∑ ∑ ∑ - Matematicamente

FUNZIONI SURIETTIVE
Ci poniamo la seguente domanda: quante sono le funzioni suriettive dall’insieme A={1,2, …,k}
all’insieme B={a1, a2, …, an}?
Se n > k , evidentemente non esistono funzioni suriettive da A in B, perché ogni elemento di A può
avere come immagine un solo elemento di B, quindi al più possono essere saturati k elementi di B
(al più, perché elementi diversi di A potrebbero come immagine lo stesso elemento di B). Quindi,
affinché esistano funzioni suriettive da A in B deve essere n ≤ k .
1) Se n = k , allora le funzioni oltre che suriettive devono essere anche iniettive; infatti,
siccome ogni elemento di A ha una sola immagine in B, allora, per poter esaurire gli
elementi di B, ogni elemento di A deve avere immagine diversa in B.
Dunque, se n = k allora il numero di funzioni suriettive da A in B è uguale al numero di
funzioni iniettive da A in B, che è dato da n!
2) Se n < k , il numero N n ,k delle funzioni suriettive da A a B è:
⎛n⎞
⎛n ⎞ '
⎛n
⎞ '
⎛n
⎞ '
⎛n⎞
⎟⎟ Dn −1,k + ⎜⎜
⎟⎟ Dn − 2 ,k + ... + ( −1 ) h ⎜⎜
⎟⎟ Dn − h ,k + ... + ( −1 ) n ⎜⎜ ⎟⎟ D0' ,k
N n ,k = ⎜⎜ ⎟⎟ Dn' ,k − ⎜⎜
⎝n⎠
⎝ n − 1⎠
⎝ n − 2⎠
⎝n − h⎠
⎝0⎠
n
n
n
⎛n
⎞ '
⎛n
⎞
⎟⎟ Dn − h ,k = ∑ ( −1 ) h ⎜⎜
⎟⎟(n − h )k = ∑ ( −1 ) h C n ,n − h Dn' − h ,k
N n ,k = ∑ ( −1 ) h ⎜⎜
h =0
h =0
h =0
⎝n − h⎠
⎝ n − h⎠
n −1
n
⎞ '
⎛n
h ⎛n⎞
k
h ⎛n⎞
⎜⎜ ⎟⎟( n − h ) k
⎟
⎜
⎟
⎜
1
1
(
n
h
)
(
)
D
(
)
−
=
−
=
−
= ∑ ( −1 ) ⎜
∑
∑
−
n
h
,
k
⎟
⎜
⎟
h =0
h=0
h =0
⎝h⎠
⎝h⎠
⎝n − h⎠
n −1
N n ,k
h
Il numero N n ,k delle funzioni suriettive da A a B si ottiene in questo modo:
si prendono tutte le funzioni da A in B, ossia Dn' ,k , da queste si tolgono le funzioni da A in B
⎛n ⎞ '
⎟⎟ Dn −1,k = nDn' −1,k ;
che però hanno condominio dato da B escluso 1 elemento, che sono ⎜⎜
⎝ n − 1⎠
in questo modo però si tolgono 2 volte anche quelle funzioni da A in B e che, escludono 2
⎛n
⎞ '
⎟⎟ Dn − 2 ,k ; però, in questo modo si aggiungono
elementi di B perciò bisogna aggiungere ⎜⎜
⎝ n − 2⎠
2 volte le funzioni da A in B e che escludono 3 elementi di B quindi bisogna aggiungere
⎛n ⎞ '
⎜⎜
⎟⎟ Dn −3 ,k e così via.
⎝ n − 3⎠
3) Estendendo per n = k la formula precedente, siccome Nn,n=n! allora si ha che:
⎛n⎞
⎛n ⎞ '
⎛n
⎞ '
⎛n
⎞ '
⎛n⎞
⎟⎟ Dn −1,n + ⎜⎜
⎟⎟ Dn − 2 ,n + ... + ( −1 ) h ⎜⎜
⎟⎟ Dn − h ,n + ... + ( −1 ) n ⎜⎜ ⎟⎟ D0' ,n
n! = ⎜⎜ ⎟⎟ Dn' ,n − ⎜⎜
⎝n⎠
⎝ n − 1⎠
⎝ n − 2⎠
⎝n − h⎠
⎝0⎠
n
n
n −1
⎛n
⎞ '
⎛n
⎞
⎛n
⎞ '
⎟⎟ Dn − h ,n
⎟⎟(n − h )n = ∑ ( −1 ) h ⎜⎜
⎟⎟ Dn − h ,n = ∑ ( −1 ) h ⎜⎜
n! = ∑ ( −1 ) h ⎜⎜
n
h
n
h
n
h
−
−
−
h =0
h
=
0
h
=
0
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
4) Le funzioni da A (con |A|=k) in B (con |B|=n) essendo n ≤ k che hanno come condominio un
qualunque sottoinsieme Bj di B con |Bj|=m (e quindi m < n ) è data da:
⎞
⎛m
⎞m
⎛n
⎞
⎛m
⎛n ⎞ m
⎟⎟( m − h ) k
⎟⎟∑ ( −1 ) h ⎜⎜
⎟⎟( m − h ) k = ⎜⎜
C n ,m N m ,k = ⎜⎜ ⎟⎟∑ ( −1 ) h ⎜⎜
⎝m − h⎠
⎝ n − m ⎠ h =0
⎝m − h⎠
⎝ m ⎠ h =0
Naturalmente le funzioni da A in Bj (⊆B) devono essere suriettive altrimenti non verrebbe esaurito
Bj. Infatti, basta considerare tutti i possibili sottoinsiemi Bj di B formati da m(<n) elementi che sono
Cn,m e poi considerare tutte le funzioni suriettive da A a Bj che sono Nm,k, e siccome tutti i
sottoinsiemi di tipo Bj differiscono per almeno un elemento e le funzioni da A in Bj sono suriettive è
chiaro che le funzioni suriettive da A in B1 sono diverse dalle funzioni suriettive da in B2 e così via.
5) Il numero delle funzioni da A(={1,2,…,k}) a B(={a,b,…,n}), ossia Dn' ,k = n k , può essere ottenuto
sommando il numero di funzioni da A in Bi,j dove Bi,j sono i sottoinsiemi di B formati da j elementi
con j=1,2,…,n e i=1,2,…,Cn,j
n
n
⎛n ⎞
⎛n
⎞
⎛n⎞
⎛n⎞
⎛n
⎞
⎛n ⎞
⎟⎟ N n −1,k + ⎜⎜
⎟⎟ N n − 2 ,k + ... + ⎜⎜ ⎟⎟ N 1,k + ⎜⎜ ⎟⎟ N 0 ,k = ∑ ⎜⎜
⎟⎟ N n − h ,k = ∑ ⎜⎜ ⎟⎟ N m ,k
Dn' ,k = n k = N n ,k + ⎜⎜
h =0 ⎝ n − h ⎠
m =0 ⎝ m ⎠
⎝ n − 1⎠
⎝ n − 2⎠
⎝1 ⎠
⎝0⎠
⎛n⎞
dove ⎜⎜ ⎟⎟ N 0 ,k = 0
⎝0⎠
6) Si può, inoltre, vedere facilmente che:
6a) Se n > k allora N n ,k = 0
6b) Se n = k allora N n ,n = n!
6c) Se n < k allora N n ,k = numero funzioni suriettive da A (con |A|=k) in B (con |B|=n)
La cosa interessante è che se n > k non esistono funzioni suriettive da A in B e quindi il numero
delle funzioni suriettive N n ,k da A in B è proprio zero.
Claudio Gazzaneo