Programma del corso di Analisi Matematica D (5 cfu)

Programma del corso di Analisi Matematica D (5 cfu)
Politecnico di Torino
Calcolo differenziale, curve e superfici.
Topologia di Rn : sottoinsiemi aperti, chiusi, compatti, connessi per archi. Limiti in più variabili e
funzioni continue.
Calcolo differenziale: derivate parziali, gradiente, differenziale, piano tangente. Derivate di funzioni
composte, matrice Jacobiana. Derivate successive, formula di Taylor, massimi e minimi liberi.
Curve e superfici: curve semplici, chiuse, regolari e regolari a tratti, curve equivalenti. Superfici
semplici e regolari, cambi di coordinate, superfici equivalenti, versore normale e piano tangente per
superfici in forma parametrica.
Cenni su Funzioni implicite e Estremi vinvolati.
Integrazione delle funzioni di più variabili.
Integrazione delle funzioni di due variabili, proprietà dell’ integrale, riduzione di integrali doppi a
integrali iterati. Integrazione delle funzioni di tre variabili e formula di riduzione. Cambi di variabili.
Volumi di solidi di rotazione.
Integrali di curva e superfici.
Ascissa curvilinea, lunghezza di un arco di curva, integrale di curva di prima specie (=curvilineo, di
funzioni). Integrale di curva di seconda specie (=di linea, di campi vettoriali). Area di una calotta,
integrali di superficie di prima specie (di funzioni), e di seconda specie (flussi di campi vettoriali).
Teoremi di Green, Gauss, Stokes.
Curve e regioni di Jordan. Teorema di Jordan. Teoremi di Green, Gauss e Stokes.
Campi conservativi, forme chiuse ed esatte.
Campi conservativi e potenziali. Formula per l’integrale di ∇g lungo una curva. Due potenziali
differiscono per una costante su un aperto connesso per archi. Caratterizzazione dei campi conservativi.
Campi irrotazionali. Ogni campo conservativo di classe C 1 in un aperto di R3 è irrotazionale. Esempio
in cui si mostra che il viceversa non vale. Lemma di Poincaré: ogni campo irrotazionale è localmente
conservativo. Aperti semplicemente connessi del piano e dello spazio. Ogni campo irrotazionale è
conservativo su un aperto semplicemente connesso.
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