Programma di Analisi Matematica III — 5 crediti

Programma di Analisi Matematica III — 5 crediti
Ha preso il nome di Analisi Matematica D
Funzioni di più variabili (BR, BPS)
Topologia di Rn (dispense), limiti, derivate parziali e direzionali; gradiente, differenziale di una
funzione da Rn a valori in R. Teorema del gradiente. Derivate successive. Teorema di Schwarz.
Matrice Hessiana. Formula di Taylor al secondo ordine.
Funzioni a valori vettoriali: matrice jacobiana, differenziabilità. Campi vettoriali. Teorema di
derivazione di funzione composta.
Teorema della funzione inversa. Teorema del Dini (o della funzione implicita). Varietà unidimensionali.
Curve e superfici (BR, BPS)
Definizione di curva nello spazio, data in equazioni parametriche. Curve regolari. Vettore e
retta tangente in un punto ad una curva regolare. Definizione di superficie nello spazio, in forma
parametrica. Superfici regolari. Piano tangente in un punto ad una superficie regolare. Orientamento
e cambiamenti di parametro per curve e superfici.
Massimi e minimi liberi di una funzione f : Rn → R. Metodo della matrice Hessiana per il
riconoscimento dei punti di massimo e di minimo. Massimi e minimi vincolati su curve e superfici.
Metodo dei moltiplicatori di Lagrange ( con dimostrazione).
Integrazione multipla (BR, BPS)
Integrale di Riemann su domini piani. Integrale su rettangoli, domini x- semplici e y-semplici.
Calcolo di aree. Proprietà dell’integrale doppio. Cambiamenti di variabili.
Integrale di Riemann su domini tridimensionali. Metodo di integrazione per fili e per strati.
Calcolo di volumi. Proprietà dell’integrale triplo. Cambiamenti di variabili.
Lunghezza di un arco di curva. Integrale curvilineo (o di linea di prima specie). Indipendenza
dell’integrale dalla parametrizzazione della curva ( con dimostrazione). Suo significato fisico (massa,
baricentro).
Integrale di linea (o di linea di seconda specie) di un campo lungo una curva. Dipendenza
dell’integrale di linea dall’orientamento, ma non da parametrizzazioni che conservano l’orientamento.
Integrali superficiali e integrali di flusso. Loro proprietà. Calcolo di aree di superfici nello spazio.
Area di una superficie di rotazione.
Teoremi di Green, di Stokes (o del rotore) e di Gauss (o della divergenza).
Campi conservativi: definizione. Teorema sulle proprietà equivalenti ( con dimostrazione), legami
fra campi conservativi e campi irrotazionali ( con dimostrazione).
Su tutti gli argomenti indicati lo studente deve essere in grado di svolgere esercizi, basandosi sulla
teoria precedentemente studiata.
Testi di riferimento.
1. (BR) A. Bacciotti - F.Ricci, Lezioni di Analisi Matematica 2, Levrotto e Bella, Torino.
2. (BBF) A. Bacciotti - P. Boieri - D. Farina Esercizi di calcolo differenziale e integrale in più
variabili, Progetto Leonardo, Bologna, 2005.
3. (BPS) M.Bramanti, C.D.Pagani, S.Salsa, Matematica, Zanichelli, Bologna, 2000.
4. (MS) P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, vol. 2, Liguori, Napoli.
5. Materiale integrativo è reperibile in rete, alla pagina
https://calvino.polito.it/∼ mazzi.
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