Corso di aritmetica
Lezione del 11.4.07
I numeri razionali
Nella lezione precedente, abbiamo discusso la divisione come quella
operazione che a dividendo e divisore associa quoziente e resto:
a = q × b + r con 0 ≤ r < b.
Adesso vogliamo discutere la divisione come l'operazione inversa della
moltiplicazione (se divido a per b e poi moltiplico per b, riottengo a).
Chiediamoci, per prima cosa, quando e' possibile eettuare la divisione
-in questo senso- rimanendo all'interno di N (oppure di Z): a e'
divisibile per b se e solo se a e' multiplo di b. Per esempio 12 e' divisibile
per 6, ma 13 non lo e'. Questa condizione, espressa secondo la prima
accezione del termine divisione, equivale a dire che il resto della divisione
di a per b e' zero.
Vogliamo costruire un insieme che contiene N e Z e nel quale sia sempre
possibile dividere un numero per un altro diverso da zero; vogliamo
anche che in questo nuovo insieme continuino ad essere possibili
l'addizione, la sottrazione e la moltiplicazione.
1. La costruzione dell'insieme dei numeri razionali.
Una frazione (con o senza segno) puo' essere interpretata come una coppia
di interi (a, b) con b6= 0, dove a e' il numeratore e b il denominatore;
dovremo poi dire quando due frazioni sono equivalenti.
Partiamo quindi dall'insieme Z×(Z \ {0}) e introduciamo
la relazione (fra coppie) (a, b)R(a0 , b0 ) se e solo se a × b0 = a0 × b.
Questa relazione corrisponde alla normale equivalenza fra frazioni:
per esempio, le frazioni (2, 3) e (4, 6) sono equivalenti in quanto la frazione
(4, 6) si puo' semplicare in (2, 3). Ma osserviamo che 2 × 6 = 3 × 4.
Controlliamo che questa relazione e' una relazione di equivalenza,
secondo la denizione formale che ne abbiamo data nella lezione scorsa:
- la relazione e' riessiva: (a, b)R(a, b) in quanto a × b = b × a;
- se (a, b)R(c, d), allora (c, d)R(a, b): infatti si ha a × d = b × c e c × b = d × a;
- se (a, b)R(c, d) e (c, d)R(e, f ), allora (a, b)R(e, f ): infatti si ha a × d = b × c
e c × f = d × e e quindi, moltiplicando fra loro i primi membri e i secondi
membri, a × d × c × f = b × c × d × e. I due membri di questa uguaglianza
sono ambedue multipli di d × c e si possono dividere per d × c ottenendo
a × f = b × e.
Si chiama numero razionale la classe di equivalenza di una frazione;
l'insieme dei numeri razionali si denota con Q e
Q = {[(a, b)] : (a, b) ∈Z×(Z \ {0})}.
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Notiamo che e' sempre possibile scegliere un rappresentante in
ognuna di queste classi tale che a e b siano primi fra loro: questo
corrisponde a scegliere una frazione ridotta ai minimi termini.
a
b
Infatti le coppie (a, b) e ( mcd(a,b)
, mcd(a,b)
) sono equivalenti e sappiamo che
a
mcd(a,b)
b
e mcd(a,b)
sono primi fra loro. Per esempio, nella classe [(4, 8)]
possiamo scegliere il rappresentante (1, 2).
2. Le operazioni in Q.
Dobbiamo denire le operazioni fra numeri razionali e far vedere che sono
estensioni delle stesse operazioni denite in Z.
Poniamo
[(a, b)] + [(c, d)] = [a × d + b × c, b × d]
e
[(a, b)] × [(c, d)] = [(a × c, b × d)]
Poiche' queste sono operazioni fra classi di equivalenza, bisogna vericare
che i risultati non dipendono dalla scelta del rappresentante della classe;
le veriche non sono dicili, ma piuttosto lunghe e supponiamo di averle
eettuate.
Il passo successivo consiste nel ritrovare Z dentro Q. L'intero n puo'
essere considerato come la frazione (n, 1) oppure come la frazione (2n, 2)
e si potra' ritrovare n in Q come [(n, 1)].
La corrispondenza n → [(n, 1)] e' biunivoca e quindi non abbiamo perso
per strada nessun elemento di Z.
Presi due elementi n, m ∈ Z, possiamo sommarli in Z e ottenere n + m
che si ritrova in Q come [(n + m, 1)], oppure possiamo interpretare
n e m in Q come [(n, 1)] e [(m, 1)] e sommarli in Q, ottenendo
[(n, 1)] + [(m, 1)] = [n × 1 + m × 1, 1 × 1]) = [(n + m, 1)].
Il fatto che nei due casi otteniamo lo stesso risultato esprime la compatibilita'
dell'addizione in Q con l'addizione in Z.
Si puo' procedere in modo analogo per la moltiplicazione in Q.
Osserviamo, per inciso, che la denizione corretta di somma in Q e' quella
data piu' sopra e non la seguente che potrebbe venire in mente:
[(a, b)] + [(c, d)] = [(a + c, b + d)]; infatti, per esempio, (1, 2) e' equivalente
a (2, 4), (2, 5) e' equivalente a (6, 15), ma (3, 7) non e' equivalente a (8, 19)
poiche' 3 × 19 6= 7 × 8.
L'insieme Q risolve il problema che avevamo posto all'inizio: dati i due
numeri razionali x = [(a, b)] e y = [(c, d)] (con y 6= 0), il numero razionale
z = [(a × d, b × c)] e' tale che z × y = x. Scriveremo z = x : y .
3. L'ordinamento di Q.
E' possibile introdurre un ordinamento in Q osservando che se a e b
sono concordi e la frazione (c, d) e' equivalente alla frazione (a, b), anche
c e d sono concordi. Saranno positivi i razionali per i quali sono concordi
le due componenti di un rappresentante qualsiasi.
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Questo ordinamento estende l'ordinamento di Z e gode, inoltre, della
proprieta' di densita':
fra due numeri razionali diversi x e y , con x < y , esiste sempre un razionale
v tale che
x < v < y.
Si vede allora che ci sono inniti razionali fra x e y .
Questa proprieta' (che non vale per Z) puo' far pensare che i razionale siano
piu' numerosi degli interi, mentre si dimostra che sono equipotenti a Z,
vale a dire esiste una corrispondenza biunivoca fra Z e Q:
i razionali sono numerabili. Gli insiemi numerabili sono quelli equipotenti a
N e costituiscono i piu' piccoli insiemi inniti. Z e' numerabile.
(A questo proposito, bisogna guardarsi dal pensare che tutti gli insiemi
inniti siano equipotenti fra loro).
4. I numeri irrazionali e i reali.
Semplici operazioni geometriche fanno uscire dall'ambito dei numeri
razionali: per esempio l'ipotenusa di un triangolo rettangolo di cateto
unitario oppure la circonferenza di raggio unitario hanno lunghezze che
non si possono misurare con numeri razionali. Questi numeri vengono
detti irrazionali e l'insieme unione dei razionali e degli irrazionali
e' detto insieme dei numeri reali e denotato con R.
L'insieme R e' in corrispondenza biunivoca con i punti della retta geometrica.
Inoltre in R sono denite addizione, moltiplicazione, sottrazione e divisione
che estendono le corrispondenti operazioni in Q.
In R e' denito un ordinamento che estende quello di Q e per il quale Q
risulta denso:
fra due numeri reali x e y , con x < y, esiste un numero razionale v tale che
x < v < y.
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