈ I quale delle seguenti affermazioni è
vera?
(a) se x0 è un punto di minimo per f allora f (x0 ) = 0
(b) se x0 è un punto di massimo per f allora f (x0 ) = 0;
(c) se x0 ∈ [−2, 9] è un punto di minimo per f allora f (x0 ) = 0;
(d) se f (x0 ) è massimo per f allora f (x0 ) = 0;
(e) se x0 è un punto di massimo per la funzione allora f (x0 ) = 0 e f (x0 ) < 0
15. Per la funzione f : [−2, 3) → R, f (x) = |x2 − 1| quale delle seguenti affermazioni NON è vera?
(a) f ammette sup, ma non max assoluto
(b) f ammette minimo assoluto
(c) x = 1 è punto di minimo assoluto
(d) 0 è il minimo assoluto della funzione
(e) 8 è il massimo assoluto della funzione
16. Per la funzione f (x) = arcsin x, quali delle seguenti affermazioni NON è corretta?
(a) x = 1 è punto di massimo assoluto per la funzione
(b) f (1) = 0
π
(c)
è il massimo della funzione
2
3
(d) esiste f −1
2
e
e
= −f
(e) f −
3
3
c
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3
17. Per la funzione f (x) = | sinh x| quale delle seguenti affermazioni NON è corretta?
(a) x = 0 è punto di minimo assoluto per la funzione
(b) f (0) = 0
(c) ∀x < 0, f (x) < 0
(d) lim f (x) = −1
−
x→0
(e) f (1) =
e2 + 1
2e
18. La derivata della funzione f (x) =
√
3x2 + e3x2 è:
2
(a) f (x) = √
(b) f (x) = √
e3x + 1
3x2 + e3x2
1
3x2 + e3x2
2
3x(e3x + 1)
(c) f (x) = √
3x2 + e3x2
2
(e3x + 6x)
(d) f (x) = √
2 3x2 + e3x2
2
3(e3x + 1)
(e) f (x) = √
3x2 + e3x2
2
x − 3
è:
19. La derivata della funzione f (x) = log 2
x − 4

√ √
−2x

x ∈ (−∞, −2) ∪ [− 3, 3] ∪ (2, +∞)

2
2
(x − 3)(x − 4)
(a) f (x) =
√
√
−2x


x ∈ (−2, − 3) ∪ ( 3, 2)
2
2
(x − 3)(x − 4)
2x
(b) f (x) =
2
(3 − x )(4 − x2 )
2x
(c) f (x) =
(3 − x2 )(x2 − 4)

√ √
2x(x2 − 4)


x ∈ (−∞, −2) ∪ (− 3, 3) ∪ (2, +∞)

2 − 3)3
(x
(d) f (x) =
√
√
2x(x2 − 4)


x ∈ (−2, − 3) ∪ ( 3, 2)

2
3
(x − 3)
2
− 4)
2x(x
(e) f (x) =
2
(x − 3)3
20. La derivata della funzione f (x) = log(x2 − |x − 1| + 3) è:
2x − 1
x2 − x + 4
2x − 1
f (x) = 2
x − |x − 1| + 3
2x − |1|
f (x) = 2
x − |x − 1| + 3

2x + 1


x<1
2
x +x+2
f (x) =
2x − 1


x≥1
x2 − x + 4

2x + 1


x<1
2+x+2
x
f (x) =
2x
−
1


x>1
x2 − x + 4
(a) f (x) =
(b)
(c)
(d)
(e)
c
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4
VERO o FALSO
Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere oppure false.
x
(a) Le due funzioni f (x) = xx e g(x) = (xx )x coincidono ∀x ∈ (0, +∞)
x
(b) Date le due funzioni f (x) = xx e g(x) = (xx )x , f (x) = g(x) se e solo se x = 1
x
(c) Date le funzioni f (x) = xx e g(x) = (xx )x , f (2) = g(2)
x
(d) Le due funzioni f (x) = xx e g(x) = (xx )x hanno lo stesso dominio
x
(e) Le due funzioni f (x) = xx e g(x) = (xx )x hanno insieme immagine (0, +∞)
x
(f) Le due funzioni f (x) = xx e g(x) = (xx )x ammettono prolungamento continuo in x = 0
(g) Se f è derivabile nel suo dominio e x0 è punto di minimo per f allora f (x0 ) = 0
(h) Se x0 è punto di minimo interno al dominio di f e f è derivabile in x0 , allora f (x0 ) = 0.
(i) Se f è derivabile nel suo dominio e f (x0 ) = 0 allora x0 è punto di massimo oppure di minimo.
(l) x = 0 è un punto di massimo relativo della funzione f : [0, 5) → R, f (x) = (x − 2)2 .
(m) x = 5 è punto di massimo assoluto per la funzione f : [0, 5) → R, f (x) = (x − 2)2 .
(n) L’estremo superiore della funzione f : [0, 5) → R, f (x) = (x − 2)2 è 9.
(o) L’intervallo [0, 1] è l’insieme immagine della funzione f (t) =
|t + 2|
(t − 2)2
t ∈ [−3, 0)
t ∈ [0, 3]
(p) Per la funzione della domanda (o), f (−1) = 1
(q) La funzione della domanda (o) è iniettiva nel suo dominio
(r) Per la funzione della domanda (o), t = 0 è punto di massimo relativo
(s) Per la funzione della domanda (o), f −1 ([0, 1]) = [−3, −1] ∪ [1, 3]
RISPOSTE AI QUESITI
Domanda numero
Risposta
1
b
2
b
3
d
4
e
5
a
6
e
7
d
8
c
9
c
10
a
11
e
12
d
13
a
14
c
15
e
m
F
n
V
o
F
16
b
17
b
18
c
Risposte VERO o FALSO
Domanda numero
Risposta
c
2011
Politecnico di Torino
a
F
b
F
c
V
d
V
e
F
f
V
g
F
5
h
V
i
F
l
V
p
V
q
F
r
V
s
V
19
c
20
e
CALCOLO DIFFERENZIALE
Rispondere ai seguenti quesiti. Una sola risposta è corretta.
1. Siano date le successioni: an =
(n + 2)! − n!
(n + 3)! − n!
e bn =
. Allora,
(n + 1)!
(n + 1)!
(a) an ∼ bn per n → +∞
(b) an e bn sono due successioni convergenti
(c) an ∼ n e bn ∼ n2 per n → +∞
(d) bn = o(an ) per n → +∞
(e)
lim an = n + 2
n→+∞
2. Sia f (x) = 2x + ln x; l’equazione della retta tangente al grafico della sua funzione inversa f −1 , nel punto
f −1 (2), è:
5
(x − 2)
2
1
y − 1 = (x − 2)
3
y = 3(x − 1) + 2
1
y = (x + 1)
3
1
y = (x − 2)
3
(a) y − 2 =
(b)
(c)
(d)
(e)
3. La derivata della funzione g(x) = ln2 (f 3 (x) + 2) è:
(a) g (x) = 2 ln(f 3 (x) + 2)
f (x)
f 3 (x) + 2
(b) g (x) = 6 ln x · f 2 (x) · f (x) + 2
(c) g (x) = 2 ln(f 3 (x) + 2) + ln2 (f 3 (x) + 2)3f 2 (x)
(d) g (x) = 2 ln x(f 3 (x) + 2) + 3f 2 (x) ln(f 3 (x) + 2)
(e) g (x) = 2 ln(f 3 (x) + 2) ·
3f 2 (x) · f (x)
f 3 (x) + 2
4. E’ data funzione g(x) = ln2 (f 3 (x) + 2). Sapendo che f (1) = 2 e f (1) = 5, possiamo dire che
3
50
g (1) = 12 log 10
1
g (1) =
10
g (1) = 3 log 2
12
log 10
g (1) =
5
(a) g (1) =
(b)
(c)
(d)
(e)
5. Sia data una funzione f : R → R, continua e derivabile in [−2, 3].
Sapendo che f (−2) = −1, f (3) = 4, f (−1) = 3, f (−2) = 2, quale delle seguenti affermazioni è FALSA?
(a) Se f (x) è strettamente crescente, la retta tangente destra al grafico della funzione inversa y = f −1 (x)
nel punto −1 è: x + 1 = 2(y + 2)
(b) Se f (x) è monotona strettamente crescente in [−2, 3], allora f ([−2, 3]) = [−1, 4]
(c) Esiste almeno un x1 ∈ (−2, 3) tale che f (x1 ) = 0
(d) Esiste almeno un x0 ∈ (−2, 3) tale che f (x0 ) = 1
(e) Se f è iniettiva e f −1 è la sua funzione inversa, allora (f −1 ) (−1) = 3
c
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1
6. La retta tangente al grafico della funzione f (x) = x cos x2 in x =
√
π è:
(a) y = −x
√
(b) y = −x + 2 π
√
(c) y = −2πx + 2π π
(d) y = 0
√
(e) y = − πx
7. Sia g(x) = x3 + ex e sia g −1 la sua funzione inversa. Allora g −1 (1 + e) vale:
1
3 + 3e
(b) 1
1
(c)
3+e
(d) 3+e
(a)
1
3(1 + e)2 + e1+e
(e)
8. Siano date le tre funzioni: f1 (x) =
seguenti affermazioni NON è vera?
√
x−
√
2, f2 (x) = (x − 2), f3 =
√
x − 2. Se x → 2+ , quale delle
1
rispetto all’infinitesimo campione x − 2
2
(b) ord (f1 ) = ord (f2 )
1
(c) ord (f1 ) = rispetto all’infinitesimo campione x − 2
2
(a) ord (f3 ) =
(d) la parte principale di f1 rispetto all’infinitesimo campione x − 2 è p(x) =
x−2
√
2 2
(e) ord (f1 ) = ord (f3 )
9. Data la funzione f (x) =
√
sin( x2 + 1 − x)
√
, quale delle seguenti affermazioni NON è vera:
x2 + 1 − x
lim f (x) = 1
√
(b) g(x) = sin( x2 + 1 − x) è infinitesima, per x → +∞, di ordine 1 rispetto all’inifinitesimo campione
1/x
(a)
x→+∞
(c) lim f (x) = π/2
x→0
√
√
(d) lim f (x) = ( 5 + 2) sin( 5 − 2)
x→2
(e)
lim f (x) = 0
x→−∞
10. Sia data la funzione f : R → R, lim+ f (x) = lim− f (x). Quale delle seguenti proprietà è sicuramente
x→x0
x→x0
vera?
(a) La funzione ha nel punto x = 0 un salto infinito
(b) La funzione ha nel punto x0 una discontinuità eliminabile
(c) La funzione è continua nel punto x0
(d) La funzione è derivabile nel punto x0
(e) Il grafico della funzione f può anche non ammettere retta tangente nel punto x0
c
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2
11. Sia f una funzione infinitesima per x → 2, derivabile due volte in un intorno di x = 2 e con un punto
critico in x = 2. Necessariamente:
(a) f (x) = o (x − 2)2 per x → 2.
(b) f (x) = o (x − 2)3 per x → 2.
f (x)
= k, k ∈ R
(x − 2)2
(d) f (x) = (x − 2)2 + o (x − 2)2 per x → 2.
(e) f (x) = −(x − 2)2 + o (x − 2)2 per x → 2.
(c) esiste lim
x→2
2
12. Se lo sviluppo di Mac Laurin di una funzione f ∈ C ∞ (R) è: f (x) = − x2 + 3x4 + o(x4 ), quale delle
3
seguenti affermazioni NON è necessariamente vera?
(a) La funzione è infinitesima, per x → 0.
(b) La funzione è pari.
(c) La funzione ha in x = 0 un punto critico.
4
(d) f (0) = −
3
(e) Esiste un intorno di x = 0 in cui la funzione è non positiva.
13. Sia data una funzione f ∈ C ∞ (R) in un intorno di x = 0, e sia f (x) = 3 − 2x2 + 5x4 + o(x4 ) il suo
sviluppo di Mac Laurin. Quale delle seguenti affermazioni NON è vera?
(a) f (0) = 3
(b) Esiste un intorno di x = 0 in cui la funzione è sicuramente positiva
(c) Il punto x = 0 è punto di massimo relativo per la funzione
(d) La retta tangente al grafico della funzione nel punto (0, 3) ha equazione y = 3
(e) f (4) (0) = 5
14. Sia data una funzione f ∈ C ∞ (R) in un intorno di x = 0, e sia f (x) = −2x3 + 5x5 + o(x6 ) il suo sviluppo
di Mac Laurin. Quale delle seguenti affermazioni NON è vera?
(a) f (6) (0) = 0
(b) Esiste un intorno di x = 0 in cui la funzione cambia di segno.
(c) f (3) (0) = −12
(d) Il punto x = 0 è punto di massimo relativo per la funzione.
(e) f (4) (0) = 0
VERO o FALSO
Dire se le seguenti affermazioni sono vere oppure false.
(a) Sia f : R → R, derivabile in x = 0 e tale che f (0) = 1, f (0) = −1. La funzione g(x) = f (x) − x è
derivabile in x = 0
(b) Se g(x) è la funzione della domanda precedente, allora g (0) = 0.
(c) Sia f : R → R, derivabile in x = 0 e tale che f (0) = 1, f (0) = −1. La funzione g(x) = f 2 (sin x) NON
è derivabile in x = 0
c
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3
(d) Se g(x) è la funzione della domanda precedente, allora g (0) = −2.
(e) Sia f : R → R, derivabile in x = 0 e tale che f (0) = 1, f (0) = −1. La funzione g(x) = |x|f (x) NON è
derivabile in x = 0
(f) In x = 0 la funzione della domanda (e) possiede un punto angoloso, perchè g−
(0) = −1 e g+
(0) = 1
(g) Il grafico della funzione della domanda (e), nel punto x = 0, ha come tangenti due semirette di coefficiente
angolare m = −1 se x < 0 e m = 1 se x > 0
(h) Sia f : R → R, derivabile in x = 0 e tale che f (0) = 1, f (0) = −1. La funzione g(x) = |f (x)| NON è
derivabile in x = 0
(i) Se g(x) è la funzione della domanda (h), allora g (0) = −1.
(l) Sia f : R → R, derivabile in x = 0 e tale che f (0) = 1, f (0) = −1. Non è possibile dire nulla della
derivabilità della funzione g(x) = f (cos x), in x = 0
1
è un intervallo
x
(m) Il dominio della funzione f (x) = arctan x + arctan
1
(n) Sia f (x) = arctan x + arctan . Risulta f (x) = 0 ∀x ∈ domf .
x
1
(o) Sia data la funzione f (x) = arctan x + arctan ; poichè f (x) = 0, ∀x ∈ domf , allora esiste k ∈ R tale che
x
f (x) = k, ∀x ∈ domf .
(p) Sia f (x) = k, ∀x ∈ R. Allora f (x) = 0 ∀x ∈ R.
(q) Sia I un intervallo; se f (x) = 0 ∀x ∈ I allora esiste k ∈ R : f (x) = k, ∀x ∈ I.
1
(r) Sia data la funzione f (x) = arctan x + arctan . Poiché f (x) = 0, ∀x ∈ (0, +∞) esiste k ∈ R : f (x) =
x
k, ∀x ∈ (0, +∞)
1
(s) Sia data la funzione f (x) = arctan x + arctan .
x
π
− , ∀x ∈ (−∞, 0)
2
Poiché f (x) = 0, ∀x ∈ (−∞, 0), allora f (x) =
RISPOSTE AI QUESITI
Domanda numero
Risposta
1
c
2
b
3
e
4
b
5
e
6
a
7
c
8
c
9
c
10
e
11
c
12
b
13
e
n
V
o
F
p
V
14
d
Risposte VERO o FALSO
Domanda numero
Risposta
c
2011
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a
V
b
F
c
F
d
V
e
V
f
V
g
V
4
h
F
i
V
l
V
m
F
q
V
r
V
s
V
CALCOLO DIFFERENZIALE E SVILUPPI DI TAYLOR
Rispondere ai seguenti quesiti. Una sola risposta è corretta.
1. Sia data la funzione f : R → R, continua e derivabile due volte, con f (−20) = 0, f (10) = 0, f (25) = 0.
Quale delle seguenti affermazioni è vera?
(a) f (x) ha almeno tre punti di stazionarietà
(b) f (x) ha esattamente un punto di massimo relativo e un punto di minimo relativo
(c) la funzione sinh f (x) non ha punti di stazionarietà
(d) la funzione sinh f (x) non ha zeri
(e) esiste almeno uno zero della derivata seconda di f
x3 − 27
. Quale delle seguenti proprietà à FALSA?
2. Sia data la funzione f (x) =
2x
(a) Il grafico della funzione ha un asintoto obliquo destro e un asintoto obliquo sinistro.
(b) La funzione ha un punto di stazionarietà ed un punto di minimo assoluto.
(c) La funzione ha un punto a tangente verticale in x = 3
(d) Per calcolare l’asintoto obliquo a −∞:
m = lim
x→−∞
f (x)
= lim
x→−∞
x
x3 − 27
1
x3 − 27
2x
= −√
= lim −
x→−∞
x
2x3
2
(e) Il grafico ha una retta asintoto obliquo completo
3. Sia f una funzione di classe C ∞ (R), infinitesima per x → 0 e con un punto di minimo in x = 0.
Necessariamente:
(a) f (x) = kx2 + o(x2 ), k ∈ (0, +∞)
(b) f (x) = h + kx2 + o(x2 ), h, k ∈ (0, +∞)
(c) f (x) = kx4 + o(x4 ), k ∈ (0, +∞)
(d) la prima derivata non nulla in x = 0, se esiste, è di ordine pari.
(e) f (0) = 0, e f (x) ≥ 0 per ogni x.
4. Il polinomio di Taylor, di secondo grado e con centro x = 1, della funzione f (x) = sin πx è:
(a) T (x) = −π(x − 1)
(b) T (x) = −π(x − 1) + o((x − 1))
(c) T (x) = −π(x − 1) + o((x − 1)2 )
(d) T (x) = −πx
(e) T (x) = −π(x − 1) + π 2 (x − 1)2
c
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1
5. Data la funzione f (x) di grafico:
Il grafico della funzione derivata f (x) è:
(a)
(b)
(d)
6.
(e)
2x2 + 4e−x
=
x→+∞ 2x2 + 4 sin x2
lim
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
1
3
+∞
0
−∞
1
2x2 + 4e−x
=
x→0 2x2 + 4 sin x2
7. lim
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
1
3
+∞
0
−∞
1
c
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(c)
2
8.
2x2 + 4e−x
=
x→−∞ 2x2 + 4 sin x2
lim
1
3
(b) −∞
(a)
(c) 0
(d) +∞
(e) 1
2
2x2 + 4ex − 4
=
x→0 2x2 + 4 sin x2
9. lim
1
3
(b) +∞
(a)
(c) 0
(d) −∞
(e) 1
10. La derivata della funzione log(ex − 2e−x ) è:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
1
− 2e−x
x
e − 2e−x
ex − 2e−x
ex + 2e−x
x
2x
e +2
e2x − 2
ex − 2e−x
ex + 2e−x
ex
√
11. Il dominio della funzione f (x) = log(4 − 2 2x − 1) è:
5
(a) −∞,
2
1
, +∞
(b)
2
(c) (−∞, 4)
(d) [1, 5)
1 5
,
(e)
2 2
c
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3
VERO o FALSO
Per ognuna di queste affermazioni dire se è vera oppure falsa.
(a) Sia f (x) =
√
1
7
x + 7 x. Per x → 0+ , f (x) è infinitesima di ordine
rispetto a x.
49
(b) Sia f (x) =
√
1
7
x + 7 x. Per x → +∞, f (x) è infinita di ordine
rispetto a x.
49
(c ) La funzione f (x) = |2x| cos(3x) è derivabile in R
(d ) Per ogni k ∈ R la funzione seguente è continua.
kx2 − 3kx + 2
f (x) =
2ex − 5kx
(e ) La funzione f (x) =
k=1
kx2 − 3kx + 2
2ex − 5kx
x<0
x≥0
x<0
con k parametro reale, è derivabile in x = 0 se e solo se
x≥0
(f ) La funzione f (x) dell’item (e), nell’intervallo [−5, −2], non soddisfa al teorema di Lagrange, per nessun
valore di k ∈ R.
(g) Esiste un valore di k ∈ R per cui la funzione f (x) dell’item (e), nell’intervallo [−2, 5], soddisfa al teorema
di Lagrange.
(h ) Lo sviluppo di Mac Laurin, di ordine 4, della funzione f (x) = sin2 2x è f (x) = 4x2 −
16 4
x .
3
(i ) La funzione f (x) = sin2 2x ha in x = 0 un punto di massimo relativo.
(j ) p(x) = 4x2 è la parte principale, per x → 0, della funzione f (x) = sin2 2x.
(k ) La funzione f (x) = sin2 2x, per x → 0, è infinitesima di ordine 2.
(l ) T (x) = 1 − 9x2 + 27x4 è il polinomio di Mac Laurin, di ordine 4, della funzione f (x) = cos2 3x.
(m ) La funzione f (x) = cos2 3x è infinitesima del 2o ordine, per x → 0
(n ) Il punto x = 0 è un punto di minimo per f (x) = cos2 3x.
(o ) p(x) = −2x è la parte principale, per x → 0, della funzione f (x) = log
1−x
x+1
(p) Per trovare lo sviluppo di Mac Laurin della funzione f (x) = log(2 + x) si può trovare lo sviluppo di Mac
x
Laurin della funzione log 2 + log(1 + )
2
c
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4
√
3
2 + x3 si può trovare lo sviluppo di Mac
(q ) Per trovare lo sviluppo di Mac Laurin
della funzione f (x) =
√
x3
3
Laurin della funzione f (x) = 3 2 · 1 +
2
(r ) Lo sviluppo di Mac Laurin, di ordine 1, della funzione f (x) = e4+2x è f (x) = 1 + (4 + 2x) + o(x)
(s ) f (x) = e4 (1 + 2x + o(x)) è lo sviluppo di Mac Laurin, di ordine 1, della funzione f (x) = e4+2x .
(t ) Lo sviluppo di Mac Laurin della funzione f (x) =
f (x) =
1
2
1
sin x
1+
2
1
è riconducibile allo sviluppo della funzione
2 + sin x
(u ) Lo sviluppo di Mac Laurin, di ordine 4 della funzione f (x) =
1
è f (x) = 1 − x + x2 − x3 + x4 + o(x4 )
1+x
1
1
(v ) Lo sviluppo di Mac Laurin, di ordine 4, della funzione f (x) =
è: f (x) =
2 + sin x
2
x3
x4
x x2
4
−
−
+ o(x )
1− +
2
4
24 48
(w) Tx=0,n=30 (x) = 1 + x10 + x20 + x30 è il polinomio di Mac Laurin, di ordine 30, di f (x) =
1
1 − x10
1
1
(x) f (x) = 1 + (1 + x) − (1 + x)2 + o((1 + x)2 ) è lo sviluppo di Mac Laurin, di ordine 2, della funzione
8
√ 2
f (x) = 1 + x.
(y) Se z = 1 − i, allora z 28 è un numero reale positivo.
(z) L’equazione
z+2
= 1 − i ammette come unica soluzione il numero reale z = 2.
z + 2i
(z1) Una radice quarta di i è il numero complesso w =
−1 − i
√ .
2
1+i
(z2) Una radice cubica di i è il numero complesso w = √
2
RISPOSTE AI QUESITI
Item numero
Risposta
1
e
2
e
3
d
4
a
5
c
6
e
7
b
8
d
9
e
10
d
11
e
Risposte VERO o FALSO
Item nÂ◦
Risposta
a
V
b
F
c
F
d
V
e
V
f
F
g
V
h
F
i
F
Item numero
Risposta
c
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Politecnico di Torino
j
V
k
V
y
F
5
l
V
z
V
m
F
z1
F
n
F
z2
F
o
V
p
V
q
V
r
F
s
V
t
V
u
V
v
V
w
V
x
F