Programma del corso di Analisi Matematica D (5 cfu) Politecnico di Torino Calcolo differenziale, curve e superfici. Topologia di Rn : sottoinsiemi aperti, chiusi, compatti, connessi per archi. Limiti in più variabili e funzioni continue. Calcolo differenziale: derivate parziali, gradiente, differenziale, piano tangente. Derivate di funzioni composte, matrice Jacobiana. Derivate successive, formula di Taylor, massimi e minimi liberi. Curve e superfici: curve semplici, chiuse, regolari e regolari a tratti, curve equivalenti. Superfici semplici e regolari, cambi di coordinate, superfici equivalenti, versore normale e piano tangente per superfici in forma parametrica. Cenni su Funzioni implicite e Estremi vinvolati. Integrazione delle funzioni di più variabili. Integrazione delle funzioni di due variabili, proprietà dell’ integrale, riduzione di integrali doppi a integrali iterati. Integrazione delle funzioni di tre variabili e formula di riduzione. Cambi di variabili. Volumi di solidi di rotazione. Integrali di curva e superfici. Ascissa curvilinea, lunghezza di un arco di curva, integrale di curva di prima specie (=curvilineo, di funzioni). Integrale di curva di seconda specie (=di linea, di campi vettoriali). Area di una calotta, integrali di superficie di prima specie (di funzioni), e di seconda specie (flussi di campi vettoriali). Teoremi di Green, Gauss, Stokes. Curve e regioni di Jordan. Teorema di Jordan. Teoremi di Green, Gauss e Stokes. Campi conservativi, forme chiuse ed esatte. Campi conservativi e potenziali. Formula per l’integrale di ∇g lungo una curva. Due potenziali differiscono per una costante su un aperto connesso per archi. Caratterizzazione dei campi conservativi. Campi irrotazionali. Ogni campo conservativo di classe C 1 in un aperto di R3 è irrotazionale. Esempio in cui si mostra che il viceversa non vale. Lemma di Poincaré: ogni campo irrotazionale è localmente conservativo. Aperti semplicemente connessi del piano e dello spazio. Ogni campo irrotazionale è conservativo su un aperto semplicemente connesso. 1