VERIFICA DEL PRINCIPIO DEL GENERATORE EQUIVALENTE E DEI TEOREMI DI THÈVENIN E DI NORTON. VERIFICA DELLA VALIDITÀ DEL CIRCUITO EQUIVALENTE Circuito di verifica E = 12V ; R 1 = 1,2kΩ ; R 2 = 1,5kΩ ; R 3 = 2,2kΩ ; R 4 = 3,3kΩ ; R 5 = 2,2kΩ ; R 6 = 2,7 kΩ ; R 7 = 1,8kΩ ; R 8 = 3,9kΩ Risoluzione del circuito Già risolto nella precedente verifica, si riporta comunque la risoluzione. 1 R 12 = R 1R 2 1,2 ⋅ 10 3 ⋅ 1,5 ⋅ 10 3 = = 0,67 kΩ R 1 + R 2 1,2 ⋅ 10 3 + 1,5 ⋅ 10 3 R 78 = R 7 + R 8 = 1,8 ⋅ 10 3 + 3,9 ⋅ 10 3 = 5,7kΩ R 46 = R 4 + R 5 + R 6 = 3,3 ⋅ 10 3 + 2,2 ⋅ 10 3 + 2,7 ⋅ 10 3 = 8,2kΩ R 36 = R 3 R 46 2,2 ⋅ 10 3 ⋅ 8,2 ⋅ 10 3 = 1,73kΩ = R 3 + R 46 2,2 ⋅ 10 3 + 8,2 ⋅ 10 3 R 18 = R 12 + R 36 + R 78 = 0,67 ⋅ 10 3 + 1,73 ⋅ 10 3 + 5,7 ⋅ 10 3 = 8,1kΩ I7 = E 12 = = 1,48mA R 18 8,1 ⋅ 10 3 V12 = V1 = V2 = R 12 I 7 = 0,67 ⋅ 10 3 ⋅ 1,48 ⋅ 10 −3 = 0,987V V36 = V3 = V46 = R 36 I 7 = 1,73 ⋅ 10 3 ⋅ 1,48 ⋅ 10 −3 = 2,56V V78 = R 78 I 7 = 5,7 ⋅ 10 3 ⋅ 1,48 ⋅ 10 −3 = 8,44V I3 = V3 2,56 = = 1,16mA R 3 2,2 ⋅ 10 3 I2 = I4 = V12 + V36 + V78 = 0,987 + 2,56 + 8,44 = 11,987V ≅ E V46 2,56 = = 0,31mA R 46 8,2 ⋅ 10 3 V2 0,987 = = 0,658mA R 2 1,5 ⋅ 10 3 I1 = V1 0,987 = = 0,8225mA R 1 1,2 ⋅ 10 3 V4 = R 4 I 4 = 3,3 ⋅ 10 3 ⋅ 0,31 ⋅ 10 −3 = 1,023V V5 = R 5 I 4 = 2,2 ⋅ 10 3 ⋅ 0,31 ⋅ 10 −3 = 0,682V V6 = R 6 I 4 = 2,7 ⋅ 10 3 ⋅ 0,31 ⋅ 10 −3 = 0,837V V7 = R 7 I 7 = 1,8 ⋅ 10 3 ⋅ 1,48 ⋅ 10 −3 = 2,664V V8 = R 8 I 7 = 3,9 ⋅ 10 3 ⋅ 1,48 ⋅ 10 −3 = 5,772V Calcolo di Eo R 12 = 0,67 kΩ Eo = R 46 = 8,2kΩ R 78 = 5,7kΩ R 46 8,2 ⋅ 10 3 ⋅E = ⋅ 12 = 6,754V R 12 + R 46 + R 78 0,67 ⋅ 10 3 + 8,2 ⋅ 10 3 + 5,7 ⋅ 10 3 2 Calcolo di Io Io = E 12 = = 1,884mA 3 R 12 + R 78 0,67 ⋅ 10 + 5,7 ⋅ 10 3 Calcolo di Ro secondo il principio del generatore equivalente Ro = Eo 6,754 = = 3,585kΩ I o 1,884 ⋅ 10 −3 Calcolo di Ro secondo i teoremi di Thèvenin e di Norton R 12 = 0,67 kΩ ; R 46 = 8,2kΩ ; R 78 = 5,7kΩ ; R 18 = R 12 + R 78 = 0,67 ⋅ 10 3 + 5,7 ⋅ 10 3 = 6,37 kΩ R 18 R 46 6,37 ⋅ 10 3 ⋅ 8,2 ⋅ 10 3 Ro = = = 3,585kΩ R 18 + R 46 6,37 ⋅ 10 3 + 8,2 ⋅ 10 3 Procedimento di verifica del generatore equivalente e dei teoremi di Thèvenin e di Norton 1. Si monta il circuito senza la resistenza R3 e si collega il generatore regolato a 12V. 2. Si misura la tensione a vuoto Eo tra i punti A e B. 3. Si commuta il multimetro digitale ad amperometro e, assumendo praticamente nulla la resistenza amperometrica dello strumento (o perlomeno trascurabile la sua influenza rispetto alle altre resistenze del circuito), si misura la corrente Io di cortocircuito. 4. Si sostituisce al generatore un cortocircuito e si misura Ro, resistenza a vuoto tra i punti A e B eliminati i generatori indipendenti (Ro secondo Thèvenin e Norton). 5. Si calcola ro come rapporto tra Eo e Io (Ro secondo il principio del generatore equivalente). 3 6. Si riportano i valori in una tabella in cui sono riportati anche i valori calcolati, per un immediato confronto. Valori misurati Valori calcolati volt Eo 6,80 6,754 mA Io 1,911 1,884 KΩ Ro = Eo/Io 3,552 3,585 Ro 3,552 3,585 Verifica della validità del generatore equivalente ottenuto La verifica della validità del circuito equivalente consiste nell’utilizzare diversi valori per la resistenza R3, calcolare la corrente I3 e la tensione V3 usando il circuito equivalente ottenuto sperimentalmente (ad esempio il generatore di tensione equivalente), e misurando I3 e V3 dal circuito in esame in cui sarà stata inserita la resistenza stessa. Se i valori misurati sono in accordo con quelli calcolati, la schematizzazione è effettivamente valida, ossia sostituisce a tutti gli effetti l’intero circuito visto dai capi di R3. Calcolo di I3 e di V3, per diversi valori della resistenza R3, utilizzando il generatore equivalente ottenuto sperimentalmente E o = 6,8V I o = 1,911mA R o = 3,552kΩ R 3 = 1,5kΩ : I3 = Eo 6,80 = = 1,346mA ; V3 = R 3 I 3 = 1,5 ⋅ 10 3 ⋅ 1,346 ⋅ 10 −3 = 2,019V 3 3 R o + R 3 3,552 ⋅ 10 + 1,5 ⋅ 10 R 3 = 2,2kΩ : I3 = Eo 6,80 = = 1,182mA ; V3 = R 3 I 3 = 2,2 ⋅ 10 3 ⋅ 1,182 ⋅ 10 −3 = 2,60V 3 3 R o + R 3 3,552 ⋅ 10 + 2,2 ⋅ 10 R 3 = 3,3kΩ : Eo 6,80 = = 0,992mA ; V3 = R 3 I 3 = 3,3 ⋅ 10 3 ⋅ 0,992 ⋅ 10 −3 = 3,275V I3 = R o + R 3 3,552 ⋅ 10 3 + 3,3 ⋅ 10 3 R 3 = 4,7 kΩ : I3 = Eo 6,80 = = 0,824mA ; V3 = R 3 I 3 = 4,7 ⋅ 10 3 ⋅ 0,824 ⋅ 10 −3 = 3,873V 3 3 R o + R 3 3,552 ⋅ 10 + 4,7 ⋅ 10 4 R 3 = 5,6kΩ : I3 = Eo 6,80 = = 0,743mA ; V3 = R 3 I 3 = 5,6 ⋅ 10 3 ⋅ 0,743 ⋅ 10 −3 = 4,161V 3 3 R o + R 3 3,552 ⋅ 10 + 5,6 ⋅ 10 Si procede nel seguente modo: 7. Si inserisce nel circuito la resistenza R3 di 1,5kΩ (primo valore della tabella riassuntiva) e si misura la differenza di potenziale V3 ai suoi capi. 8. Si calcola la corrente I3 applicando la legge di Ohm ai capi di R3, utilizzando il valore misurato di V3. 9. Si utilizzano, in successione, i valori di R3 di 2,2kΩ, 3,3kΩ, 4,7kΩ, 5,6kΩ, come in tabella, e si ripetono i punti 7 e 8 10. Si riportano i valori in una tabella in cui sono riportati anche i valori calcolati, per un immediato confronto. KΩ R3 1,5 2,2 3,3 4,7 5,6 Valori misurati volt mA V3 I3 2,005 1,337 2,595 1,179 3,301 1,000 3,856 0,820 4,161 0,743 Valori calcolati volt mA V3 I3 2,019 1,346 2,60 1,182 3,275 0,992 3,873 0,824 4,161 0,743 Dai dati riportati in tabella si vede chiaramente che i valori calcolati dal circuito equivalente sperimentale e i valori misurati di I3 e V3 sono in ottimo accordo. Pertanto, si ritiene verificata la validità del principio del generatore equivalente e dei teoremi di Thèvenin e di Norton. 5