Esercizi di Matematiche Complementari 2

Esercizi di Matematiche Complementari 2
Consegna degli esercizi con asterisco: 5 dicembre 2012
1.1
1.2
Siano A = (0, 1), B = (1, 1) e D = (0, 2) punti del piano di Poincaré. Trovate C e
−−→ −−→ −−→ −−→
C 0 tali che BC | AD e BC 0 | DA.
←→ ←→ ←→ ←→
Dimostrate che in una geometria neutrale se AB k CD, CD k EF e A—C—E
←→ ←→
allora AB k EF .
1.3
Dimostrare che in geometria iperbolica il difetto di un triangolo è maggiore di zero
e che una geometria è euclidea se e solo se esite un triangolo con difetto nullo.
1.4
Dimostrare l’additività del difetto in una geometria del goniometro: se 4ABC e
A − D − C allora δ(4ABC) = δ(4ABD) + δ(4DBC).
1.5* (a) In una geometria iperbolica sia ∠ABC un angolo. Dimostrate che esiste un’u←→
−−→ −→ −−→ −−→
←→
nica linea DE tale che DE | BA e ED | BC. In questo caso DE è detta la linea
←→
di recinzione di ∠ABC e ∠ABC ∪ DE è detto triangolo doppiamente asintotico.
(b) Nel piano di Poincaré siano P = (0, 1), Q = (0, 2), R = (1, 1) e S = (2, 1).
Trovare le linee di recinzione degli angoli ∠P QR, ∠QP R, ∠P RQ e ∠P RS.
[Sugg.: per (a) considerate un opportuno punto sulla bisettrice di ∠ABC.]
1.6
L ABCD un quadrilatero di Lambert (esercizio 10.1) in una geometria iperboSia lica. Dimostrate che ∠CDA è acuto.
1.7
In una geometria del goniometro sia 4ABC ⊆ 4DEF ∪ int(4DEF ). Dimostrate
che δ(4ABC) ≤ δ(4DEF ).
1.8* In una geometria iperbolica dimostrate che per ogni x ∈ (0, 180) esistono u, v > 0
tali che:
(a) se ogni lato di 4ABC ha lunghezza ≤ u allora δ(4ABC) ≤ x;
(b) se ogni altezza di 4ABC ha lunghezza ≥ v allora δ(4ABC) > x.
[Sugg.: per (a) dato un triangolo 4DEF di difetto x trovate u tale che ogni triangolo con
lati di lunghezza ≤ u è congruente ad un triangolo 4ABC ⊆ 4DEF ∪ int(4DEF ).]
1.9* Siano α, β, γ > 0 tali che α+β+γ < 180. Dimostrate che in una geometria iperbolica
esiste un triangolo 4ABC tale che m(∠A) = α, m(∠B) = β e m(∠C) = γ.