Esercizi di Matematiche Complementari 2

Esercizi di Matematiche Complementari 2
Consegna degli esercizi con asterisco: 12 novembre 2012
1.1
Dimostrare il criterio di congruenza HA per i triangoli rettangoli.
1.2
Dimostrate che in una geometria neutrale se D è il piede dell’altezza di 4ABC
rispetto a C e D—A—B allora AC < CB.
1.3
Dimostrate che in una geometria neutrale se D è il piede dell’altezza di 4ABC
rispetto a C allora D—A—B se e solo se ∠A è ottuso.
1.4* Dimostrate che in una geometria neutrale vale SSA+ : “siano 4ABC e 4DEF
triangoli tali che AB ' DE, BC ' EF , ∠BCA ' ∠EF D. Se ∠BAC e ∠EDF
sono entrambi acuti, entrambi retti o entrambi ottusi, allora 4ABC ' 4DEF ”.
1.5
Dimostrare che in un triangolo in una geometria neutrale un segmento che unisce
un vertice ad un punto del lato opposto ha lunghezza minore della lunghezza del
più lungo fra i lati rimanenti.
1.6
In un triangolo 4ABC di una geometria neutrale, sia AC ≤ BC, AC ≤ AB. Presi
due punti E, F con A − E − B e B − F − C, dimostrare che AC > EF .
1.7* In una geometria neutrale, se D ∈ int(∠ABC) dimostrare che AD+DC < AB+BC
e m(∠ADC) > m(∠ABC).
1.8
−−→
In una geometria neutrale, se BD è la bisettrice di ∠ABC e se E, F sono i piedi
←→ ←→
della perpendicolare da D ad AB, BC, rispettivamente, allora DE = DF .
1.9* (consegnare scritto solo (i) + (ii) collineari → AB ' AC della parte (b))
Sia 4ABC un triangolo in una geometria neutrale.
(a) Dimostrate che se AB ' AC allora i seguenti segmenti e linee sono collineari:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
la mediana di 4ABC relativa a A;
la bisettrice di ∠BAC;
l’altezza di 4ABC relativa a A;
l’asse di BC.
(b) Dimostrate che se due qualunque di (i)–(iv) sono collineari allora AB ' AC.
[Sugg.: nella parte (b) quando (i) e (ii) sono collineari usate SSA+ .]