Università degli Studi di Cagliari
Dipartimento di Matematica e Informatica
Corso di Laurea in Chimica
Istituzioni ed Esercitazioni di Matematica 2
09 Marzo 2017
Schema Quarta Lezione
Outline
Equazioni omogenee del primo ordine.
Equazioni lineari del secondo ordine.
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Equazioni Omogenee del primo ordine.
Sono le equazioni della forma:
y dy
=F
dx
x
Idea alla base della soluzione: Eseguire il cambio di variabile v = yx
dv
= F (v ) − v
Trasformare l’equazione nell’equazione a variabili separabili x
dx
Risolvere prima rispetto alla variabile v e poi ricavare la y .
Esercizio 3. Risolvere: 2xy
dy
= 4x 2 + 3y 2
dx
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Equazioni Lineari del secondo ordine
0
00
Forma generale: G (x, y , y , y ) = 0
0
00
Se G è una funzione lineare in y , y , y allora l’equazione è lineare.
Forma generale di un’equazione lineare del secondo ordine. Terminologia:
Equazioni omogenee e non omogenee.
Esempi Stabilire quale delle seguenti equazioni sono lineari e quali no:
√
00
0
e x y + sin xy + xy = cos x,
00
y = yy
00
0
0
y + y + 4y 3 = 0 .
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Equazioni Lineari del secondo ordine
Motivazioni. Molti modelli provenienti dalla fisica sono descritti da equazioni
lineari del secondo ordine
00
0
Sistema massa-molla con attrito: mx + cx + kx = F (t)
00
0
Circuito RLC: LQ + RQ +
1
CQ
= E (t)
Immediata generalizzazione dei concetti introdotti alle ODE lineari di ordine n.
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Equazioni Lineari del secondo ordine
Esistenza e unicità per IVP per equazioni lineari del secondo ordine.
Consideriamo il problema a valori iniziali seguente
( 00
0
y + p(x)y + q(x)y = f (x)
0
y (a) = a0 , y (a) = a1 .
Se p(x), q(x), f (x) sono continue in un intervallo aperto I che contiene il punto
x = a, allora l’asegnato IVP ammette un’unica soluzione nell’intervallo I .
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Equazioni Lineari Omogenee del secondo ordine
00
0
y + p(x)y + q(x)y = 0
Principio di sovrapposizione. Dimostrazione del principio di sovrapposizione.
Esempio. Applicare il principio di sovrapposizione per costruire nuove soluzioni
dell’equazione
00
y +y =0
sapendo che y1 = cos x , y1 = sin x sono soluzioni di tale equazione (Verificare!).
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Equazioni Lineari Omogenee del secondo ordine
Definizione di funzioni linearmente indipendenti in un intervallo I .
Esempi. Stabilire, usando la definizione, se le seguenti funzioni sono o meno
linearmente indipendenti sull’intero asse reale:
f (x) = sin x , g (x) = cos x
f (x) = e x , g (x) = e −x
f (x) = e x , g (x) = xe x
f (x) = sin 2x , g (x) = cos x sin x
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Equazioni Lineari Omogenee del secondo ordine
Teorema 2 Siano y1 , y2 sono soluzioni linearmente indipendenti dell’equazione
00
0
y + p(x)y + q(x)y = 0
su un intervallo I in cui le funzioni p(x) e q(x) sono continue. Se Y è un’altra
soluzione dell’equazione assegnata, allora esistono due costanti c1 , c2 tali che
Y (x) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x).
Il Teorema 2 ci insegna a scrivere la soluzione generale dell’equazione
00
0
y + p(x)y + q(x)y = 0: basta infatti scrivere la combinazione lineare di due
soluzioni linearmente indipendenti. Come costruire soluzioni linearmente
indipendenti? Impareremo, nella prossima lezione a farlo nel caso in cui i
coefficienti siano costanti...
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Equazioni Lineari del secondo ordine
Consideriamo l’equazione
00
0
y + p(x)y + q(x)y = f (x)
su un intervallo I in cui le funzioni p(x), q(x), f (x) sono continue.
La soluzione generale è
Y (x) = yc (x) + yp (x)
dove yc (x) è la soluzione dell’equazione omogenea associata e yp (x) una soluzione
particolare dell’equazione data.
Dimostrazione
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