1 VERIFICA DEL PRINCIPIO DEL GENERATORE EQUIVALENTE E

VERIFICA DEL PRINCIPIO DEL GENERATORE EQUIVALENTE E DEI TEOREMI DI
THÈVENIN E DI NORTON.
VERIFICA DELLA VALIDITÀ DEL CIRCUITO EQUIVALENTE
Circuito di verifica
E = 12V ; R 1 = 1,2kΩ ; R 2 = 1,5kΩ ; R 3 = 2,2kΩ ; R 4 = 3,3kΩ ; R 5 = 2,2kΩ ; R 6 = 2,7 kΩ ;
R 7 = 1,8kΩ ; R 8 = 3,9kΩ
Risoluzione del circuito
Già risolto nella precedente verifica, si riporta comunque la risoluzione.
1
R 12 =
R 1R 2
1,2 ⋅ 10 3 ⋅ 1,5 ⋅ 10 3
=
= 0,67 kΩ
R 1 + R 2 1,2 ⋅ 10 3 + 1,5 ⋅ 10 3
R 78 = R 7 + R 8 = 1,8 ⋅ 10 3 + 3,9 ⋅ 10 3 = 5,7kΩ
R 46 = R 4 + R 5 + R 6 = 3,3 ⋅ 10 3 + 2,2 ⋅ 10 3 + 2,7 ⋅ 10 3 = 8,2kΩ
R 36 =
R 3 R 46
2,2 ⋅ 10 3 ⋅ 8,2 ⋅ 10 3
= 1,73kΩ
=
R 3 + R 46 2,2 ⋅ 10 3 + 8,2 ⋅ 10 3
R 18 = R 12 + R 36 + R 78 = 0,67 ⋅ 10 3 + 1,73 ⋅ 10 3 + 5,7 ⋅ 10 3 = 8,1kΩ
I7 =
E
12
=
= 1,48mA
R 18 8,1 ⋅ 10 3
V12 = V1 = V2 = R 12 I 7 = 0,67 ⋅ 10 3 ⋅ 1,48 ⋅ 10 −3 = 0,987V
V36 = V3 = V46 = R 36 I 7 = 1,73 ⋅ 10 3 ⋅ 1,48 ⋅ 10 −3 = 2,56V
V78 = R 78 I 7 = 5,7 ⋅ 10 3 ⋅ 1,48 ⋅ 10 −3 = 8,44V
I3 =
V3
2,56
=
= 1,16mA
R 3 2,2 ⋅ 10 3
I2 =
I4 =
V12 + V36 + V78 = 0,987 + 2,56 + 8,44 = 11,987V ≅ E
V46
2,56
=
= 0,31mA
R 46 8,2 ⋅ 10 3
V2
0,987
=
= 0,658mA
R 2 1,5 ⋅ 10 3
I1 =
V1
0,987
=
= 0,8225mA
R 1 1,2 ⋅ 10 3
V4 = R 4 I 4 = 3,3 ⋅ 10 3 ⋅ 0,31 ⋅ 10 −3 = 1,023V
V5 = R 5 I 4 = 2,2 ⋅ 10 3 ⋅ 0,31 ⋅ 10 −3 = 0,682V
V6 = R 6 I 4 = 2,7 ⋅ 10 3 ⋅ 0,31 ⋅ 10 −3 = 0,837V
V7 = R 7 I 7 = 1,8 ⋅ 10 3 ⋅ 1,48 ⋅ 10 −3 = 2,664V
V8 = R 8 I 7 = 3,9 ⋅ 10 3 ⋅ 1,48 ⋅ 10 −3 = 5,772V
Calcolo di Eo
R 12 = 0,67 kΩ
Eo =
R 46 = 8,2kΩ
R 78 = 5,7kΩ
R 46
8,2 ⋅ 10 3
⋅E =
⋅ 12 = 6,754V
R 12 + R 46 + R 78
0,67 ⋅ 10 3 + 8,2 ⋅ 10 3 + 5,7 ⋅ 10 3
2
Calcolo di Io
Io =
E
12
=
= 1,884mA
3
R 12 + R 78 0,67 ⋅ 10 + 5,7 ⋅ 10 3
Calcolo di Ro secondo il principio del generatore equivalente
Ro =
Eo
6,754
=
= 3,585kΩ
I o 1,884 ⋅ 10 −3
Calcolo di Ro secondo i teoremi di Thèvenin e di Norton
R 12 = 0,67 kΩ ; R 46 = 8,2kΩ ; R 78 = 5,7kΩ ; R 18 = R 12 + R 78 = 0,67 ⋅ 10 3 + 5,7 ⋅ 10 3 = 6,37 kΩ
R 18 R 46
6,37 ⋅ 10 3 ⋅ 8,2 ⋅ 10 3
Ro =
=
= 3,585kΩ
R 18 + R 46 6,37 ⋅ 10 3 + 8,2 ⋅ 10 3
Procedimento di verifica del generatore equivalente e dei teoremi di Thèvenin e di Norton
1. Si monta il circuito senza la resistenza R3 e si collega il generatore regolato a 12V.
2. Si misura la tensione a vuoto Eo tra i punti A e B.
3. Si commuta il multimetro digitale ad amperometro e, assumendo praticamente nulla la
resistenza amperometrica dello strumento (o perlomeno trascurabile la sua influenza rispetto alle
altre resistenze del circuito), si misura la corrente Io di cortocircuito.
4. Si sostituisce al generatore un cortocircuito e si misura Ro, resistenza a vuoto tra i punti A e B
eliminati i generatori indipendenti (Ro secondo Thèvenin e Norton).
5. Si calcola ro come rapporto tra Eo e Io (Ro secondo il principio del generatore equivalente).
3
6. Si riportano i valori in una tabella in cui sono riportati anche i valori calcolati, per un immediato
confronto.
Valori misurati
Valori calcolati
volt
Eo
6,80
6,754
mA
Io
1,911
1,884
KΩ
Ro = Eo/Io
3,552
3,585
Ro
3,552
3,585
Verifica della validità del generatore equivalente ottenuto
La verifica della validità del circuito equivalente consiste nell’utilizzare diversi valori per la
resistenza R3, calcolare la corrente I3 e la tensione V3 usando il circuito equivalente ottenuto
sperimentalmente (ad esempio il generatore di tensione equivalente), e misurando I3 e V3 dal
circuito in esame in cui sarà stata inserita la resistenza stessa. Se i valori misurati sono in accordo
con quelli calcolati, la schematizzazione è effettivamente valida, ossia sostituisce a tutti gli effetti
l’intero circuito visto dai capi di R3.
Calcolo di I3 e di V3, per diversi valori della resistenza R3, utilizzando il generatore
equivalente ottenuto sperimentalmente
E o = 6,8V
I o = 1,911mA
R o = 3,552kΩ
R 3 = 1,5kΩ :
I3 =
Eo
6,80
=
= 1,346mA ; V3 = R 3 I 3 = 1,5 ⋅ 10 3 ⋅ 1,346 ⋅ 10 −3 = 2,019V
3
3
R o + R 3 3,552 ⋅ 10 + 1,5 ⋅ 10
R 3 = 2,2kΩ :
I3 =
Eo
6,80
=
= 1,182mA ; V3 = R 3 I 3 = 2,2 ⋅ 10 3 ⋅ 1,182 ⋅ 10 −3 = 2,60V
3
3
R o + R 3 3,552 ⋅ 10 + 2,2 ⋅ 10
R 3 = 3,3kΩ :
Eo
6,80
=
= 0,992mA ; V3 = R 3 I 3 = 3,3 ⋅ 10 3 ⋅ 0,992 ⋅ 10 −3 = 3,275V
I3 =
R o + R 3 3,552 ⋅ 10 3 + 3,3 ⋅ 10 3
R 3 = 4,7 kΩ :
I3 =
Eo
6,80
=
= 0,824mA ; V3 = R 3 I 3 = 4,7 ⋅ 10 3 ⋅ 0,824 ⋅ 10 −3 = 3,873V
3
3
R o + R 3 3,552 ⋅ 10 + 4,7 ⋅ 10
4
R 3 = 5,6kΩ :
I3 =
Eo
6,80
=
= 0,743mA ; V3 = R 3 I 3 = 5,6 ⋅ 10 3 ⋅ 0,743 ⋅ 10 −3 = 4,161V
3
3
R o + R 3 3,552 ⋅ 10 + 5,6 ⋅ 10
Si procede nel seguente modo:
7. Si inserisce nel circuito la resistenza R3 di 1,5kΩ (primo valore della tabella riassuntiva) e si
misura la differenza di potenziale V3 ai suoi capi.
8. Si calcola la corrente I3 applicando la legge di Ohm ai capi di R3, utilizzando il valore misurato
di V3.
9. Si utilizzano, in successione, i valori di R3 di 2,2kΩ, 3,3kΩ, 4,7kΩ, 5,6kΩ, come in tabella, e si
ripetono i punti 7 e 8
10. Si riportano i valori in una tabella in cui sono riportati anche i valori calcolati, per un immediato
confronto.
KΩ
R3
1,5
2,2
3,3
4,7
5,6
Valori misurati
volt
mA
V3
I3
2,005
1,337
2,595
1,179
3,301
1,000
3,856
0,820
4,161
0,743
Valori calcolati
volt
mA
V3
I3
2,019
1,346
2,60
1,182
3,275
0,992
3,873
0,824
4,161
0,743
Dai dati riportati in tabella si vede chiaramente che i valori calcolati dal circuito equivalente
sperimentale e i valori misurati di I3 e V3 sono in ottimo accordo. Pertanto, si ritiene verificata la
validità del principio del generatore equivalente e dei teoremi di Thèvenin e di Norton.
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